最新空间向量与立体几何知识点和习题(含答案)

1、精品文档空间向量与立体几何【知识要点】1.空间向量及其运算：(1)空间向量的线性运算：空间向量的加法、减法和数乘向量运算：平面向量加、减法的三角形法则和平行四边 形法则拓广到空间依然成立.空间向量的线性运算的运算律：加法交换律：a+ b = b + a;加法结合律：(a+b+ c)=a+(b+c);分配律：(+ )a= a+ a; (a+b)= a+ b.(2)空间向量的基本定理：共线(平行)向量定理：对空间两个向量a, b(bw0), a/b的充要条件是存在实数，使得a/ b.共面向量定理：如果两个向量a, b不共线，则向量c与向量a, b共面的充要条件是存在惟对实数，使得c= a+ b.空

2、间向量分解定理：如果三个向量a, b, c不共面，那么对空间任一向量p,存在惟一的有序实数组1 ,2,3,使得p= ia+ 2b+ 3c.(3)空间向量的数量积运算：空间向量的数量积的定义：a b= |a | |b | cos a, b；空间向量的数量积的性质：a - e= |a | cosva, e> a±b a b=0;|a|2= a . a； |a - b|< |a | |b | .空间向量的数量积的运算律：(a) - b= (a b)；交换律：a b = b a;分配律：(a+ b) - c= a - c+ b - c.(4)空间向量运算的坐标表示：空间向量的正交

3、分解：建立空间直角坐标系Oxyz,分别沿x轴，y轴，z轴的正方向引单位向量i, j, k,则这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底i, j, k,由空间向量分解定理，对于空间任一向量 a,存在惟一数组(ai, a2, a3),使a = aii+a2j+ a3k, 那么有序数组(a1，a2, a3)就叫做空间向量 a的坐标，即a=(ai, a2, a3).空间向量线性运算及数量积的坐标表示：设 a=(a1，a2, a3), b= (b1, b2, b3),则a+b=(a+b1, a2+b2, a3+b3)； ab=(a一b1，a2 b2, a3b3)；a= ( a1,a2,a3)； a

4、b= a1b + a2b2+a3b3.空间向量平行和垂直的条件：a”b(bw0)a= b a1= b1，a2= b2, a3= b3( C R)；a±ba b= 0a1b + a2b2+a3b3= 0.向量的夹角与向量长度的坐标计算公式：设 a=(a1，a2, a3), b= (b1, b2, b3),则|a | a a . a2 a； a2,|b| b b , b2 b； b32;cos a,ba ba1bl a2b2 a3 b3同Mla2 a2 a2 b2 b| b；在空间直角坐标系中，点A(a1，a2, a3), B(bi, b2, b3),则 A, B 两点间的距离是l AB

5、| (a1bb2厂b3)2.2.空间向量在立体几何中的应用：直线的方向向量与平面的法向量：如图，l为经过已知点A且平行于已知非零向量 a的直线，对空间任意一点。，点P由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定.如果直线1，平面，取直线l的方向向量a,则向量a叫做平面 的法向量.由此可知，给定一点A及一个向量a,那么经过点A以向量a为法向量的平面惟一确定.精品文档的法向量分别是u, v,则(2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系: 设直线1, m的方向向量分别是 a, b,平面 1 / m1，m1 /1，a / b a=kb, kCR； a± b a b=0;a&#

6、177;u a u = 0;a"u a=ku, kCR； u II v u = kv, kC R；u± v u - v= 0.(3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题：异面直线所成的角：设a, b是两条异面直线，过空间任意一点O作直线a' /a, b' /(0,-2,则b,则a'与b'所夹的锐角或直角叫做异面直线 a与b所成的角.设异面直线a与b的方向向量分别是vi, V2, a与b的夹角为，显然| cos v1, v2 | 1V1 v2 |Vi 11V2 |直线和平面所成的角：直线和平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的 角

7、.设直线a的方向向量是 u,平面 的法向量是 v,直线a与平面 的夹角为，显然冗，| u v |0-,则 |cos u,v |2|u|v|二面角及其度量：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.记作-1- 在二面角的棱上任取一点 O,在两个半平面内分别作射线 OA，l, OB±l,则/ AOB 叫做二面角 一1一 的平面角.利用向量求二面角的平面角有两种方法：方法一：如图，若AB, CD分别是二面角一1一 的两个面内与棱1垂直的异面直线，则二面角-1-的大小就是向量 而与CD的夹角的大小.方法二：如图，mi, m2分别是二面角的两个半平面， 的法向量，则mi, m2与该二面

8、角的大小相等或互补.(4)根据题目特点，同学们可以灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立 体几何问题.【复习要求】1 . 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分 解及其坐标表示.2 .掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3 .掌握空间向量的数量积及其坐标表示；能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.4 .理解直线的方向向量与平面的法向量.5 .能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系.6 .能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题.【例题分析】例 1 如图，在长方体 OAEB OiAiEiBi 中，OA=3, OB = 4, OOi=

9、2,点 P 在AAi 上，且AP=2FAi,点S在BBi上，且BiS= 2SB,点Q, R分别是OiBi, AE的中点，求 证：PQ/RS.【分析】 建立空间直角坐标系，设法证明存在实数k,使得PQ kRS解：如图建立空间直角坐标系，则 0(0, 0, 0), A(3, 0, 0), B(0, 4, 0), Oi(0, 0, 2), Ai(3, 0, 2), Bi(0, 4, 2), E(3, 4, 0).2 24 . Ap=2pAi,AP -AAi -(0,0,2) (0,0,-),333_4、- P(3,0,-) 3 _2、 同理可得：Q(0, 2, 2), R(3, 2, 0), S(0

10、,4-) 3PQ ( 3,2,3) RS,PQ/RS,又 R PQ, PQ / RS.【评述】1、证明线线平行的步骤：(1)证明两向量共线；(2)证明其中一个向量所在直线上一点不在另一个向量所在的直线上即可.2、本体还可采用综合法证明，连接 PR, QS,证明PQRS是平行四边形即可，请完成 这个证明.例 2 已知正方体 ABCD AiBiCiDi 中，M, N, E, F 分别是棱 A1D1, A1B1, D1C1, B1C1 的中点，求证：平面 AMN/平面 EFBD.【分析】要证明面面平行，可以通过线线平行来证明，也可以证明这两个平面的法向量平行.解法一：设正方体的棱长为 4,如图建立空

11、间直角坐标系，则 D(0, 0, 0), A(4, 0, 0), M(2, 0, 4), N(4, 2, 4), B(4, 4, 0), E(0, 2, 4), F(2, 4, 4).取 MN 的中点 K, EF 的中点 G, BD 的中点 O,则 O(2, 2, 0), K(3, 1, 4), G(1 , 3, 4).MN =(2, 2, 0), EF =(2, 2, 0), AK =(-1, 1, 4), OG =(-1, 1, 4),MN / EF , AK OG ,MN/EF , AK/OG , .MN/平面 EFBD, AK/平面 EFBD , 平面 AMN /平面 EFBD .解法

12、二：设平面AMN的法向量是a=(ab a2, a3),平面EFBD的法向量是 b=(bi, b2, b3).由 a AM Qa AN 0,2ai 4 a30,得取 a3= 1,得 a=(2, 2, 1).2a2 4a3 0,由 b DE 0,b BF 0,2b2得22bi4b34b30,取 b3=i,得 b=(2, -2, Q1). a/ b, 平面AMN / 平面 EFBD .注：本题还可以不建立空间直角坐标系，通过综合法加以证明, 例 3 在正方体 ABCD AiBiCiDi 中，M, N 是AiBi,AM和CN所成角的余弦值.请试一试.BiB的中点，求异面直线0),解法M(2, 1, 2

13、), C(0, 2, 0), N(2, 2, 1).AM (0,i,2),CN (2,0,i),设AM和CN所成的角为，则cosAM CN 2| AM |CN | 52，异面直线AM和CN所成角的余弦值是 25解法二：取AB的中点P, CCi的中点Q,连接BiP, BiQ, PQ, PC. 易证明：BiP / MA, BiQ/ NC,/ PBiQ是异面直线 AM和CN所成的角.设正方体的棱长为2,易知b1P bq J5,pq JPCQc" J6,cosPB1QB1P2B1Q2PQ222B1P BQ5_一，一、 2，异面直线AM和CN所成角的余弦值是 25【评述】 空间两条直线所成的角

14、是不超过 分子的数量积如果是负数， 则应取其绝对值, 角(锐角).90。的角，因此按向量的夹角公式计算时， 使之成为正数，这样才能得到异面直线所成的例4如图，正三棱柱ABC AiBiCi的底面边长为a,侧棱长为22a ,求直线ACi与平面ABBiAi所成角的大小.【分析】利用正三棱柱的性质，适当建立空间直角坐标系， 写出有关点的坐标.求角时 有两种思路：一是由定义找出线面角，再用向量方法计算；二是利用平面ABBiAi的法向量求解.3a aCi( 丁二22解法一：如图建立空间直角坐标系，则 A(0, 0, 0), B(0, a, 0), A(0,0,J2a),，石a)取 AiBi 的中点 D,则

15、 D(0,a,V2a),连接 AD, CiD.2则 DC ( -a,0,0),AB (0,a,0),AAi (0,0,、2a), 2Dc1 AB 0, DCi AA 0,DC平面 ABBiAi,/ CiAD是直线ACi与平面ABBiAi所或的角.ACi ( -3a,2, 2a),AD (0,，. 2a),cosCiAD旦巫巫, |AC1|AD|2直线ACi与平面ABBiAi所成角的大小是 30° .解法二：如图建立空间直角坐标系，则 A(0, 0, 0), B(0, a, 0), Ai(0, 0, J2a),Ci( 1,42a),从而 AB (0, a,0), AA) (0,0, 2

16、a), ACi ( , ,42a) 2222设平面ABBiAi的法向量是a=(p, q, r),由 a aB 0,a AA 0,口 aq 0,_得取 p=i,得 a=(i, 0, 0).2ar 0,设直线ACi与平面ABBiAi所成的角为，0, j,sin | cos ACi,a | |ACi a | L 30 .|ACi|a|2【评述】充分利用几何体的特征建立适当的坐标系，再利用向量的知识求解线面角；解法二给出了一般的方法，即先求平面的法向量与斜线的夹角，再利用两角互余转换.例 5 如图，三棱锥 P ABC 中，PAL底面 ABC, ACXBC, PA=AC = i, BC 氏,解法一：取P

17、B的中点D,连接CD,作AEPB于E.PA=AC=i, PAX AC,PC= BC= 22，.二 CDXPB. EAXPB,向量EA和DC夹角的大小就是二面角 A-PB-C的大小.如图建立空间直角坐标系，则 C(0, 0, 0), A(1, 0, 0), B(0, J2 , 0), P(1, 0, 1),由D是PB的中点，得口（工,斗,1） 2 2 2区PE由EBAP2AB32 3得E是PD的中点，从而E(-,-)4 4 4EA(4,cosEA, DCEA DC,3|EA|DC |A-PB-C的平面角的余弦值是解法二：如图建立空间直角坐标系，则A(0, 0, 0), B(V2,1,0), C(

18、0, 1, 0), P(0,0,1),AP (0,0,1), AB ( 2,1,0),CB (、2,0,0),CP (0, 1,1).设平面PAB的法向量是 a= （a1，a2， a3）,平面PBC的法向量是b3).由a AP0,aAB0,得 a3 0, 2a1取0,a1= 1,得 a(1,2,0).由b CB0,bCP2bl b20, b3取 b3=1,得 b=(0, 1,1).0,cos a,b二面角A PB C为锐二面角,面角A PB C的平面角的余弦值是.3. .3歪1 T【评述】1、求二面角的大小，可以在两个半平面内作出垂直于棱的两个向量，转化为这两个向量的夹角；应注意两个向量的始点

19、应在二面角的棱上.2、当用法向量的方法求二面角时，有时不易判断两个平面法向量的夹角是二面角的平面角还是其补角，但我们可以借助观察图形而得到结论，这是因为二面角是锐二面角还是钝 二面角一般是明显的.例 6 如图，三棱锥 P ABC 中，PA，底面 ABC, PA = AB, /ABC=60° , / BCA = 90°，点 D, E分别在棱 PB, PC上，且 DE/BC.(I)求证：BCL平面PAC;(n )当D为PB的中点时，求 AD与平面PAC所成角的余弦值；(出)试问在棱PC上是否存在点 巳 使得二面角 ADE P为直二面角？若存在，求出 PE ： EC的值；若不存在

20、，说明理由.解：如图建立空间直角坐标系.1. 33设 FA=a,由已知可得 A(0, 0, 0), B( -a-a,0),C(0-a,0), P(0,0,a). 222(I ) AP(0,0,a),BCJ cc、 (-a,0,0),AP BC 0, BCXAP,又/ BCA = 90° , BCXAC. .BC,平面 PAC.(n ) D为PB的中点，DE/BC,，E为PC的中点.13131、 D( a, a-a),E(0, -a-a)44242由(I)知，BC,平面 PAC,，DE，平面 FAC, / DAE是直线AD与平面PAC所成的角. AD, 1.3131、(-a,a,-a)

21、，AE (0,7a,2a),AD AE .14|AD|AE| 4即直线AD与平面PAC所成角的余弦值是乂44（出）由（n）知，DEL平面 PAC,DEXAE, DEXPE, /AEP是二面角 ADE P的平面角. PA，底面 ABC,FAXAC, /PAC=90° .在棱PC上存在一点 E,使得AEXPC,PA24AC7 3(A) .2(B)2(C) 5、，0- PE这时，/ AEP=90 ,且 EC故存在点E使得二面角 A-DE-P是直二面角，此时 PE ： EC= 4 ： 3. 注：本题还可以不建立空间直角坐标系，通过综合法加以证明，请试一试.练习1-3、选择题：1 .在正方体

22、ABCD AiBiCiDi中，E是BBi的中点，则二面角 EA1D1D的平面角的正 切值是（）2 .正方体 ABCDAiBiCiDi中，直线 ADi与平面AiACCi所成角的大小是（）（A）30 °（B）45 °（C）60 °（D）90 °3 .已知三棱柱 ABC AiBiCi的侧棱与底面边长都相等，Ai在底面ABC内的射影为 ABC的中心，则ABi与底面ABC所成角的正弦值等于（）(A) i(B)母(C)(D) 24.如图， ± ,所成的角分别是n =i, ac 和 ，AB在3333,BC , A, B至ij l的距离分别是a和b, AB与，

23、, 内的射影分别是 m和n,若a>b,则下列结论正确的是（）(A) >, m>n(C) <, m< n、填空题：(B) >, m< n(D) <, m>n5.在正方体ABCD AiBiCiDi 中，E, F, G, H 分别为AAi, AB, BBi, BiCi 的中点，则异面直线EF与GH所成角的大小是 6 .已知正四棱柱的对角线的长为<6 ,且对角线与底面所成角的余弦值为棱柱的体积等于7 .如图，正四棱柱 ABCD AiBiCiDi中，AAi=2AB,则异面直线 AiB与ADi所成角的余弦 值为.i-8 .四棱锥PABCD的底面是

24、直角梯形，/ BAD = 90 , AD / BC, AB BC AD,2PA，底面ABCD,PD与底面ABCD所成的角是30° .设AE与CD所成的角为 ，则cos 三、解答题：9 .如图，正四棱柱 ABCD AiBiCiDi 中，AA=2AB=4,点 E 在 CCi 上，且 CiE=3EC.(I )证明：AiC,平面BED;(II)求二面角AiDEB平面角的余弦值. 九10 .如图，在四棱锥 O ABCD中，底面ABCD是边长为i的菱形， ABC , OAL底4面ABCD, OA = 2, M为OA的中点，N为BC的中点.(I)证明：直线MN/平面OCD;(II )求异面直线 A

25、B与MD所成角的大小.11 .如图，已知直二面角一PQ , ACPQ, BC , CC , CA=CB, /BAP = 45° ,直线CA和平面所成的角为30° .Q(I)证明：BCXPQ;(n)求二面角B ACP平面角的余弦值.习题1、选择题：关于空间两条直线(A)若 a / b, b(C)若 a /, b/a、b和平面,则 a /,则 a / b,下列命题正确的是(B)若 a /(D)若 a±),b，b12.正四棱锥的侧棱长为273 ,底面边长为2,则该棱锥的体积为3.4.(A)88 (B)-3(C)6(D)2已知正三棱柱 ABCAiBiCi的侧棱长与底面边长

26、相等，则直线角的正弦值等于()6(A)彳i0已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸 体的体积是()(单位:ABi与侧面ACCiAi所成3(D)-2"cm),可得这个几何5.10傀视40003(A) cm3(C)2000cm3若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形,的菱形，则该棱柱的体积等于 ()03(B)cm3(D)4000cm 3另外两个侧面都是有一个内角为60°(A) 2(B) 2 2(D) 4 2二、填空题：6 .已知正方体的内切球的体积是443%，则这个正方体的体积是 .7 .若正四棱柱 ABCD AiBiCiDi的底面边长为1, ABi与底面ABCD成60&

27、#176;角，则直线ABi 和BCi所成角的余弦值是.8 .若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为J3 ,则其外接球的表面积是 .9 .连结球面上两点的线段称为球的弦.半径为 4的球的两条弦 AB、CD的长度分别等于2币、45 每条弦的两端都在球面上运动，则两弦中点之间距离的最大值为 .10 .已知AABC是等腰直角三角形， AB=AC=a, AD是斜边BC上的高，以AD为折痕使 /BDC成直角.在折起后形成的三棱锥A- BCD中，有如下三个结论：直线ADL平面BCD;侧面ABC是等边三角形；三棱锥A-BCD的体积是 a3.24其中正确结论的序号是.(写出全部正确结论的序号 )三、解答题：1

28、1 .如图，正三棱柱 ABCAiBiCi中，D是BC的中点，AB=AAi.(I)求证：ADXBiD;(n )求证：AiC /平面 AiBD;(出)求二面角B ABiD平面角的余弦值.i2,如图，三棱锥 P-ABC 中，FAXAB, FAX AC, ABXAC, PA= AC=2, AB= i , M 为 PC的中点.(I)求证：平面PCB,平面MAB;(n )求三棱锥P ABC的表面积.13 .如图，在直三棱柱 ABC AiBiCi 中，Z ABC = 90° , AB=BC=AAi=2, M、N 分别是 AiCi、BCi的中点.(I )求证：BCi，平面 AiBiC;(n)求证：M

29、N/平面 AiABBi；(出)求三棱锥 M BCiBi的体积.14 .在四棱锥 S ABCD中，底面 ABCD为矩形，SDL底面 ABCD, ADDC = SD =2.点 M 在侧棱 SC上，/ABM = 60° .(I)证明：M是侧棱SC的中点；(n )求二面角S-AM -B的平面角的余弦值.练习i-3一、选择题：i. B2, A 3. B 4, D二、填空题：5. 60°6. 2三、解答题：9.以D为坐标原点，射线 DA为x轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D xyz.10.依题设，B(2, 2, 0), C(0, 2, 0), E(0, 2, 1), Ai(2, 0,

30、 4).DE (0,2,1)，而(2,2,0),AC ( 2,2, 4),DA(2,0,4).(1). AC DB 0, AC DE 0, .-.AiCXBD, A1CXDE.又 DBA DE = D, . AiC,平面 DBE .(n)设向量n=(x, y, z)是平面DA1E的法向量，则n DE, nDA1.,2y 2x4zcos(n, AC)0,人令 y= 1,得 n= (4, 1, 2).0.n AC1414H -75-二 一面角 A1 DE B 平面角的余弦值为 T-|n|AC|4242作APCD于点P.如图，分别以 AB, AP, AO所在直线为x, y, z轴建立坐标系.222

31、-则 A(o, o, o), B(1, o, o), P(0,-2-,0),D( 2-,2-,0), o(0, 0, 2), m(0, 0, 1),.22 一N(1 7(I ) MNT。)22-2-22(1 W 1),OP (0,隹 2),OD ( ¥，3，2)设平面OCD的法向量为n=(x, v, z),则n OP 0,n OD 0,即告y 22 0，噂x普y 2z 0.取 zJ2,得 n (0,4,72). MN n 0, MN /平面 OCD .| AB MD |1冗 ,一| AB |MD |23(n)设AB与MD所成的角为 ，AB (1,0,0)，而 (零，零,1), cos

32、一.一 ， 正即直线AB与MD所成角的大小为一3(I)证明：在平面 内过点C作COLPQ于点O,连结OB.± , n =pq,co± .又. CA=CB, .1. OA=OB. . Z BAO = 45° , ABO = 45° , / AOB=90° ,. BOXPQ,又 COPQ, .PQ,平面 OBC, PQXBC.(n)由(I)知，OCXOA, OCX OB, OAXOB,故以。为原点，分别以直线 OB, OA, OC为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(如图). . COX ，/ CAO是CA和平面 所成的角，则/ CAO = 30&

33、#176;不妨设 AC = 2,则 AO 33 , CO = 1.在 RtOAB 中，/ ABO = /BAO = 45° ,BO AO 33. O(0,0,0), B( .3,0,0), A(0-3,0),C(0,0,1).AB ( .3, .3,0), AC (0, 3,1).设n1 = (x, y, z)是平面 ABC的一个法向量，n AB 0,3x .3y 0,由 一 得取 x=1,得 n1 (1,1, J3).n AC 0, 3y z 0,易知n2=(1, 0, 0)是平面 的一个法向量.设二面角BACP的平面角为 ，cos川心11 .一6.三11即二面角BACP平面角的余

34、弦值是 三二 5习题1选择题：D 2. B 3. A4. B 5. B填空题：24.37. 38.99. 510.、解答题：(I)证明：ABC A1B1C1是正三棱柱，BB1,平面 ABC, 平面 BB1C1C，平面 ABC . ,正4ABC 中，D 是 BC 的中点，AD± BC,. AD，平面 BB1C1C, .AD XB1D.出(n)解：连接 A1B,设 A1BAAB1=E,连接 DE .- AB=AA1,四边形AiABBi是正方形，E是AiB的中点，又 D是BC的中点，DE/A1C.DE 平面 A1BD, A1C 平面 A1BD, . A1C/平面 AiBD.(出)解：建立空间直角坐标系，设 AB = AA 1=1,31、则 D(0,0,0), A(0,-2-,0), Bi( 2,0,1)设m = (p, q, r)是平面AiBD的一个法向量，则 n AD 0,且 q BiD 0,皿,3_ 1 _ 八_一故q0