三角恒等变换技巧

1、精选优质文档-倾情为你奉上三角恒等变换技巧三角恒等变换不但在三角函数式的化简、求值和证明三角恒等式中经常用到，而且由于通过三角换元可将某些代数问题化归为三角问题；立体几何中的诸多位置关系以其交角来刻画，最后又以三角问题反映出来；由于参数方程的建立，又可将解析几何中的曲线问题归结为三角问题因此，三角恒等变换在整个高中数学中涉及面广是常见的解题“工具”而且由于三角公式众多方法灵活多变，若能熟练地掌握三角恒等变换，不但能增强对三角公式的记忆，加深对诸多公式内在联系的理解，而且对发展学生的逻辑思维能力，提高数学知识的综合运用能力都大有裨益 ·一、 切割化弦“切割化弦”就是把三角函数中的正切、

2、余切、正割、余割都化为正弦和余弦，以有利于问题的解决或发现解题途径其实质是”归一”思想【例1】 证明：证明：左边 右边左边右边原等式得证点评“切割化弦”是将正切、余切、正割、余割函数均用正弦、余弦函数表示，这是一种常用的、有效的解题方法当涉及多种名称的函数时，常用此法减少函数的种类【例2】 已知同时满足，且均不为零，试求“”b 的关系解：显然，由×+×得：，即又，代入得点评 本例是化弦在解有关问题时的具体运用，其中正割与余弦、余割与正弦之间的倒数关系是化弦的通径【例3】 化简解：原式= 点评 这里除用到化切为弦外，其他化异角函数为同角函数等也是常用技巧二、 角的拆变在三角恒

3、等变换中经常需要转化角的关系，在解题过程中必须认真观察和分析结论中是哪个角，条件中有没有这些角，哪些角发生了变化等等因此角的拆变技巧，倍角与半角的相对性等都十分重要，应用也相当广泛且非常灵活常见的拆变方法有：可变为；可变为；可变为；可视为的倍角；可视为的半角等等【例4】（2005年全国卷）设为第四象限角，若，则_.解： 又为第四象限角 点评这里将写成，将写成是解题的切人点根据三角表达式的结构特征，寻求它与三角公式间的相互关系是解题的关键【例5】已知锐角、满足，求的最大值及的值。解：又又，等式两边同除以得：，即在上是增函数，故的最大值是，此时点评 已知条件中有和，而待求式中只有，因此可将拆变成已

4、知条件中出现的角即这种常用的拆变技巧要注意掌握【例6】已知，试求解：，由点评 研究已知角与待求式之间角的关系，以确定角的拆变的操作方式是解题的出发点，此即“变角”技巧的由来【例7】求的值解：设，则=0点评 这里选择一个适当的角为“基本量”，将其余的角变成某特殊角与这个“基本量”的和差关系，这也是角的拆变技巧之一三、“ 1 ”的代换在三角函数中，" 1 ”可以变换为 ，等等，根据解题的需要，适时地将“ 1 ”作某种变形，常能获得较理想的解题方法【例8】求的最小值解：当且仅当即时取等号。故所求最小值为 9 .【例9】（ 2004 年全国卷）求函数最小正周期、最大值和最小值解：所以函数的最

5、小正周期是，最大值是，最小值是【例10】化简解：原式=点评“1=”的正用、逆用在三角变换中应用十分广泛，要灵活掌握除此以外，还经常用到： 1 =灵活运用这些等式，可使许多三角函数问题得到简化【例11】已知，求的值解：点评这里是 1=tan的运用若直接从已知式中求出tan，再用万能公式，虽然思路很直观，但却导致较复杂的运算四、变通公式对于每一个三角公式，教材中仅给出其基本形式，但我们若熟悉其它变通形式常可以开拓解题思路例如，由可变通为与、由，可变通为【例12】（2002·北京春·）在ABC中，已知三内角A、B、C成等差数列，求的值解：三内角A、B、C成等差数列，且A+B+C=

6、，A+C=120由两角和的正切公式：点评 本例是正切公式变形的运用，在历年高考题中，曾多次出现两角和与差的正切公式的变形运用，读者要仔细体会【例13】已知，求的值解：点评 若三角函数式中同时出现，常可用【例14】证明：证明 由同理：+2×+4×整理得：【例15】证明：证明 左边= =右边点评 应用倍角公式的变形公式来处理三角函数式的积的问题常常是一种很巧妙的解题方法五、升幂与降次分析题目的结构，掌握结构的特点，通过升幂、降次等手段，为使用公式创造条件，这也是三角变换的重要技巧利用余弦的倍角公式可知，这样可以用倍、半角公式来升幂（从右到左）和降次（从左到右）【例16】 .已知

7、，求解： 由得原式=点评 遇平方可用“降次”公式，这是常用的解题策略本题中首先化异角为同角，消除角的差异，然后化简求值关于积化和差、和差化积公式，教材中是以习题形式给出的，望引起重视【例17】 （ 2002 年全国卷）已知，求和的值 解：由得 即 即点评 观察题设条件和待求的函数值，会发现题设条件中为倍角，而待求函数为单角，所以使用半角公式升幂，并通过因式分解使问题得以迅速解决 【例18】证明：证明 左边 右边点评 根据三倍角公式，有也常用来降次有些数学竞赛题中经常用到此技巧方法六、引入辅助角当均不为零时利用（其中为辅助角且满足）来作变换也是常用方法【例19】 （2005 年辽宁卷）如图 10

8、一1，在直径为 1 的圆 O 中，作一关于圆心对称，邻边互相垂直的十字形，其中 y > x > 0 . （）将十字形的面积表示为的函数； (为何值时，十字形的而积最大？最大面积是多少？解（ I ）设 S 为十字形的面积，依题意有 （）化简S的表达式其中，当即时，S最大所以，当时，S最大，最大值为点评 在求三角函数的极值时经常通过引人辅助角后利用三角函数的有界性求解【例20】（200 ，年全国卷）若则（ ）（A） （B） （C） （）解：又在上是增函数，故选A点评 比较大小，一般可作差比较，但运算量较大这里由于均为型，所以可引入辅助角，这是处理此类问题的常用技巧七、平方消元有时将某些

9、式子平方后再相减（加）可消去一些项，使所求问题变得更简单明了【例21】（2005年南昌市模拟题）设为锐角，且，求和的值。 解：（1）由，得：+得（2） 又为锐角，点评 本题中将 与 分别平方后再相减消去平方项从而求得的值这是解决此类问题的常用方法，但很多情况下用平方消元并不一定很直观，大多数是以隐蔽的形式出现的，应注意发掘和利用【例22】已知成等差数列，成等比数列，证明：证明：成等差数列，将上式平方得：又成等比数列，代入得故点评 这里是利用平方消去交叉项达到消元目的八、裂项添项跟代数恒等变换一样在三泊变换 ，有时适当地应用”加一项再减去这一项” . “乘一项再除以同一项”的方法常能使某些问题巧

10、妙简捷地得以解决 【 例 23 】 求的值。解：原式点评 本题巧妙地运用“乘一项再除以同一项” 的方法致使其发生“连锁反应”，迅速求解 【例24】证明： 证明 左边右边点评 本例中采用“加一项再减去这一项”、“乘一项再除以同一项”的方法，其技巧性较强，其目的都是为了便干分解因式进行约分化简 【例25】求的值解：原式点评 这里根据题目的特点，各项乘以后，再用积化和差公式巧妙地进行裂项相消，这些技巧均颇具代表性九、设元转化换元法作为一种数学思想，其应用广泛，我们第三章已作了专题练习，这里仅就几种带典型性的三角恒等变换中的换元予以剖析 【例26】如图所示，ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，其中AST是一半径为90m的扇形小山，其余部分都是平地，一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在上，相邻两边CQ、CR落在正方形的边 BC 、 CD 上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值【解析】设，延长RP交AB于M，则，令，则故当时，的最小值为950故当时的最大值为（14050-9000）【评注】引入角，将矩形PQCR的面积表示为的函数，再求函数的最大值，当然变量的引入要"适当"【例27】化简解：令则即 +得： ，即原式点评 根据题目的特点，总体设元，然后构造与其相应的对偶式，运用方程的思想来解决三角恒等变换，也是常用的方法，本题也可以