人教版九年级上第22章二次函数精品课堂22.1二次函数的图象和性质导学案（有答案）

1、.二次函数精品课堂-二次函数的图象和性质【问题探究】还记得一次函数和反比例函数图象是如何画的么？它们是如何根据图象理解其性质的？那么二次函数的图象是什么形状？它有什么性质？【新课引入】用描点法画出二次函数的图象，并观察图象的特征。（1） 列表：根据函数的自变量可以是任意实数，所以选取自变量的值，并计算出对应值，并填入下表：-3-2-10123.2描点法：表中每个为点的横坐标，对应的值为点的纵坐标，在图1平面直角坐标系中描出相应的点；3连线：用平滑的曲线顺次连接所描的点，即为二次函数的图象。图2图1注意：一般地，选点越多，图象越准确，但也要详细情况详细分析。提问：1、二次函数的图象和性质是什么？

2、2、在上图2的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象；3、二次函数与图象有什么共同特征？答复：通过画图象，并分析观察，我们知道二次函数与的图象都是关于轴对称的曲线，它们的开口方向向上或者向下，但形状都是抛物线。回忆与反思 抛物线是轴对称图形，每条抛物线都有一条对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。探究 二次函数的图象和性质。通过画图我们可以知道二次函数详细如下性质：图象开口方向向上向下顶点坐标0，00，0对称轴轴所在的直线轴所在的直线增减性当时，随的增大而增大；当时，随的增大而增小。当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大。最大小值时，时，说明：1抛物线的性质是从它的开口方向、顶点坐标

3、、对称轴、增减性和最大小值几个方面来探究的。 2抛物线开口向上时，顶点坐标是最低点；抛物线开口向下时，顶点坐标是最高点。 3抛物线的形状是由来确定的，一般来说，越大，抛物线的开口就越小； 4抛物线的对称轴是一条直线，抛物线的对称轴是轴，也可以说是直线。探究 抛物线与的关系。抛物线与的形状一样，但位置不同。当时，可由抛物线沿轴向右平移个单位长度；当时，可由抛物线沿轴向左平移个单位长度。探究 抛物线与的关系。抛物线与的形状一样，但位置不同。抛物线的图象经过平移向左或向右平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，可以得到抛物线。图象【总结归纳】一、二次函数的最值问题和增减性：系数a的符号时， 最值

4、增减性a0最小值时y随x的增大而减小.a0最大值时y随x的增大而增大.二、二次函数的平移平移不改变抛物线的形状和大小，改变的只是位置，下面以抛物线为例简单说明1上下平移： 2左右平移：3符合平移： 抛物线的顶点是点，对称轴时，形状、开口方向与抛物线一样，由上可知抛物线平移的过程中不变，只有顶点的位置改变，也可以用这一点解决相关问题。三、二次函数五种情况的图象的特征：函数图象特征函数的最大值或最小值开口方向顶点坐标对称轴向上轴所在的直线当时，向下向上过点且平行于轴的直线当时，向下向上过点且平行于轴的直线当时，向下向上过点且平行于轴的直线当时，向下向上过点且平行于轴的直线当时，向下【精选例题】一根

5、据二次函数关系式得出图象的性质：例1、抛物线开口，当时，有最值，是。当时，随的增大而减小。解析：，开口向下； 当时，有最大值，最大值为0； 当时，随的增大而减小。 所以，抛物线开口 向下 ，当0时，有最大值，是0。当 0时，随的增大而减小。例2、抛物线开口，当时，有最值，是。当时，随的增大而增大。解析：，开口向上； 方法一：直接套用顶点公式 当时，有最小值，最小值为； 当时，随的增大而增大。 方法二：用配方法，将二次函数关系式转化为顶点式由上可知：当时，有最小值，最小值为； 当时，随的增大而增大。所以，抛物线开口向上，当 时，有最小 值，是。当时，随的增大而增大。前思后想：1、 根据二次函数关

6、系式得出图象的性质，可以直接套用二次函数顶点坐标公式；2、 用配方法，将二次函数关系式转化为顶点式。牛刀小试：1、分别说出以下函数图象的开口方向、顶点坐标与对称轴 1 ； 2 ； 32、填空：1对于函数，当时函数值随自变量的增大而_；当_时，函数有最_ 值，最_ 值是_；2对于函数，当时函数值随自变量的增大而_；当_时，函数有最_ 值，最_ 值是_；3、填空：1 ； 2；3； 4。答案：1、1：开口方向向上、顶点坐标0，0、对称轴为轴；2 ：开口方向 向下、顶点坐标 、对称轴为轴；3 ：开口方向 向下、顶点坐标 、对称轴过点且平行于轴的直线。2、填空：1对于函数，当时函数值随自变量的增大而 减

7、小 ；当 = 0 时，函数有最 大 值，最 大 值是 0 ；2对于函数，当时函数值随自变量的增大而 增大 ；当 = -1 时，函数有最 小 值，最 小 值是 -2 ；3、填空：1 ； 2；3； 4。二知道二次函数图象的性质求抛物线解析式例3、假设抛物线开口向下，求的值和抛物线的关系式解析： 是抛物线 ，解得， 抛物线的开口向下， 将代入 得，抛物线的关系式为。前思后想：根据图象的性质求抛物线解析式或是求待定系数。牛刀小试1、原点是抛物线的最高点，那么的取值范围是A. 1B. 1C. 1D. 22、假设抛物线中，当时随的增大而减小，那么。3、一条抛物线的开口方向、对称轴与一样，顶点纵坐标是-2，

8、且抛物线经过点1，1，求这条抛物线的函数关系式。答案：1、A2、 是抛物线，解得，。 当时随的增大而减小，抛物线的开口向下。3、设新抛物线为。因为抛物线开口方向为向上，对称轴为轴所在的直线，所以 又因为新抛物线顶点纵坐标是-2，所以 所以，且抛物线经过点1，1，得，即 所以。三二次函数的平移技巧例4.抛物线经过平移得到，平移方法是 A、 向左平移1个单位长度长度，再向上平移3个单位长度长度B、 向右平移1个单位长度长度，再向上平移3个单位长度长度C、 向左平移1个单位长度长度，再向下平移3个单位长度长度D、 向右平移1个单位长度长度，再向下平移3个单位长度长度解析：二次函数通过配方可变形为，其

9、顶点坐标为1，3，抛物线的顶点坐标为0，0，抛物线与的形状一样，只是位置不同，把1，3先向左平移1个单位长度长度，再向下平移3个单位长度长度，可得到点0，0的位置。应选C 。例5. 的图象是抛物线，假设抛物线不动，把轴，轴分别向上、向右平移2个单位长度长度，那么在新坐标系下抛物线的解析式是解析：因为抛物线不动，把轴，轴分别向上、向右平移2个单位长度长度， 根据相对平移的方法，轴向上平移2个单位长度长度，相当于是把抛物线向下平移了2个单位长度长度；轴向右平移2个单位长度长度，相当于是把抛物线向左平移了2个单位长度长度。 所以，新坐标系下抛物线的解析式是，即选B前思后想：二次函数图象的平移实际上是

10、顶点的平移，只要确定出平移前抛物线顶点的坐标和抛物线平移后的顶点坐标，根据二者之间的位置关系即可判断平移情况。牛刀小试：1、在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向上平移2个单位长度长度，所得图象的解析式为 A B C D2、抛物线y=20x2可以看作抛物线y=_沿y轴向_平移_个单位长度长度得到的3、 抛物线yx2bxc的图象向左平移2个单位长度长度。再向上平移3个单位长度长度，得抛物线yx22x1，求：b与c的值。4、 在同一直角坐标系中，画出函数与的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线答案：1、选B 2、 3、抛物线yx22x1，配方得 由题抛物线的图象向左平移2个单位长度

11、长度。再向上平移3个单位长度长度，得到，可知向右平移2个单位长度长度。再向下平移3个单位长度长度，得到，即，整理成一般式为。 所以。4、画图略；由抛物线图象向下平移2个单位长度长度得到抛物线。五根据二次函数图象判断的正负符号例6. 如右图所示二次函数图象，那么判断的符号。解析：由图可知，抛物线的开口方向向上，所以； 由对称轴在轴的右侧，可知，又，所以； 抛物线与轴交于负半轴，所以。例7、二次函数的图象如下图，对称轴是，那么以下结论中正确的选项是 解析：由图可知，抛物线的开口方向向上，所以； 由对称轴在轴的右侧，可知，又，所以，所以B错误； 抛物线与轴交于正半轴，所以。 由上可知，那么A错误；因

12、为，所以，所以，那么C错误；由对称轴为直线，可知，那么D正确答案：例8、以下图象中，当ab0时，函数yax2与yaxb的图象是 解析：因为ab0，所以同号。A图中抛物线开口向上，那么，直线经过一、三、四象限，所以，故A错；B图中抛物线开口向上，那么，直线经过一、二、四象限，所以，故B错；C图中抛物线开口向下，那么，直线经过一、三、四象限，所以，故C错；D 图中抛物线开口向下，那么，直线经过二、三、四象限，所以，故D正确。所以选D。前思后想：1、解决此类问题要运用数形结合的方法，解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状、对称轴、特殊点的关系。2、总结的正负符号，的符号看抛物线开口方向；的符号，可以通过对称轴和的符号来确定，对称轴在轴的右侧异号，对称轴在轴的左侧同号；的符号，看图象与轴的交点在正负半轴。牛刀小试：1、二次函数的大致图象如下图，那么函数图象不经过 A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限第3题图第2题图第1题图2、如下图是二次函数图象的一部分，