微积分第一课(函数极限)

1、数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的一们科学。数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的一们科学。函数的极限函数的极限请大家回顾：请大家回顾： 什么叫数列的极限？什么叫数列的极限？ .,),0(,极限的是数列或者说为极限以列那么就说数无限地接近于即无限地趋近于某个常数的项数列无穷无限增大时如果当项数一般地nnnnnaaaaaaaaan数列极限的概念数列极限的概念数列极限的表示方法数列极限的表示方法: . , .,lim:,无限增大的意思就是趋向于无穷大表示趋向于表示符号的极限等于大时趋向于无穷当这个式子读作则记作为极限以如果常数是一个是一个无穷数列设一般地nnnaanaaaaaannnnn等

2、等。这些函数的极限。即：限，也就是求的函数式，求数列的极就是数列的函数式，就是数列变量的函数式。如为自正整数通项表达式就是一个以那么这个如果数列有通项公式，021lim)(lim, 01lim)(lim2121)(11)( nnnnnnnnfnnfnfnnnfn的情况。的，而且变化趋势只是离散正整数，其变化方式是只能取但数列极限中的nn 的极限。时，函数、当)(1xfx的图象。并画出函数们列出下表，的变化趋势。为此，我无限增大时当我们考察函数xyxxy11x 1 10100100010000100000 y 1 0.1 0.010.001 0.0001 0.00001 642-2-4-6-55

3、10f x 可以变得任意小。，即趋近于的值无限正无穷大时）函数趋向于即取正值并无限增大时（当自变量从表和图象可以看出，001yxyxx. 01lim01 xxyxx记作：。的极限是于正无穷大时，函数趋向当上述变化趋势，我们说根据.)(,)(lim,)(,)(axfxaxfaxfxaxfxx时，也可记作：当记作：的极限是函数趋向于正无穷大时，就说当个常数无限趋近于一增大时，如果函数取正值并且无限一般地，当自变量x-1-10-100-1000-10000-100000y-1-0.1-0.01-0.001-0.0001-0.00001642-2-4-6-5510f x .)(-,)(lim,)(,)

4、(-axfxaxfaxfxaxfxx时，也可记作：当记作：的极限是函数趋向于负无穷大时，就说当个常数无限趋近于一增大时，如果函数取负值并且绝对值无限当自变量.)(lim)(.)()(lim,)()(lim,)(lim-cxfRxcxfaxfxaxfaxfxaxfaxfxxxx也有（对常数函数时，也可记作：当。记作：的极限是数趋向于无穷大时，函那么就说当且如果须注意的几点须注意的几点:,) 1 (也就是定义须满足一定条件它们的上面三类函数的极限X的变化趋势的变化趋势函数的定义域函数的定义域x),(mx),(mx),(.31lim.31lim, 031lim, 031)(:.,也就不存在了当然不存

5、在而有的定义域为如义域一定要注意了函数的定时在求这三类函数极限这就要求我们xxxxxxfxxx数列极限与函数极限是什么关系呢数列极限与函数极限是什么关系呢?.)(limlim,lim,)2(的一种特殊情形数极限仅是函因此数列极限的情况的变化趋势只是且而其变化方式是离散的取正整数只能中而数列极限续取值的是连量上面三类极限中的自变xfannnaxnnnnn.,)(,)(lim,)(lim,)(lim) 3(之处这是它们的共同却都是无限趋近的相对常数可是函数方向是不同的趋向于无穷大的自变量中注意到在axfxaxfaxfaxfnnn)0( 1)0(0)0( 1)() 3(2)2()21() 1 (:,

6、. 1时时时势讨论下列函数的变化趋的情况和趋向于分别就自变量例xxxxfyyxxx108642-2-5510f x x108642-2-10-55g x x1.510.5-0.5-1-1.5-2-112.,:极限是否存在时的当这三道题请问xxxxxxxxexlim)4(21lim)3( 1)3(lnlim)2()3(lglim) 1 (:. 2写出下列函数的极限例.)()0( 11)0(11)(. 322时的极限在试讨论已知例xxfxxxxxf的极限时，函数、当)(10 xfxx 的变化趋势。时，函数无限趋近于我们讨论当22xyxx1.51.91.991.999 1.99992.253.613

7、.963.996 3.99961.750.390.040.004 0.00042xy 4yx2.52.12.012.001 2.00016.254.414.044.004 4.00042.250.410.040.004 0.00042xy 4y108642-552f x 2来观察。我们借助于函数的图象，时，函数值变化的趋势地趋近于无限当自变量函数我们再来观察下面两个111, 12xxxyxy4321-4-22421f x 3.532.521.510.5-0.5-1-3-2-1123f x 2-1x-1处的极限。在点也叫做函数时，当也可记作：记作的极限是时，函数趋近于就说当限趋近于一个常数无时，

8、如果函数（但不等于无限趋近于常数一般地，当自变量00000)()(lim.)(,)(lim,)(,)()00 xxxfxfaxfxxaxfaxfxxaxfxxxxxxx的变化的无限变化过程中来看趋近于是从的极限点趋近于一个定这里包含两点：第一，处一定有意义，并不要求函数在无限趋近于）定义中，“自变量（处的局部性质。在的极限，是函数时，函数）（须注意的几点：)()(lim2)()(10000000 xfxxaxfxxxxxxxxfxfxxxx无关。是否等于无关，与处是否有定义在点与函数也不作要求，也就是处的函数值在点函数是否等于对于第二、的定义域不作要求；是否属于函数趋势的，对于点axfxxfa

9、xfxfxxfaaxfxfxxxxx)()()(lim)()()(lim)(0000005)4() 3(sin)2(1212yxyxyxyx）（列函数的极限：时，写出下、当例93lim)4()2144(lim)3(9lim)2(sinlim12322324xxxxxxxxx）（极限：练习：写出下列函数的)(lim)8()1311(lim)7(3512lim)6(211lim)5(2312322xxxxxxxxxxxxxx的值。求、已知例baxbaxx, 11lim221.)(,00极限的时函数的一侧无限趋近于的点只能从表示即自变量极限单侧数的今天我们要讨论的是函xfxxx.0101)(时的极限

10、当先考虑函数xxxxfy)0()0()0(时当时当时当xxx321-1-2-4-224o-11.)(lim:,)(,)(,)(,00000axfxxfaaxfxxxxxxxx记作处的左极限在点函数是就说无限趋近于常数函数时无限趋近于即左侧从点如果当一般地.)(lim:,)(,)(,)(,00000axfxxfaaxfxxxxxxxx记作处的右极限在点函数是就说无限趋近于常数函数时无限趋近于即右侧从点如果当一般地对于函数可知右极限定义由函数在一点处的左,1)(lim, 1)(lim101)(xfxfxxxfy0 0 x x0 0 x x)0()0()0(时当时当时当xxxaxfxfaxfxx)(lim)(lim)(lim:,00 00 0 x xx xx xx x可以得出右极限的定义左极限限根据函数在一点处的极1lim,1lim,1lim:. 1231231231xxxxxxxxxxxx求极限例.,)(,. 2写出极限值如果有极限限处有没有极指出它们在点并右极限处的左极限点在根据图象写出函数象观察图中几个函数的图例a