14年广东省东莞市高中数学竞赛决赛试题及答案

1、2014年东莞市高中数学竞赛决赛试题11.22注意事项：考试时间120分钟不能使用计算器一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确请把正确选择支号填在答题卡的相应位置）第2题图1已知集合，集合，且满足，则实数a可以取的一个值是A B C D2阅读右面的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为A B C D3已知，则的值为A B C D4当方程所表示的圆的面积最大时，直线的倾斜角A. B. C. D. 5设集合，若动点，则的取值范围是ABCD6定义域为的函数的图象的两个端点为、，是的图象上任意一点，其中，向量若不等式恒成立，则称函数上“k阶线性近似”.

2、若函数上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为A.B.C.D.二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分请把答案填在答题卡相应题的横线上）7某几何体的三视图如图所示，则其体积为 8在中， ，则= 9等差数列的前项的和为，且， ，则 10使得不等式对任意恒成立的实数的取值范围是 11设函数，若，则函数零点的个数是 12已知函数在实数集R上具有下列性质：直线是函数的一条对称；对于内任意的，均有成立，则、的大小关系为 答 题 卡一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分）题号123456答案二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分）7 8 9 10 11 12 三、解答题（本大题

3、共6小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）13.（本小题满分12分）已知函数（，）的图像与轴的交第13题图点为，如图，它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和（1）求函数的解析式；（2）若锐角满足，求的值14.（本小题满分12分）在中，.（1）若三边长构成公差为4的等差数列，求的面积；（2）已知是的中线，若，求的最小值.15（本小题满分13分）如图,几何体是四棱锥，为正三角形，.（1）求证:；第15题图（2）若，试探究在线段上是否存在点，使平面，若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由.16（本小题满分13分）如图，两个工厂、相距，点为的中点,现要在以为圆

4、心,为半径的圆弧上的某一点处建一幢办公楼,其中，.据测算,此办公楼受工厂的“噪音影响度”与距离的平方成反比,比例系数是,办公楼受工厂的“噪音影响度”与距离的平方也成反比,比例系数是,办公楼受、两厂的“总噪音影响度”是受、两厂“噪音影响度”的和,设为.（1）求“总噪音影响度”关于的函数关系,并求出该函数的定义域；OP N M B A第16题图（2）当为多少时,“总噪音影响度”最小?17（本小题满分14分）等比数列满足的前项和为，且（1）求；（2）数列的前项和，是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由.18（本小题满分14分）已知函数，(1)设，解关于的方程；(2

5、)试证明：2014年东莞市高中数学竞赛决赛参考答案一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分）题号123456答案ABBDAC二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分）7； 8； 9； 10； 112； 12三、解答题13.（本小题满分12分）解：（1）由题意可得，且，即，故, 3分 所以 又因为，得，且，得， 所以函数 6分 （2）由于且为锐角，所以， 7分 所以， ， 9分 所以 12分14.（本小题满分12分）解：（1）因为，因此可设三边为， 1分 由余弦定理：， 3分 即， 解得，或（舍）， 4分 所以 6分 （2）因为，且， 所以 8分 又因为，所以 ， 即当且仅当时取

6、等号 11分 所以的最小值为1 12分15 （本题满分13分）证明:（1）设中点为,连接、， 由，得 2分又已知,，所以平面. 4分因为平面，所以,即是的垂直平分线,所以. 6分 （2）存在，取为线段的中点，则满足平面. 7分证明如下：设的中点为，连接. 是的中点，.又平面，平面，平面. 9分是等边三角形，.由，知，, 所以，即，所以. 又平面，平面， 平面. 11分又因为平面，平面，所以平面平面.又平面，所以平面. 13分16（本题满分13分）解：（1）连结，设,则. 1分 在中,由余弦定理得. 在中,由余弦定理得. . 4分 即. 5分, ，即有. 6分,定义域为. 7分（2）由(1)得. 11分当且仅当，即时取等号，此时. 13分所以，当为时,“总噪音影响度”最小. 14分 17（本题满分14分）解:（1）由已知得，所以公比 2分，得，即， 4分所以， 5分 6分 （2）由（1）知， 于是 9分假设存在正整数，使得成等比数列，则， 10分可得，所以，从而有，由，得， 13分此时. 所以，当且仅当，时，成等比数列. 14分18（本题满分14分）解：（1）原方程可化为，即为，亦即为且， 亦即为，且， 2分 当时，显然原方程无解 当时，则，此时，因，所以原方程仅有一解 当时，则，若，则，原方程有两解；若，则，原方程有一解；若