复变函数及积分变换第四章

1、第四章第四章 解析函数的级数表示解析函数的级数表示1 1 复数列的极限复数列的极限2 2 复数项级数复数项级数4.14.1 复数项级数复数项级数4.1.1 4.1.1 复数列的极限复数列的极限称称 为复数列为复数列, 简称简称 (1,2,3,)nnnain 为数列为数列, 记为记为 .na定义定义4.1设设 是数列，是数列， 是常数是常数. naai 如果如果 e e 0, 存在正整数存在正整数N, 使得当使得当nN 时时, 不等式不等式 naae e成立成立, 则称当则称当n时时, 收敛于收敛于 na, a或称或称 是是 的极限的极限, 记作记作a nalim,nnaa 或或 .naan 复

2、数列收敛与实数列收敛的关系复数列收敛与实数列收敛的关系lim,lim.nnnnaabbaabb=定理定理4.1 limnnaa 的充分必要条件是的充分必要条件是 该结论说明该结论说明: : 判别复数列的敛散性可转化为判别判别复数列的敛散性可转化为判别两两个实数列的敛散性个实数列的敛散性. .4.1.2 4.1.2 复数项级数复数项级数121nnnaaaa = = =+ + + + + L LL L为复数项级数为复数项级数. .称称121nnknkSaaaa= =+=+ L L为该级数的前为该级数的前 n 项项部分和部分和.设设 是复数列是复数列, 则称则称 nnnai 级数收敛与发散的概念级数

3、收敛与发散的概念定义定义4.2如果级数如果级数 121nnnaaaa = = =+ + + + + L LL L的部分和数列的部分和数列 收敛于复数收敛于复数 S, 则称则称级数收敛级数收敛, nS这时称这时称S为为级数的和级数的和, 并记做并记做 1.nnaS 如果如果 不收敛，则称不收敛，则称级数发散级数发散. nS复数项级数与实数项级数收敛的关系复数项级数与实数项级数收敛的关系定理定理4.2 级数级数 收敛的充要收敛的充要11()nnnnnai条件是条件是 都收敛都收敛, 并且并且 11, nnnn111.nnnnnnai 说明说明 复数项级数的收敛问题复数项级数的收敛问题两个实数项级数

4、的收敛问题两个实数项级数的收敛问题级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件lim0.nna 定理定理4.3如果级数如果级数 收敛收敛, 则则 1nna 证明由定理证明由定理4.2及实数项级数收敛的必要及实数项级数收敛的必要条件条件 知知 lim0, lim0nnnn lim0.nna 重要结论重要结论: : 发散发散. .1lim0nnnnaa 于是在判别级数的敛散性时于是在判别级数的敛散性时, 可先考察可先考察lim0.nna ?定义定义4.3设设 是复数项级数是复数项级数, 如果正项如果正项1nna 级数级数 收敛收敛, 则称级数则称级数 绝对收敛绝对收敛. 若若1nna 1nna 绝对收敛级

5、数的性质绝对收敛级数的性质定理定理4.4若级数若级数 绝对收敛绝对收敛, 则它收敛则它收敛, 1nna 并且成立并且成立11.nnnnaa 1nna 绝对收敛绝对收敛 和和 都绝对收敛都绝对收敛. 1nn 1nn 发散，而发散，而 收敛，则称级数收敛，则称级数条件收敛条件收敛. .1nna 1nna 推论推论解解.)1(111)1(1121发发散散收收敛敛，发发散散， nnnninnn绝绝对对收收敛敛。收收敛敛， 000!)8(!8!8)2(nnnnnnninni.)2)1(21)1()3(111收收敛敛收收敛敛，收收敛敛， nnnnnnninn例例4.1否否绝绝对对收收敛敛？下下列列级级数数

6、是是否否收收敛敛？是是 011)2)1()3(!)8()2()1(1)1(nnnnnninninin.)1(1原原级级数数非非绝绝对对收收敛敛收收敛敛，条条件件又又 nnn1 1 幂级数的概念幂级数的概念2 2 幂级数的敛散性幂级数的敛散性3 3 幂级数的性质幂级数的性质4.2 4.2 幂幂 级级 数数为复变函数项级数为复变函数项级数. . 010( )( )( )( )nnnfzfzf zfz 011( )( )( )( )nnSzfzf zfz为该级数前为该级数前n项的项的部分和部分和. .设设 是定义在区域是定义在区域D上的复变函数列上的复变函数列, ( )nfz称称4.2.1 4.2.

7、1 幂级数的概念幂级数的概念01( )( )( )( )nS zfzfzfz称为该级数在区域称为该级数在区域D上的上的和函数和函数.如果对如果对 级数级数 收敛收敛, 即即 0,zD 01()nnfz 00lim()(),nnSzS z 则称级数则称级数 在在 点收敛点收敛, 且且 是级数和是级数和. 0( )nnfz 0z0()S z如果级数如果级数 在在D内处处收敛内处处收敛, 则称其在则称其在 0( )nnfz 区域区域D内收敛内收敛. 此时级数的和是函数此时级数的和是函数20010200()()()nnna zzaa zza zz 20120,nnnnna zaa za za z 这类

8、函数项级数称为这类函数项级数称为幂级数幂级数.当当 或或 时时,0( )()nnnfzazz ( )nnnfza z 或或 的特殊情形的特殊情形00z 函数项级数的形式为函数项级数的形式为0(),nnazz定理定理4.5 (Abel定理定理)若级数若级数 在在 0nnna z 10z 处收敛，则当处收敛，则当 时时, 级数级数 绝对收敛绝对收敛; 0nnna z 1zz 若级数若级数 在在 处发散，则当处发散，则当 时时, 级数级数 0nnna z 2z2zz 0nnna z 发散发散. 4.2.2 4.2.2 幂级数的敛散性幂级数的敛散性收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径(1) 对所有的正实数

9、都收敛对所有的正实数都收敛.级数在复平面内绝对收敛级数在复平面内绝对收敛. .(2) 对所有的正实数都发散对所有的正实数都发散.级数在复平面内除原点外处处发散级数在复平面内除原点外处处发散. .(3) 既存在使级数发散的正实数既存在使级数发散的正实数, 也存在使级数收也存在使级数收敛的正实数敛的正实数.设设 时时, 级数收敛级数收敛; 时时, 级数发散级数发散. 如图如图:z z 由由 , 幂级数幂级数 收敛情况有三种收敛情况有三种:0nnna z xyo . .R收敛圆收敛圆收敛半径收敛半径幂级数幂级数0nnna z = = 的收敛范围是以原点为中心的圆域的收敛范围是以原点为中心的圆域.1

10、1 . 幂级数幂级数00()nnnazz 的收敛范围是的收敛范围是因此，因此，事实上事实上, 幂级数在收敛圆周上敛散性的讨幂级数在收敛圆周上敛散性的讨问题：问题：幂级数在收敛圆周上的敛散性如何幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?以以 为中心的圆域为中心的圆域.0zz 收敛半径根据前面所述的三种情形收敛半径根据前面所述的三种情形, 分别分别, 0, . R 规定为规定为论比较复杂论比较复杂, 没有一般的结论没有一般的结论, 要对具体级数要对具体级数进行具体分析进行具体分析.解解2111(1).1nnnzSzzzzz 1 z1lim1nnSz 级数级数 0nnz收敛收敛,1 z0lim nnz级数级数

11、 0nnz发散发散.绝对收敛绝对收敛, 且有且有在在 内内, 级数级数1z 0nnz例例4.24.2 求级数求级数 的和函数与收敛半径的和函数与收敛半径.0nnz 所以收敛半径所以收敛半径1,R 01.1nnzz 收敛半径的计算方法收敛半径的计算方法( (一一) )(3) 当当 时时, 收敛半径收敛半径 1.Rr r= =0 1lim,nnnaa ;R (1) 当当 时时, 收敛半径收敛半径 0 0;R (2) 当当 时时, 收敛半径收敛半径 定理定理4.6 (比值法比值法)设级数设级数 如果如果0.nnna z 则则收敛半径的计算方法收敛半径的计算方法( (二二) )(3) 当当 时时, 收

12、敛半径收敛半径 1.Rr r= =0 lim,nnna ;R (1) 当当 时时, 收敛半径收敛半径 0 0;R (2) 当当 时时, 收敛半径收敛半径 定理定理4.7 (根值法根值法)设级数设级数 如果如果0.nnna z 则则由于幂级数在收敛圆的内部绝对收敛，因此由于幂级数在收敛圆的内部绝对收敛，因此可得出下面几个性质可得出下面几个性质. 性质性质4.1(1) 设级数设级数 和和 的收敛的收敛0nnna z 0nnnb z 半径分别为半径分别为 和和 1R2,R则在则在 内内, 12min(,)zRR R000(),nnnnnnnnnnab za zb z 0110000.nnnnnnnn

13、nnna zb za ba ba bz 4.2.3 4.2.3 幂级数的性质幂级数的性质(2) 设级数设级数 的收敛半径为的收敛半径为 r.0( )nnnf za z 如果在如果在 内内, 函数函数 解析解析, 并且并且Rz )(zg,)(rzg 则当则当 时时,Rz 0 ( ) ( ) .nnnf g zag z 说明说明: : 上述运算常应用于将函数展开成幂级数上述运算常应用于将函数展开成幂级数.前面关于级数前面关于级数 的性质的性质, 如果将如果将 换成换成0nnna z z0zz 之后之后, 对于级数对于级数 当然也成立当然也成立. 00()nnnazz bz 1例例4.34.3 把函

14、数把函数 表示成形如表示成形如0()nnnaza = =- - 的幂级数的幂级数, 其中其中a与与b是不相等的复常数是不相等的复常数 . bz1)()(1abaz 11.1zababa 代数变形代数变形 , 使其分母中出现使其分母中出现)(az 凑出凑出)(11zg 把函数把函数 写成如下的形式写成如下的形式:bz 1211.1nzazazazababababa 2231111()()()()zazazbbababa 11().()nnzaba 当当 即即 时时,1,zaba zaRba 所以所以定理定理4.8设幂级数设幂级数 收敛半径收敛半径00()nnnazz 为为R, 并且在并且在 内内

15、, 0zzR 00( )() ,nnnf zazz 则则 是是 内的解析函数内的解析函数, 且在收敛圆且在收敛圆 ( )f z0zzR 0zzR 内内, 可以逐项求导和逐项积分可以逐项求导和逐项积分, 即即 (1) 当当 时时, 0zzR 101( );nnnfznazz (2) 设设C是是 内的一条分段光滑曲线内的一条分段光滑曲线,0zzR 则则 00( )dd .nnCCnf zzazzz 特别地特别地, 如果如果C是圆内部的以是圆内部的以z0为起点、为起点、z为为 终点的分段光滑曲线终点的分段光滑曲线, 则则 0100( )d.1znnznaf zzzzn 1 1 Taylor级数展开定

16、理级数展开定理2 2 将函数展开成将函数展开成Taylor级数级数4.3 4.3 Taylor级数级数实函数在一点的邻域内展开成实函数在一点的邻域内展开成Taylor级数是级数是非常重要的问题，它是表示函数、研究函数性质非常重要的问题，它是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的一种工具以及进行数值计算的一种工具. 对于复变函数对于复变函数, 我们已经知道幂级数在收敛我们已经知道幂级数在收敛圆域内收敛于解析函数圆域内收敛于解析函数. 在本节我们将证明解析在本节我们将证明解析函数在解析点的某邻域内一定能够展开成幂级数函数在解析点的某邻域内一定能够展开成幂级数Taylor级数级数. 这是解析函数的

17、重要特征这是解析函数的重要特征. 4.3.1 4.3.1 Taylor级数展开定理级数展开定理R为为 到到D边界的距离边界的距离0z定理定理4.9 (Taylor展开定理展开定理) 设设 在区域在区域D)(zf内解析内解析, ,0z为为D内的一点内的一点,)()(00 nnnzzczf 0, 1, 2,.n D0z.R(D是全平面时是全平面时, R=+ ), 则则 在在 内可内可0zzR ( )f z展开为幂级数展开为幂级数 其中其中( )01()!nncfzn 系数系数cn按上述表示的幂级数称为按上述表示的幂级数称为( )f z在在 点的点的Taylor级数级数. 0zTaylor展开式的惟

18、一性定理展开式的惟一性定理定理定理4.10设设 ( )f z是是 D上的解析函数上的解析函数, 0z是是 D内的点，且在内的点，且在 0zzR 内可展成幂级数内可展成幂级数00( )() ,nnnf zczz 则这个幂级数是则这个幂级数是 ( )f z在在0z点的点的Taylor级数，即级数，即( )0() (0,1, 2,).!nnfzcnn 注注 这个定理为把函数展开成这个定理为把函数展开成Taylor级数的间接级数的间接方法奠定了基础方法奠定了基础.4.3.2 4.3.2 将函数展开成将函数展开成Taylor级数级数将函数展开为将函数展开为Taylor级数的方法级数的方法: :1. 直接

19、方法直接方法; 2. 间接方法间接方法.1. 直接方法直接方法 ( )01()0,1,2,!nncfznn 由由Taylor展开定理计算级数的系数展开定理计算级数的系数然后将函数然后将函数 f (z)在在z0 展开成幂级数展开成幂级数.例例4.4 求求( )zf ze 在在0z 的的Taylor展开式展开式.( )( )00(0)()1,nznzzzfee 所以它在所以它在 0z 处的处的Taylor级数为级数为( )00(0)!nnznnnfzeznn 21,2!nzzzn并且收敛半径并且收敛半径.R 因为因为( )zf ze 在复平面上解析，且在复平面上解析，且 2. 间接方法间接方法 借

20、助于一些已知函数的展开式借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析结合解析函数的性质函数的性质, 幂级数运算性质幂级数运算性质 (逐项求导逐项求导, 逐项逐项积分等积分等)和其它的数学技巧和其它的数学技巧 (代换等代换等) , 求函数的求函数的Taylor展开式展开式.间接法的优点间接法的优点: : 不需要求各阶导数与收敛半径不需要求各阶导数与收敛半径 , 因而比直因而比直接展开更为简洁接展开更为简洁 , 使用范围也更为广泛使用范围也更为广泛 .例例4.5利用利用00111cos( )(),22!iziznnnneeziziznn 22420( 1)cos1( 1),(2 )!2!4!(2 )!

21、nnnnnzzzzznn 并且收敛半径并且收敛半径.R 同理同理210( 1)sin(21)!nnnzzn 3521( 1) .3!5!(21)!nnzzzzzn 本例利用直接方法也很简单本例利用直接方法也很简单以及以及可解得可解得 和和 211( 1) 1 ,1nnzzzzz 例例4.6求求 21( )(1)f zz 在在0z 点邻域内点邻域内 的的Taylor级数级数. 解解11z 是是( )f z的惟一奇点的惟一奇点, 且且 101,z 故收敛半径故收敛半径1.R 在在 中，用中，用z替换替换 -z, 则则 逐项求导，得逐项求导，得 221123( 1) (1) 1 .(1)nnzznz

22、zz 例例 4.7将将 221( )1f zz 展开为展开为z的幂级数的幂级数. 201( 1) (1) 1 ,(1)nnnn 令令 则则 2,z 22 201( 1) (1)(1)nnnnzz 242123( 1) (1) 1 .nnzznzz 根据例根据例4.6， 例例4.8 求对数函数的主值求对数函数的主值 ln(1) z 在在z=0点点的的Taylor级数级数. 负实轴向左的射线的区域内解析负实轴向左的射线的区域内解析. 1 Ro1 1xy因为因为 1ln(1),1zz 并且由并且由 有有 211( 1) 1 ,1nnzzzzz 函数函数 ln(1) z 在复平面中割去从点在复平面中割

23、去从点-1沿沿 所以所以 ln(1) z 根据根据 ，把上式逐项积分，得，把上式逐项积分，得10( 1)ln(1)1nnnzzn 231( 1) 1 .23nnzzzzzn 21( 1) 1 .nnzzzz 1 Ro1 1xy例例4.9求幂函数求幂函数 (1) z ( 为复数为复数)的主值的主值 ln(1)( ), (0)1zf zef 在在z=0点的点的Taylor展开式展开式. 实轴向左的射线的区域内解析实轴向左的射线的区域内解析. 1 Ro1 1xy因此在因此在 内内, 1z 可展开为可展开为z的幂级数的幂级数. ( )f z根据复合函数求导法则根据复合函数求导法则, 按照直接方法展开如

24、下按照直接方法展开如下: 显然显然, ( )f z在复平面中割去从点在复平面中割去从点-1沿负沿负ln(1)(1)ln(1)1( ),1zzfzeez (2)ln(1)( )(1),zfze ( )()ln(1)( )(1)(1),nnzfzne 令令z=0, 有有 (0)1,(0),(0)(1),fff ( )(0)(1)(1), nfn 于是于是(1) z (1)(1)!nnzn 23(1)(1)(2)12!3!zzz 1 .z 1111( )111,111(1)2212zf zzzzz 例例4.10将函数将函数 ( )1zf zz 在在01z 处展开处展开 成成Taylor级数，并指出该

25、级数的收敛范围级数，并指出该级数的收敛范围. 10011(1)( )1( 1)1( 1).222nnnnnnnzzf z 当当 即即 时时,11,2z 12z 附附: 常见函数的常见函数的Taylor展开式展开式20(1)1,2!nnznzzzeznn 201(2)1,1nnnzzzzz 201(3)1( 1)( 1),1nnnnnzzzzz 3521(4)sin( 1),3!5!(21)!nnzzzzzn )1( z)1( z)( z)( z242(5)cos1( 1),2!4!(2 )!nnzzzzn )( z231(6) ln(1)( 1),231nnzzzzzn 011)1(nnnnz

26、)1( z23(1)(1)(2)(7)(1)12!3!zzzz ,!)1()1( nznn )1( z1 1 Laurent级数的概念级数的概念2 2 函数的函数的Laurent级数展开级数展开3 3 典型例题典型例题4.4 4.4 Laurent级数级数4.4.1 4.4.1 Laurent 级数的概念级数的概念如果函数如果函数f (z)在在z0点解析点解析, 则在则在z0的某邻域内的某邻域内, 可可展开为展开为Taylor级数级数, 其各项由其各项由z-z0的非负幂组成的非负幂组成. 如果如果f (z)在圆环域在圆环域 102RzzR 内解析内解析, 则则 f (z)在这在这个圆环域内不一

27、定都能展开为个圆环域内不一定都能展开为z-z0的幂级数的幂级数. 本节将引进一种在圆环域收敛的双边幂级数本节将引进一种在圆环域收敛的双边幂级数,即即Laurent级数级数. 它将在后面讨论孤立奇点与留数它将在后面讨论孤立奇点与留数及及Z变换理论中起重要作用变换理论中起重要作用.0() .nnnczz 负幂项部分负幂项部分正幂项部分正幂项部分主要部分主要部分解析部分解析部分nnnnzzc)(0 nnnzzc )(01这种双边幂级数的形式为这种双边幂级数的形式为同时收敛同时收敛 Laurent级数级数 nnnzzc)(00 收敛收敛nnnzzc)(00 nnnzzc )(0110)( zz 令令n

28、nnc 1收敛半径收敛半径R收敛收敛时时,R 101RRzz 收敛域收敛域收敛半径收敛半径R220Rzz 收敛域收敛域:)1( 21RR 若若两收敛域无公共部分两收敛域无公共部分;:)2(21RR 两收敛域有公共部分两收敛域有公共部分.201RzzR 结论结论: :的的收收敛敛区区域域为为双双边边幂幂级级数数nnnzzc)(0 .201RzzR 圆圆环环域域1R2R.0z常见的特殊圆环域常见的特殊圆环域: :2R.0z200Rzz 1R.0z 01zzR 00zz.0z 幂级数的收敛幂级数的收敛域域是圆域是圆域, ,且和函数在且和函数在收敛收敛域域 内解析内解析. .(2) (2) 在圆域内的

29、解析函数一定能展开成幂级数在圆域内的解析函数一定能展开成幂级数. .对于对于Laurent级数，已经知道：级数，已经知道： Laurent级数的收敛级数的收敛域域是圆环域，且和函数是圆环域，且和函数在圆环域内解析在圆环域内解析. . 问题问题: : 在圆环域内解析的函数是否可以展开在圆环域内解析的函数是否可以展开成成Laurent级数级数? ?对于通常的幂级数，讨论了下面两个问题对于通常的幂级数，讨论了下面两个问题: :4.4.2 4.4.2 函数的函数的Laurent 级数展开级数展开定理定理4.12(Laurent展开定理展开定理) 设设 120,RR 函数函数f (z)在圆环域在圆环域

30、102RzzR 内解析内解析, 则函数则函数f (z) 在此环域内可展开为在此环域内可展开为Laurent级数级数 0102( )() ,nnnf zczzRzzR 其中其中101( )d (0, 1, 2,),2()nnCf zcz nizz C是圆是圆周周 的正向的正向. 012 ()zzR RRR 注注 函数函数f (z)展开成展开成Laurent级数的系数级数的系数 101( )d2()nnCf zczizz 与展开成与展开成Taylor级数的系数在形式上完全相同级数的系数在形式上完全相同, 但但 这里的函数这里的函数f (z)在圆环域在圆环域 102RzzR 内解析内解析, 在在01

31、zzR 内不一定解析内不一定解析, 所以不能化为所以不能化为z0处的导数处的导数 ( )01().!nfzn特别地特别地, 如果函数如果函数 f (z)在在02zzR 内内解析解析, 那么根据那么根据柯西柯西-古萨定理古萨定理, 01, 2,ncn 所以所以Laurent级数包含了级数包含了Taylor级数级数.Laurent展开式的惟一性定理展开式的惟一性定理定理定理4.13 设函数设函数f (z)在圆环域在圆环域102RzzR 内解析内解析, 并且可以展开成双边幂级数并且可以展开成双边幂级数0() ,nnnczz 则则 其中其中C101( )d (0, 1, 2,),2()nnCf zcz

32、 nizz 的正向的正向. 012 ()zzR RRR 是圆周是圆周注注 函数在圆环域内函数在圆环域内Laurent展开式是惟一的展开式是惟一的. 因此因此为函数展开成为函数展开成Laurent级数的间接方法奠定了基础级数的间接方法奠定了基础.将函数在圆环域内展开成将函数在圆环域内展开成Laurent级数级数, 理论理论(1) 直接方法直接方法 直接直接计算展开式系数计算展开式系数然后写出然后写出Laurent展开式展开式.)()(0nnnzzczf 这种方法只有理论意义这种方法只有理论意义, 而没有实用价值而没有实用价值. 就是就是 上应该有两种方法上应该有两种方法: 直接方法与间接方法直接

33、方法与间接方法.101( )d (0, 1, 2,),2()nnCf zcz nizz 说说, 只有在进行理论推导时只有在进行理论推导时, 才使用这种表示方法才使用这种表示方法. 根据解析函数根据解析函数 Laurent 级数展开式的惟一性级数展开式的惟一性,可运用代数运算、代换、求导和积分等方法去将可运用代数运算、代换、求导和积分等方法去将函数展开成函数展开成Laurent 级数级数.(2) 间接方法间接方法这是将函数展开成这是将函数展开成Laurent 级数的级数的常用方法常用方法. . 给定函数给定函数)(zf与复平面内的一点与复平面内的一点0z以后以后, 函函数在各个不同的圆环域中有不

34、同的数在各个不同的圆环域中有不同的Laurent展开式展开式(包括包括Taylor展开式作为特例展开式作为特例). 这与这与Laurent展开式展开式的惟一性并不矛盾的惟一性并不矛盾, 在同一圆环域内的展开式惟一在同一圆环域内的展开式惟一.(1) 01;z (2) 12;z(3) 2;z 内展开成内展开成Laurent级数级数.例例4.114.11 将函数将函数1 ( )(1)(2)f zzz 在圆环域在圆环域(4) 011z处都解析处都解析, 并且可分解为并且可分解为 11( ).12f zzz4.4.3 4.4.3 典型例题典型例题函数函数f (z)在在z=1和和z=2处不解析处不解析,

35、在其它点在其它点oxy1(1) 在在 内内, 有有 则则 1z 1,2z 211,1nzzzz 22311111.2222212nnzzzzzz 22231( )(1)222zzf zzz 2137.248zz于是在于是在 内，内， 01z 12oxyzzz111111 21111,zzz 1 z11,z 2 z1.2z 2112121zz2211.2222nnzzz (2) 在在 内内, 有有 12z 2221111 ( )11222zzf zzzz 2oxy2 z11,z 于是在于是在 内内, 12z 1211111.22nnnnzzzzzz (3) 在在 内内, 有有 2z 2 z21.z 23111111,111zzzzzz 21111241.221zzzzzz 于是在于是在 内内, 2z 2323124111( )f z