完整版小波变换课件Haar小波

1、第1章Haar小波分析1.1简介u平移方向E以较低就率作分析以较高相一率作分析丁推进（近距离-小尺度）（高分机率）（远距离-大尺度）（低分排率）1.2平均与细节设X,X2,X3,X4是一个信号序列。定义它的平均和细节:aI0(xix2)/2,，找出了xiX2和a10、di0的关系。di,0(XiX2)/2i2，这里，3,0是原信号前两个值Xi、X2的平均。又叫低频成分，反映前两个值、X2的基本特征或粗糙趋势；di,。反映了、X2的差别，即细节信息，又叫高频成分。a1i(x3x4)/2,，找出了x3、x4和a、d的关系。di,i(X3X4)/234,同样，曲1是原信号后两个值X3、X4的平均，d

2、i,i反映了X3、X4的细节。我们把ai,0,ai,i,di,0,di,i看作是对x1，x2,X3,X4实施了一次变换的结果。变换还可以往下进行:a0,0(ai,0ai,i)/2=(xiX2)/2(X3x”2)/2d0,0(ai,04/)/2。=(xiX2X3X4)/4am是对4个信号元素最终的平均，它是原信号最基本的信息;经过二次变换，我们得到了原信号的另一种表示:a0,0,金,0,di,0,di,i该序列叫做原序列的小波变换，a0,0,d0,0,d1,0,d1,1叫做小波系数。还可以反过来表示:XiX2a、一这是用a1,d1,0来恢复原信d1,0号X1、X2;X3a?X4a?d111,1用

3、d1,1a2,d1,1来恢复原信号X3、X4。也就是反变换。小波变换过程的塔式算法:例如,Xi,X2,X3,X4=3,1,2,432卦z最低分辨率低频信息，最低分辨率细节信息12,IL次高分辨率低频信息(1.-31t次高分辨率细节信息13.lh-2b4):最高分好率信息331取一、的小波换为a。,。，d0,0,d1,0,du=,1,221.3尺度函数与小波函数(1)Haar尺度函数(t)0,0(t)(t1)0,1(t)(tk)0,k(t)不压缩：不位移位移一个单位位移k个单位(2t)1,0(t)P-8(2(t1/2)U(2t1)(2jtk)j,k(t)1/21/2压缩1/21倍，不位移压缩1/

4、21倍，位移一个单位般j,k(t)(2jtk),k0,1,2,.,2j1几个术语1)2)3)j为分辨率,4)压缩,（尺度）函数jik（t）不为零的区间，上例中为Haar尺度函数的宽度为1/2j。j越大，尺度越小，分辨率越高。1/2j=2j为尺度。（分辨率越高，尺度越小）（2）.Haar小波函数（t）Haar小波函数与尺度函数的关系不平移、不压缩;平移一个单位1/2k/2(k1)/21/2j倍，移位K个单位平移K个单位。(2t)i,o(t)i(at1/2)(2ti)i,o0t(2(t加2)k)1/4t1/21/23/4t12k/22(2k1)/22(2k2)/22t111?不平移，压缩1/2倍；

5、先平移一个单位，再压缩1/2倍,1平移个K单位，再压缩1/2倍。Haar小波函数的一般形式：j,k(t)=(2jtk),k0,1,.,2j位移k个单位，压缩2j倍。(3),分段常数函数也可将序列X1,X2,X3,X4)看成分段常数序列。f(t)X1X0,1/4(t)X2X1/4,1/2(t)+X3X1/2,3/4(t)+X4X3/4,1(t)写成=以我的幺必打4t44V43)f(t)可用尺度函数伸缩平移的线性组合表示重写x1404(4)2x242既+x3424(4)2*424雪ai,0(xix2)/2a11(均x4)/2d1,0(xix2)/241(x3x4)/2f(t),a4。42融40)+

6、di,0i,o(t)九11再求平均和细节得a。和do。故得=a，44啕2%44,0a+dl,0a0,0(a1,0a1,1)/2d0,0(a1,0a1,1)/21,0(t)d1,11,1(t)注释：序列x，x2,x3,x4可由尺度函数和小波函数的系数来表示，既a,0,d0,0,d1,0,d1,1为X,x2,x3,x4的小波变换(系数)。,1.5小波变换的计算设x1,x2,x3,x4是长度为2n(n是大于1的整数)的离散序列，记为an,0,.,an,2n1。函数fn(t)展开为fn(t)an,0n,0(t)an01n,2n1(t)(1-20)将函数fn(t)做一次小波分解，得fn(t)an1,01

7、44n1,0(t).an1,2n112n11(t)4444442444442414概貌(平均或低频部分)，用fn1(t)表示(fn1Vn1),继续分解dn1,0n1,0(t).dn12n11n.12n11(t)1444444442n小幺414442443系数d,细节(差别或高频部分)构成小波变换系数的一半(1-21)重复分解多次，可得fn(t)在不同尺度下尺度函数和小波函数的展开式。归一化尺度函数和小波函数归一化又叫做标准化或规范化，计算方法如下:fuIfu,u1,frff,f2；f,f；2ffdtf2dtj,k(t)(2jt-k),k0,1,.,2j1(限制在横轴0：1之间)(k1)/2j(

8、k1)/2j221j,kj,k出dt=2Tk/2jk/2j2j,k十22标准化尺度函数(2jtk)建)|(2jtk)j2j/2(2jtk)仍记为j,k(t)2j/2(2jtk)同理，可得标准化Haar小波函数j,k(t)2j/2(2jtk)(1-22)(1-23)标准化二尺度方程(t)21/2(2t)21/2(2t1)(t)21/2(2t)21/2(2t1)(1-24,1-25)注释：标准化函数的物理意义是，尺度函数和小波函数在不同分辨率下具有相同的能量,从而可推出信号进行小波变换前、后能量相等，既2n122n1an,k=ank0k021,k2n1+k02dn1,k如何从an,0,.,an,2

9、n1快速计算小波变换系数：重写(1-21)式fn(t)为1,0n1,0(t)牛食11”归11d01,。n1,0(t)d0归11011现将式(1-21)二端在0：1范围内对n1,k(t)做内积，得1120fn(t)n1,k(t)dt=小卜3,k(t)dt1 2=an1,k0n1,k(t)dt=an1,k(1-26)注释：这里正交性保证了(1-26)式右边只有一项内积不为零；尺度函数的标准化保证了积分结果为1。再将式(1-20),即fn(t)an,0n,0(t).an,2nln,2n1(t)代入(1-26),左边得10an,0n,0(t).an,2n1n,2n1(t)n1,k(t)dt注释:1若设

10、k=0,则0(2nt)所以,(2nt所以,因此,1/2n般有,注释:10an,02n/2(2nt)an,12n/2(2ntan,02n/22n1/2(2ntk)(2n1tfn(t)n(2n1t1).2n1/2k)dt.=an(2n1tk)dt1,k11,k(t)dt=0fn(t)n1,0(t)dt0)(2n1t)(2nt)dt1/2n1/2n1重叠部分1/2n(2n1t)(2nt)dt1/2ndt1)(2n1t1/2n11/2n1/2n11/2nn/20nan,0221）归一化后,2）关于积分0)(2ntdt12n1/2=an,02an1,0an1,k1)(2n1t)dt112n12n12n重

11、叠部分11/2n1/2n1(2nt)11、22n(an,0(an,2kan,2k/、2(2n1t)dtan,12n1/2n1/2nn/20nan,1221/2(2nt1)(2n1t)dt1an,0an,1.22nan1,0an11)/-2k0,1,2,.,2n1an,2k1/,-2j,k(t)2j/2tk)2n1,k(t)dt12n1/2(2n110-1k)2dt12n102(2n1tk)”d(2n1tk)同理，有小波系数dn1,k(an,2kan,2k1“2,k0,1,2,.,2nan,2k1.7小波变换的滤波器组实现Mallat算法1.7.1 离散序列的卷积已知序列a(a0,a1,a2,.

12、,am,l(a)m1bbo,b1,b2,.,bk,l(b)k1做卷积的两个序列的长度不一定相等。1)由卷积公式求卷积：记ab为a与b卷积后得到的新序歹U,(ab)n为第n个元素，则(ab)n=a0bnabn1an1b1anbo=aQkkm=2；bb0,h,b2,4=0.1,1,0.1,-1k=3,00.110.1110.110.110.110.010.10.010.10.110.110.11.010.11.990.21a2a1a。aa2b2b1b0b1b2l(ab)l(a)l(b)1例1Haa0,a，a2=1,0.1,-10求卷积和。简便算法从下面序列最右边一项开始，分别与上面序列各项相乘，直

13、到下面序列最左边一项完成同样相乘，再按列相加。这种方法结果序列下标是原两序列下标位的代数和确定的。利用这种方法，卷积和可一次计算出来，而且下标确定简单。用MATLAB实现：a=0.1,1,0.1,-1;b=1,0.1,-1;y=conv(a,b)ans=0.10001.01000.1000-1.9900-0.20001.0000滑尺法两序列0点对齐，计算对应元素乘积并求和得y(0);下列向右滑动一位，再计算各对应元素乘积并求和，得y(1);直到所有n0情况下对应元素乘积再求和等于零为止。回到两序列0点对齐位置，向左滑动一位，计算各对应元素乘积并求和得y(-1);再向左滑动一位，直到所有n-a.0b-a,bV卜知处。下标也110丁标处。卜.标处X0卜标处将f嵌入一个无限长的信号0,0,a,b,0,0,）中,、.11、_,11h=hi,h0=2，2),g=g130=-5万h=hch二1,1,g=g0,g1二