线线角,线面角,二面角的一些题目

1、线线角与线面角习题新泰一中闫辉一、复习目标1 .理解异面直线所成角的概念，并掌握求异面直线所成角的常用方法.2 .理解直线与平面所成角的概念，并掌握求线面角常用方法.3 .掌握求角的计算题步骤是“一作、二证、三计算”，思想方法是将空间图形转化为平面图形即“降维”的思想方法.二、课前预习1 .在空间四边形 ABCD中，AD=BC=2, E F分别为AB、CD的中点且EF=V3 , AD、BC所成的角为 .BiC和CiD与底面所成的角分别为60°和45°,则异面2 .如图,在长方体 ABCD-ABiGDi中， 直线BiC和CiD所成角的余弦值为.6.二-3.2(C) 63 .平

2、面与直线a所成的角为 &,则直线a与平面内所有直线所成的角的取值范围是.4 .如图,ABCD是正方形，PDL平面ABCD,PD=AD!U PA与BD所成的角的度数为0(A).300(B).450(C).600(D).905 .有一个三角尺 ABC,/ A=30°, /C=90°,BC是贴于桌面上， 当三角尺与桌面成 45°角时,AB边与桌面所成角的正弦值 是 .三、典型例题例i.（96 全国）如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60 °角，求异面直线 AD与BF所成角的余弦值.备课说明：i.求异面直线所成的角常作出所成角的平面图

3、形.作法有：平移法：在异面直线的一条上选择“特殊点”，作另一条直线平行线或利用中位线.补形法：把空间图形补成熟悉的几何体 ，其目的在于容易发现两条异面直线的关系.2.解立几计算题要先作出所求的角 有严格的推理论证过程，还要有合理的步骤.，并要例2.如图在正方体 AG中，（i）求B。与平面ACCAi所成的角；（2）求AiBi与平面AiCiB所成 的角.备课说明：求直线与平面所成角的关键是找直线在此平面上的射影 必须在这条直线上找一点作平面的垂线 .作垂线的方法常采用 面垂直的性质找平面的垂线 .点的射影在面内的特殊位置 .例 3.已知直三棱住 ABC-ABiCi,AB=AC, F为棱BB 上一点

4、，BF : FBi=2 ： 1, BF=BC=2a . (1)若 D 为BC的中点，E为线段AD上不同于A、D的任意一点,证明：EF± FO; (2)试问：若AB=2a,在线 段AD上白E点能否使EF与平面BBiCiC成60°角，为什么？证明你的结论.备课说明：这是一道探索性命题，也是近年高考热点问题，解 决这类问题，常假设命题成立，再研究是否与已知条件矛盾 ， 从而判断命题是否成立.四、反馈练习1设集合A、B、C分别表示异面直线所成的角、平面的斜线与平面所成的角、直线与平面所 成的角的取值范围，则(A)A=B=C (B)A=B C (C)A B C(D) B A C.2两

5、条直线a, b与平面 所成的角相等，则直线a , b的位置关系是(A)平行(B)相交(C屏面(D)以上均有可能.3设棱长为1的正方体 ABCD-ABiCiDi中，M、N分别为AAi和BBi的中点，则直线 CM和 DiN所成角的正弦值为 .4已知a、b是一对异面直线，且a、b成60o角，则在过空间任意点P的所有直线中，与a、 b均成60o角的直线有 条.5异面直线a、b互相垂直，c与a成30o角，则c与b所成角的范围是 .6/ACB=90°在平面 内,PC与CA、CB所成的角/ PCA=Z PCB=60O,则PC与平面 所成的角 为.7设线段AB=a,AB在平面 内,CA1,BD与 成

6、30°角,BD, AB,C D在 同侧,CA=BD=b .求：(1)CD的长;(2)CD与平面 所成角正弦值.B.65.4课前预习1. 60°2.A3. , 4.C典型例题例 1 解: CB/ AD/ CBF为异面直线 AD与BF所成的角.连接CR CE设正方形ABCD的边长为，则BF="a-. CB± AB, EB± AB-. / CEB为平面 ABCD与平面 ABEF所成的角2，/CBE=Z 60 .1. CE=a FC=J2a/. cosZ CBF=-4例2解:(1)设所求的角为，先证BDL平面 ACCAi,则sin =sin / OCi

7、B=0b =1 .故BC12=30o.(2)4AiBCi是正三角形，且AiBi=BiO=BBi. .棱锥 Bi-AiBCi是正三棱锥.过Bi作BiH ，平面AiBCi,连AiH, / BiAiH是直线AiBi与平面A1C1B所成的角.设AB 二 a则AiB= J2a得“6A H . 6 , a ,6AiH=a.故 cos / B1A1 h=.所求角为 arccos3AB 33例3解:(1)连接OF,容易证明ADL面BB1C1C, DF是EF在面B1C1CB的射影，且DF, FC, -FCi±EF(2)AD± 面 BB1C1C, / EFD 是 EF 与平面 BBiCiC 所

8、成的角.在 4EDF 中，若/EFD=60 ,则 ED=DF ,tan 60 = 33 , -/5 = J15a , - AB=BC=AC=2a , ADSa . - J15a >-/3a .E在DA的延长线上，而不在线段60° 角.AD上；故线段AD上的E点不可能使EF与平面BBiCiC成反馈练习1. D 2. D4. 37.解:(1)作 DDZ ±9于D，连接5. 60 °, 90° 6.45°形，/ CAD7 =/ D DA=90°,ABAD，,BDZ .CAI ,，CA/ DD，.四边形 CAD， ,AB± D

9、D，.又 AB± BDJ AB,平面 BDDZ ,BDZD是直角梯平面BDD，. .ABXBD7 . . /DBD/ 是 BD 与 所成白角， . / DBD，=30° ,BD=b , DD7 =b ,BD在 ABD，中，AB=a,BD，=，/ ABD，=90 ,2. ad/= Jab2 bd 22 3b24.在 CAD7D 中，CD=VAD，2 (AC D'D)2 va2 b2 .(2)作 DDC/ DC交 CA于 C，/ CDDA是 CD与 所成的角，sin / CzD7A=ACC'D'一.2、a2 b2线面角与面面角练习连ZBE,则/ MBE为

10、BMW平面ABD成的角.在 Rt MEB中,MEBE ；2 一2 be a a:26ME,2a ,tan MBE -6BE2例2.如图，把等腰直角三角形 使C点移动的距离等于ABC以斜边AB为轴旋转, AC时停止，并记为点 P.AC2EA(1)求证：面 ABP1面ABC (2)求二面角 C-BP-A的余弦值.证明(1)由题设知AP= CP= BP. .点P在面ABC的射影D应是4ABC的外心，困：即DC AB.PD! AB, PD 面ABP由面面垂直的判定定理知，面ABP1面ABC、知识与方法要点1 .斜线与平面所成的角就是斜线与它在平面内的射影的夹角。求斜线与平面所成的角关键 是找到斜线在平

11、面内的射影，即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足，这时经常要 用面面垂直来确定垂足的位置。若垂足的位置难以确定，可考虑用其它方法求出斜线上 一点到平面的距离。2 .二面角的大小用它的平面角来度量，求二面角大小的关键是找到或作出它的平面角(要证明)。作二面角的平面角经常要用三垂线定理，关键是过二面角的一个面内的一点向另一个面作垂线，并确定垂足的位置。若二面角的平面角难以作出，可考虑用射影面积公式 求二面角的大小。3 .判定两个平面垂直，关键是在一个平面内找到一条垂直于另一个平面的直线。两个平面垂直的性质定理是：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.二、例题例1

12、.正方体 ABCD-ABCD中，M为CQ中点.(1)求证：AC，平面A1BD(2)求BM与平面AiBD成的角的正切值.解：(1)连 AC,.CiC，平面 ABCD OCX BD.又 AC，BDACXBD,同理 ACXA1B. ABn BD=BAC，平面 ABD.(2)设正方体的棱长为a ,连AD,AD交AD于E,连结ME在 DAC中，ME/ AC,. AC，平面 ABDME!平面 ABD.cos CED1_DE 2_3CE 33(2)解法1 取PB中点E,连结CE、DE CD : BCP为正三角形，CE! BD. BOM等腰直角三角形，. DEL PB.，/CED为二面角C-BP-A的平面角.

13、又由(1)知，面 ABPL面 ABC DC!AB, AB=面 ABPA面 ABC由面面垂直性质定理，得 DCL面ABPDC! DE因此 CDE为直角三角形.设 BC 1 ,则 CE - , DE , 222例3.如图所示，在正三棱柱 ABC AB1cl中，E BB1,截面A1EC(1)求证：BE EB1 ；(2)若AA1 A1B1 ,求平面 A EC与平面A1B1cl所成二面角(锐角)的度数.2-5证明：在截面 A1EC内，过E作EG!A1C, G是垂足，如图，面 A1 EC1面 AC1, EG1侧面 AC1 .取AC的中点F,分别连结 BF和FC,由AB= BC得BF± AC面 A

14、BC1侧面 AJ ,BFL侧面 AC1 ,得BF/ EG BF和EGt定一个平面，交侧面 AC1于FG.BE/侧面 AC1 , BE/ FG 四边形 BEGF, BE= FG.BE/ AA1 , FG/ AA1 , AA1 8 FGC. AT=FC.二FG=、AA二!咯， uu即 EE=；BR,故BE = EB解：(2)分别延长CE和C1B1交于点D,连结A1D.''EBj/CCp= ；CCi，.二 7 DC1=B i C = _A, E .B1A1cl =Z B1c1Al =60° ,ZDA! = 1(180° -ZDB1A)= 30",/DA1

15、c1 =/ DA1B1+/B1Ale1 =90。,即 DA1XA1C1. v CC1 ±W A1cl B1,由三垂线定理得 DA, LA1G所以/ CA1C1是所求二面角的平面角.且/A1cle= 90°,. CC1=AA1 =A1B1 = A1C1 , / CA1C1=45O ,即所求二面角为 45° .说明：如果改用面积射影定理，则还有另外的解法.三、作业：1 .已知平面 的一条斜线a与平面 成角，直线b ，且a,b异面，则a与b所成的角为 (A)A.有最小值 ，有最大值 B.无最小值，有最大值 。C.有最小值，无最大值D.有最小值，有最大值。2 .下列命题中

16、正确的是(D)A,过平面外一点作该平面的垂面有且只有一个B.过直线外一点作该直线的平行平面有且只有一个C.过直线外一点作该直线的垂线有且只有一条D.过平面外的一条斜线作该平面的垂面有且只有一个3 . 一条长为60的线段夹在互相垂直的两个平面之间，它和这两个平面所成的角分别为45。和30。，这条线段的两个端点向平面的交线引垂线，则垂足间的距离是(A)A. 30B. 20C. 15D. 124,设正四棱锥S-ABCD的侧棱长为“2,底面边长为43, e是SA的中点，则异面直线 BE 与SC所成的角是(C)A. 30°B. 45°C. 60°D, 90°5 .

17、正三棱锥的侧面与底面所成的二面角为arctan2J2,则它的侧棱与底面所成的角为 26 . A 是 ABCD 所在平面外的点，/ BAC=Z CAB=Z DAB=60° , AB=3, AC=AD=2.(I)求证：AB± CD;(n)求 AB与平面BCD所成角的余弦值.7 .正四面体 ABCD中，E是AD边的中点，求：CE与底面BCD所成角的正弦值. 解过A, E分另I作AHL面BCD, EO>±面BCD, H, O为垂足，AH2OE, AH, OE确定平面AHD,连结OC, /ECO即为所求. AB=AC=AD, . HB=HC=HD.BCD是正三角形，H

18、是ABCD的中心，连ZDH并延长交22DH -DF 33BC于F, F为BC的中点， a a ,在 RtMDH中,DAH 二7 0E# -AH,=2, CT 1 提提 » QE , el 1 a,2 36766&, EO£i口Ne co j=.CE /3ra8.在四面体 ABCD43, DA1面 ABC / ABC= 90° , AE1 CD AF± DB求证：(1) EF± DQ (2)平面 DBCL平面 AEF.(3)若AD =演，AB = a, AC =信，求二面鱼B-DC-A的正弦值.证明 如图 1-83. (1) 1. ADX

19、面 ABC AD±BC,又. / ABC= 90° .BCL AB.BC± 面 DAB，DB 是 DC 面 ABD 内的射影.AF± DB. /.AFI CD(三 垂线定理).-.AE± CD. .CDL 平面 AEF. . CDL EF.(2)BCD(3) CDL AE CDL EF. CD1面 AEF. CDU 面 BCD 二面 AEFL面由 EF1 CD AE± CDAEF为二面角 B-DC-A 的平面ECB 图143角，在R4ADB 中 ED = 75a，AT =a1 3 a.在 RtZUWC 中 ? = 2凯，乩£=2a42_ 73-又 ; AF± DB, AF± CD, BDH CD= D . . AFL平面 DBC又EF在平面DEC 内. ATlEF-SRtAAEF, sinAEF= 一AE J3ra故二面