数理经济学本084,5jok.教学教程课件电子教案

1、1数理经济学丶课间休息数理经济学丶课间休息 2第第4 4、5 5讲讲第第3 3章章 物价指数与国民经济产品的综合物价指数与国民经济产品的综合 3 问题1： 千千万万种产品通过什么办法把他归结为一种或几种产品？4 问题1： 千千万万种产品通过什么办法把他归结为一种或几种产品？ 答案：物价指数。5 问题2： 如果将千千万万种产品归结为工业品和农业品两种产品, 一单位工业品指的是什么东西？6 问题问题3： 如果将千千万万种产品归结为工如果将千千万万种产品归结为工业品和农业品两种产品业品和农业品两种产品, 一单位工一单位工业品指的是什么东西？业品指的是什么东西？ 答案：不变价。见以后详细的解答案：不变

2、价。见以后详细的解 答。答。789有一天，三个家庭主妇以及煮夫走到一起，他们都买了许多食品，对食品的价格发表了一些看法1011甲说道： “我今天买了一些鱼和肉，过去我们家每个月吃 3 公斤肉以及 15 公斤鱼，才花 6 元 6 角，现如今要想吃 3 公斤肉以及 15 公斤鱼必须花 267 元，物价上升了40.45 倍。 ”12乙说道： “我今天也买了一些鱼和肉，现在我们家每个月吃 10 公斤肉以及 9 公斤鱼， 花 234元，过去买 10 公斤肉以及 9 公斤鱼才花 13元 8 角，物价上升了 16.95 倍。物价涨得确实很快。 ”13 丙说道： “过去我们家每个月也是吃 3 公斤肉以及 15

3、 公斤鱼，才花 6 元 6 角，现如今鱼太贵了，我们鱼少吃了。在现在的价格下，要想过跟过去一样的日子，必须吃 8 公斤肉以及 5 公斤鱼，也就是说，吃 8 公斤肉以及5 公斤鱼产生的满意度跟吃 3 公斤肉以及 15公斤鱼一个样。这样必须花 168 元，价格上升了 25.45 倍。 ”14要想成为经济学家其实并不难，只要把上述的言论用数学公式表示一下就可以了。第一个将以上甲家庭主妇或煮夫的言论上升到理论的经济学家名字叫：Laspeyres。得到著名的拉氏物价指数计算公式。151617另外一个名字叫 Paasche 的人 将乙这位家庭主妇或煮夫的言论上升到理论。也得到了一个著名的物价指数计算公式。

4、这个人也因此成为著名的经济学家。他的计算公式如下：181920通 过 以 上 分 析 读 者 自 然 地 会 产 生 两 个 问题：(1):把丙这位家庭主妇或者煮夫的言论上升到理论的经济学家叫什么名字，他的计算公式是什么？(2):上面三个家庭主妇或者煮夫所计算出来的物价指数大小不一样。拉氏物价指数最大，派氏物价指数最小，另外一个居中，这个有什么一般规律吗？21M() 0 (,),0 (1npp,U(0) 表示在过去的价格下，要想达到过去的生活水平 U(0)所花的钱。M()(,),(1tptpn,U(0) 表示在现在的价格下，要想达到过去的生活水平 U(0)所花的钱。222324252664 效

5、用最大法则:22/pxU11/pxUMypxp2127282930)0(),(),()()(211UtptpMbaatxtp)0(),0(),0()0()0(211UppMbaaxp相除:)0()()0()(11xtxptpPnnTUppMUtptpM)0(),0(,),0()0(),(,),(1131)0(),(),()()(212UtptpMbabtytp)0(),0(),0()0()0(212UppMbabyp 相除: )0()()0()(22ytyptp PnnTUppMUtptpM)0(),0(,),0()0(),(,),(113233上面这个方程两边同时 a 次方、b 次方分别得到

6、：aaaapxtxptpT)0()()0()()(11bbbbpytyptpT)0()()0()()(2234把上面这两个方程相乘,得到:babababapyxtytxptpptpT) 0 () 0 ()()() 0 ()() 0 ()()(22113536其中:ie 为第 i 种产品支出占总支出比例.37 )0()(iiptp 为第 i 种产品单项物价指数，或者单项通货膨胀率。3839真实物价指数、拉氏以及派氏物价指数三 者 之 间 大 小 有 什 么 规 律 ？ 关 于 这 个 问题，我们把结论写在底下：结结 论论 ： 在 一 般 情 况 下 拉 氏 物 价 指 数 最大，真实物价指数居中

7、, 派氏物价指数最小。40问题: 物价指数计算公式可以有多少种?41答:无穷多种.每给出1种效用函数表达式,则对应1种物价指数计算公式.42 问题：问题： 如果将千千万万种产品归结为工如果将千千万万种产品归结为工业品和农业品两种产品业品和农业品两种产品, 一单位工业一单位工业品指的是什么东西？品指的是什么东西？ 这个问题是理解一切多部门经济这个问题是理解一切多部门经济模型的基础。模型的基础。43 问题：问题： 如果将千千万万种产品归结为工如果将千千万万种产品归结为工业品和农业品两种产品业品和农业品两种产品, 一单位工一单位工业品指的是什么东西？业品指的是什么东西？ 答案：不变价。见以后详细的解

8、答案：不变价。见以后详细的解 答。答。44从1+1=?谈到国民经济部门或产品的综合见：张金水等，数学的实践与认识，2006年。45 摘要：摘要：当我们构造多部门数量经济模型的时候，往往要将千千万万种产品归结为几 种产品或者几个部门。本文讨论如何将多种产品归结或综合成1种或少数几种产品的方法。指出如何确定综合产品的数量与价格。并且给出相应的计算公式。指出综合产品的数量、综合产品的价格与不变价、现价、真实物价指数、通货膨胀率之间的关系。46引言引言当我们从事数量经济科研与实际工作的时候,例如，在构造CGE(可计算一般均衡)模型、投入产出模型或其它类型多部门模型的时候，往往要将千千万万种产品归结为几

9、种产品或者几个部门。比如说，我们把国民经济归结为如下的6个部门或6种产品：工业、农业、运输邮电业、建筑业、商业饮食业、非物质生产部门。现在问题是：什么叫工业品? 我们知道，工业品是千千万万种具体产品的总称。它是一个抽象的东西。在中国统计年鉴等统计资料中，我们可以查到工业品的价格指数。但是工业品实物单位是什么呢？单位工业品是什么意思? 我们说：我们生产了3.7单位工业品，每单位工业品的价格是2.8元。这句话是什么含义？对这个问题的正确理解是正确构建与应用多部门数量经济模型的基本出发点。本篇论文在下面展开讨论这个问题。472. 从从1+1=?谈起谈起48众所周知，我们从幼儿园幼儿园就开始学习1+1

10、=? 老师告诉学生： 1个苹果+1个苹果=2个苹果，也就是说， 1+1 = 2。到了中学中学，我们学习了二进制，在二进制里面， 1+1 = 10。到了大学大学，我们学习了布尔代数与开关代数，在布尔代数里面，1+1 = 1。如果代表奇数，代表偶数，那么1+1 = 0。现在如果我们要问研究生研究生如下的问题： 1斤苹果斤苹果 + 1斤猪肉斤猪肉 = ? (1)491斤苹果斤苹果 + 1斤猪肉斤猪肉 = ?几乎所有的人都会认为以上的问题没有实际意义，它们是两个不可相加的东西。但是对于经济学的研究人员与实际工作人员来说，以上的问题是非常重要的基本问题。对这个问题的正确回答，可以使我们理解千千万万种产品

11、是如何归结为一种或少数几种产品的。 50对公式（1）所示的问题来说，也就是要将苹果与猪肉这2种产品归结1种产品。所以公式（1）又可以写为： 1公斤苹果公斤苹果 + 1公斤猪肉公斤猪肉 = q 公斤食品公斤食品 (2)以上这个方程告诉我们，苹果与猪肉归结为1种产品：“食品”。现在的问题是： q = ? 511公斤苹果公斤苹果 + 1公斤猪肉公斤猪肉 = q 公斤食品公斤食品人们很自然要回答：q = 2 。再问：若1公斤苹果 + 1公斤猪肉 = 2 公斤食品, 那么0.1公斤苹果 + 1.9公斤猪肉 = 2 公斤食品, 或: 1.9公斤苹果 + 0.1公斤猪肉 = 2 公斤食品, 是否成立？ 52

12、人们很自然要认为它们是成立的。但从经济学观点，如果以上式子成立，将会产生问题。因为既然它们都综合成2 公斤食品, 这意味着如果有3组商品： 1公斤苹果, 1公斤猪肉、0.1公斤苹果, 1.9公斤猪肉、 1.9公斤苹果, 0.1公斤猪肉 让你挑选，选哪个都是一样的。这就不符合常理。因为如果你偏好苹果，那么第3组优于第2组产品。若反之，偏好猪肉，那么第2组优于第3组产品。 53现在的问题是：将1公斤苹果与1公斤猪肉这2种产品归结q公斤产品：“食品”时，q = ? “食品”的价格为 ?p543. 国民经济部门国民经济部门 或产品的归结与综合或产品的归结与综合55当我们将当我们将x公斤苹果与公斤苹果与

13、y公斤猪肉这公斤猪肉这2种产品归结种产品归结s公斤产品：公斤产品：“食品食品”时，可以用下式时，可以用下式表示产品的归结关系：表示产品的归结关系： x公斤苹果公斤苹果 + y公斤猪肉公斤猪肉 = s 公斤食品公斤食品 (3)我们应当注意到式（我们应当注意到式（3）中的加法与小学算术中的加法不同，也）中的加法与小学算术中的加法不同，也不同于二进制或布尔代数中的加法。布尔代数中的加法是逻不同于二进制或布尔代数中的加法。布尔代数中的加法是逻辑加。为了区分不同加法的含义，逻辑加通常写为：辑加。为了区分不同加法的含义，逻辑加通常写为：1 1=1。式（式（3）中的加法是）中的加法是2种产品归结为种产品归结

14、为1种产品的加法，它是经济种产品的加法，它是经济学意义上的加法。按道理可以用一个新符号来表示这个加法。学意义上的加法。按道理可以用一个新符号来表示这个加法。不妨用不妨用“ ” 表示表示2种产品归结为种产品归结为1种产品的加法，则式（种产品的加法，则式（3）又可记为：又可记为： x公斤苹果 y公斤猪肉 = s 公斤食品 56由于x、y、s 皆取值于实数，因此按实数域上通常运算，可以认为s是x与y的函数： s = f (x , y) (4)x公斤苹果 y公斤猪肉 = s 公斤食品57还应注意到当将2种产品综合成1种产品：“食品”，其数量大小为s , “食品”的价格为p ，若手持货币在市场价格之下，

15、购2种产品数量x与 y，应当满足如下公式： spypxp2158此外，还应注意到综合而成的“食品”具有产品的特征，因此对任意实数k, 还应成立： k x公斤苹果 k y公斤猪肉 = k s 公斤食品 (6)因此式（4）函数应满足： k s = f (k x , k y) (7)59除了应满足以上几个方程外，还应满足消费者对上述2种产品的消费行为。设消费者对上述2种产品的效用函数(注意：这里我们主要叙述原理，故设效用函数为柯布-道格拉斯形式，实际应用应釆用更复杂的其它形式，但推导过程类似)为：bayxAyxUU),(8) 60依微观经济学知识，若消费者消费支出为M = p s , 那么消费者预算

16、约束下的效用最大化数学模型为：bayxAyxUUMax),(Mspypxpts21. (9)61求解以上数学模型, 可求出消费者对2种产品需求函数的数学表达式：(10)spbabypspbaaxp2162从公式（10）可得出令第1式左右两边的a/(a+b)次方乘以第2式左右两边的b/(a+b)次方, 再整理后可得：spyxAAbabpbaapbabbaababbaa121(11)63记：Ababpbaappbabbaa121babbaayxAs (12) (13)64从以上讨论可以看出，式（13）只与被综合产品数量有关，它可看作2种产品归结为1种产品的数量大小计算公式。相应地，式（12）只与被

17、综合产品价格有关，它可看作2种产品归结为1种产品的价格计算公式。而且式（12）与式（13）是从式（3）(9)推导而来；符合以上基本条件。65结论结论1：设2种产品数量分别为x、y单位，价格分别为1p、2p；消费者对2种产品效用函数的数学表达式为柯布-道格拉斯形式bayxAyxUU),(, 那么2种产品数量综合成1种产品数量s 由式（13）描述，综合产品价格由式（12）描述。babbaayxAs66由于人们可能认为结论1中效用函数大小不能测量，难以理解如何应用于实际，故下面将结论1推广到多种产品时，换一种叙述方法。但2种叙述方法是等价的。67结论结论2：设有n种产品, 第 i 种产品数量为单位，

18、价格为 ；消费者对第 i 种产品消费支出比例为： , 那么n种产品数量综合成1种产品数量s 为：ixixipiananaxxAs11(14) 68综合产品价格p为：Aapappnanna1111 (15)其中，A可以为任意正实数。69例例1 考虑苹果与猪肉2种产品，苹果的价格为 元/公斤，猪肉的价格为 元/公斤，人们花在上述2种产品的支出比例为：a : b = 30% : 70%, 那么若1公斤苹果 1公斤猪肉 = 2 公斤食品, 问：3公斤苹果 8公斤猪肉 = ?公斤食品。应注意到，在现实生活中，一个人对上述两种产品支出比例不会是固定不变的，这意味着对应的效用函数不是柯布-道格拉斯形式，相应

19、计算公式更复杂些。21p82p70解 ： 依式 （13） ， 由于 1 公斤 苹 果 1 公 斤猪 肉 = 2 公 斤 食品 , 即 : babbaaA112 因 此 :A = 2。 那么 3 公 斤苹果 与 8 公 斤猪 肉综 合成 1 种 产 品的 数量 大小 s 为 ： 7 .03.0832s11.92145772 公 斤 217.083.027.03 .0p = 4.861127246 元 /公 斤 解 毕 71从 本 例 计 算 结 果 注 意 到 ， 3 公 斤 苹 果 与 8 公 斤 猪 肉 综 合 成 1 种 产 品 的 数 量 大 小 s 为 11.92145772 公 斤

20、， 它 们 价 值 不 相 等 ， 即 ： spypxp92.1186.4882321 这 是 为 什 么 呢 ？ 这 是 因 为 如 果 我 们 有 ps = 4.86 11.92= 57.9517 元 的 钱 ， 我 们 购 买 2 种 产 品 的 数 量 不 是 3 公 斤 苹 果 与 8 公 斤 猪 肉 , 应 该 按 下 式 计 算 ： 56619.409517.577.038551.179517.573.021spbabypspbaaxp x = 8.692755 y = 5.070774 即 应 该 购 买 x = 8.692755 公 斤 苹 果 与 y = 5.070774

21、公 斤 猪 肉 。 72例例 2 ：查 1995 年中国统计年鉴，国民经济可分为如下 6 个部门 或 6 种产品：农业、工业、建筑业、交通运输邮电业、商业饮食业 与非物质生产部门。人们在上述 6 种产品的消费支出比例为： 2268. 0:0719. 0:0048. 0:1904. 0:3388. 0:1673. 0:654321aaaaaa 1995 年作为基准年。各种产品价格设定为 1。总物价水平也设定为 1。 即： 1)0(, 1)0()0()0(621pppp73设 1995 年各种产品消费额为： 0.5094、1.0164、0.5712、0.0144、0.2157、0.6804（万亿元

22、） 。 (注意：以上数据可从统计资料中直接或间接获得，但由于本文 仅介绍原理，有些数据为人为设定，下同。)由于各种产品价格 设定为 1，因此以上也是各种产品实物数量的大小，即： 6804. 0)0(,2157. 0)0(,0144. 0)0(,5712. 0)0(,0164. 1)0(,5094. 0)0(654321xxxxxx（万单位） 74现设 1996 年各种产品价格指数为： 03. 1) 1 (,20. 1) 1 (,98. 0) 1 (,03. 1) 1 (,05. 1) 1 (,10. 1) 1 (654321pppppp 又设 1996 年各种产品消费支出额(名义值)为： 81

23、65. 0) 1 () 1 (,2588. 0) 1 () 1 (,0173. 0) 1 () 1 (6854. 0) 1 () 1 (,2197. 1) 1 () 1 (,6059. 0) 1 () 1 (665544332211xpxpxpxpxpxp （万亿元） 求 6 种产品综合成 1 种产品的数量大小及物价指数？ 75解：依式（15） ， 11)0()0()0(616611Aapappaa 求出 A, 再依式（14） ， 1995 年 6 种产品综合成 1 种产品的数量大小为： 3)0()0()0()0()0(61666111aaaxpaxps （万单位） 注意到它等于 1995 年

24、各种产品消费额之和,即： 3=0.5094+1.0164+0.5712+0.0144+0.2157+0.6804（万单位） 76依式（15）注意求出的A值，1996年6种产品综合成1种产品的价格为：06030. 1)0() 1 ()0() 1 () 1 (616611aappppp77再依式（14），1996年6种产品综合成1种产品的数量大小为： 3953. 3) 1 ()0() 1 ()0() 1 (61666111aaaxpaxps（万单位） 由以上计算可知，物价上胀率为由以上计算可知，物价上胀率为6.030%, 实际经济增长率为实际经济增长率为3.3953/3 1= 13.177%, 名义经济增长率为名义经济增长率为3.6/3 1= 20.0%。 解毕。解毕。78 通过以上例子计算，我们给出综合产品的数量、通过以上例子计算，我们给出综合产品的数量、综合产品的价格与不变价、现价、通货膨胀率综合产品的价格与不变价、现价、通货膨胀率之间的关系。不变价的本质指综合产品的数量。之间的关系。不变价的本质指综合产品的数量。 应当注意到，以上数据有些为人为设定，我应当注意到，以上数据有些为人为设定，我们假设消费者在各种产品的支出比例为固定