高中数学选修2-2(从导数到微积分)1.1.2导数基本概念 理科班课件

1、数学知识不是教出来的数学知识不是教出来的,也不是学出来也不是学出来的的,而是研究出来的而是研究出来的. 弗莱登塔尔（荷兰）弗莱登塔尔（荷兰）1.1.2 .2 导数的概念导数的概念1.1.定义定义: : 函数函数f(x)在区间在区间x1，x2上的上的平均平均变化率变化率为为2121()()f xf xxx 一、知识回顾yxx是一个符号是一个符号,是一个整体是一个整体21212121()( )xxxxxxyyyf xf x 增量增量2.平均变化率的作用刻画曲线在某一区间上的平均变化趋势刻画曲线在某一区间上的平均变化趋势1.1.平均变化率平均变化率瞬时变化率瞬时变化率 设变量设变量f 随随x 的变化

2、而变化，的变化而变化，从从x到到x + +x0limxfx 0()( )limxf xxf xx f 的增量的增量( (改变量改变量) )()( )ff xxf x f 平均变化率平均变化率()( )ffxxfxxx 0 xfx 令， 得到 在 的瞬时变化率二.内容新授2( )4.96.510h ttt 问题情境问题情境 高台跳水运动中，运动员相对于高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度水面的高度h与起跳后时间与起跳后时间t 存在函数关系为存在函数关系为 求运动员在求运动员在 t=0s时高度和瞬时速度，并解时高度和瞬时速度，并解释此时的运动状态释此时的运动状态 (2) 在在0t0.5内的平均速

3、度内的平均速度? 在在1t2呢呢?(0.5)(0)4.05(/ )0.50hhvm s(2)在在0t0.5内的平均速度内的平均速度(2)(1)8.2(/ )21hhvm s 当当1t2(1) t=0时时,(0)100hv此时(3) 平均速度为平均速度为0时，是否表示静止时，是否表示静止?(4) 求在求在t =2时的瞬时速度时的瞬时速度.()( )hh tth tvtt (2)(2)4.913 1.hthvttt 在 2， 2+时 间 内锦囊：锦囊： 将将“t =2”时间点转化为时间点转化为“t =2附近附近”的时间段的时间段2( )4.96.510h ttt 高台跳水高台跳水-13.10004

4、90.00001-13.099951-0.00001-13.100490.0001-13.009951-0.0001-13.10490.001-13.0951-0.001-13.1490.01-13.051-0.01-13.590.1-12.61-0.1ttvv4.913.1vt 高台跳水高台跳水在在2+t, 2上平均速度上平均速度在在2, 2+t上平均速度上平均速度思考思考:当当t趋向于趋向于0时时,平均速度有怎样的变化趋势平均速度有怎样的变化趋势?00(2)(2)limlim (4.9(13.1)23.)11tththtvt 方 便 记 作规律规律:当当t趋向于趋向于0时时,2+t趋向于趋

5、向于2，(2)(2)(4.91313.1)1hthvtt 2( )4.96.510h ttt 高台跳水高台跳水 平均速度反映汽车在平均速度反映汽车在10秒内的快慢程度，秒内的快慢程度，要了解汽车的性能，还需要知道汽车在某一时要了解汽车的性能，还需要知道汽车在某一时刻的速度刻的速度瞬时速度瞬时速度2. 平均速度平均速度瞬时速度瞬时速度 (1) 平均速度平均速度)/(5410150hkmtsv 所所有有的的时时间间经经过过的的路路程程一辆汽车在一辆汽车在10秒内行驶了秒内行驶了150米米,则其平均速度为则其平均速度为 已知物体作变速直线运动，其运动方程为已知物体作变速直线运动，其运动方程为ss(t

6、) (s表示位移，表示位移，t表示时间表示时间)，求物体在，求物体在t0 时刻的速度时刻的速度 分析分析: 设物体在时刻设物体在时刻t0的位置的位置(t0)OA0，在时刻，在时刻 t0 + t 的位置的位置s(t0+ t) OA1，则从，则从 t0 到到 t0 + t 这这 段时间内，物体的位移段时间内，物体的位移 )()(0001tsttsOAOAs 在时间段在时间段 t 内，物体的内，物体的平均速度平均速度为为(2) 瞬时速度瞬时速度 要精确地描述要精确地描述非匀速非匀速直线运动，就要知道物直线运动，就要知道物体在体在每一时刻每一时刻运动的快慢程度如果物体的运动规运动的快慢程度如果物体的运

7、动规律是律是 s =s(t )，那么物体在时刻，那么物体在时刻t 的的瞬时速度瞬时速度v，就，就是是物体在物体在t 到到 t+ t 这段时间内，当这段时间内，当 t0 时时平均速度平均速度的极限的极限即即ttsttstsvt )()(lim0 00()( )s tts tsvtt3.3.导数的概念导数的概念00000()()()limlimxxf xxf xffxxx 函数函数y =f(x)在点在点x=x0的的瞬时变化率瞬时变化率是是0000()()limlimxxf xxf xfxx ox xy0()fx我们称它为我们称它为函数函数 y = f (x)在点在点x=x0处的处的导数导数，记为记

8、为 或或说明：说明：)(xf0 x0 xxyxy0 x（1）函数）函数在点在点处处可导可导，是指，是指时，时，有极限如果有极限如果不存在极限，就说函数在不存在极限，就说函数在处处不可导不可导，或说无导数，或说无导数点点x是自变量是自变量x在在0 x处的改变量，处的改变量，0 x，y是函数值的改变量，可是函数值的改变量，可为为零零 （2）)(xfy 0 x4. 求函数求函数在在处的导数的步骤处的导数的步骤00()()ff xxf x （1）求函数的增量）求函数的增量:；00()()f xxf xfxx（2）求平均变化率）求平均变化率:；00()limxffxx （3）取极限，得导数）取极限，得导

9、数: 例例1 已知已知f(x)=x2,求利用导数的概念求求利用导数的概念求f(5)5. 导数的主要用途导数的主要用途 (1) 由路程关于时间的函数由路程关于时间的函数s(t), 求速度求速度v和和 加速度加速度a (2) 求曲线求曲线y=f(x)的在某点处的切线斜率的在某点处的切线斜率k 00( )( ),V tS t0()kfx切 例例2 将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第第 x h时，原油温度时，原油温度(单位单位)为为2( )715 (08).f xxxx计算第计算第2 h

10、和第和第6 h，原油温度的瞬时变化率，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义并说明它们的意义2( )715 (08)f xxxx解：解：第第2 h和第和第6 h时时，原油温度的瞬时变化率原油温度的瞬时变化率 就是就是(2)(6)ff和由导数定义由导数定义(2)(2)yfxfxx22(2)7(2) 15(27 2 15)3xxxx 00(2)limlim(3)3xxyfxx (6)5f同理可得00(2)limlim(3)3xxyfxx (6)5f同理可得 意义意义: 在第在第2h与第与第6h时时,原油温度的瞬时变化原油温度的瞬时变化率分别为率分别为-3与与5. 它说明在第它说明在第2h附近原油温度大约附近原油温度大约以以3/h的速度下降的速度下降, 在第在第6h附近附近,原油温度大约原油温度大约以以5/h的速度上升的速度上升 一般地一般地, f(x)反映了原油温度在时刻反映了原油温度在时刻x0附近附近的变化情况的变化情况00000( ),(2)()lim3()