清华大学结构力学第8章渐进法57

1、第八章渐近法8-1 力矩分配法基本概念8-2 多结点力矩分配8-3 无剪力分配法 8-1 力矩分配法基本概念 力矩分配法源自位移法，不必求解方程组，只需按表格进行计算，计算方便、快捷。 力矩分配法是逐步逼近（对多结点力矩分配）精确解的计算方法，是渐近法，不是近似法。 力矩分配法只适用于连续梁和无结点线位移的刚架。一、转动刚度a) SAB=4i，远端为固端下面讨论等截面直杆的转动刚度。 转动刚度表示杆端对转动的抵抗能力，在数值上等于使杆端产生单位转角（无线位移）时所需施加的力矩。用符号S表示，见下面各图。施力端为近端 ，另一端为远端。SAB1AiAB 当A端产生单位转角时，A端无线位移。转动刚度

2、SAB只取决于远端支承条件及杆件的线刚度。b) SAB=3i，远端为滚轴支座或铰支座。d) SAB=0，远端为滚轴支座，沿杆轴布置。c) SAB=i，远端为滑动支座。1ASABiAB1ASABiAB1ASABiAB二、分配系数杆端弯矩表达式：4 40 = 02= 26= 6ABAABAABACACAACADAADAADAEAAEAACMiSSiMSSMiSSiMiSSi 用位移法求解右图示结构，未知量为A 。ii2i2iBCADEM0平衡方程为：E0ABACADAMMMMM0AME0()ABACADAASSSSM00EAABACADAMMSSSSSE12ABACADASSSSSiAMAEMAD

3、MABMACM0回代求杆端弯矩：AB0AB000ABS411 = 1233ABABABASiMSMMMMSiSAD0AD000ADS211= 1266ADADADASiMSMMMMSiSAE0AE000AES611= 1222AEAEAEASiMSMMMMSiSAC0 0ACACSMS对某结点，各杆分配系数之代数和为1，即：1111362 由上式可以看出，结点力偶M0按系数 的比例分配给各杆端。系数 称为分配系数，某杆的分配系数 等于该杆的转动刚度S与交于同一结点的各杆转动刚度之和 的比值，即S/iiSS。三、传递系数12BAABABMCM0BAABABMCM 当近端有转角时（无线位移），远端

4、弯矩与近端弯矩的比值称为传递系数，用C表示。1BAABABMCM 在上面的讨论中可知，远端弯矩等于近端弯矩乘传递系数，即 。BAABABMCMAiAB4ABAMi2BAAMiAiAB3ABAMiABAMiBAAMi AiAB0BAM四、单结点力矩分配 用位移法解图a)所示结构时，首先在结点B加上附加转动约束，锁住B使之不能转动。其产生的反力矩MB等于各杆端固端力矩的代数和，见图 b)。BMB=60kN.m150kN.m-90kN.m200kN3m3m6m20kN/mABCEIEI60.BMkN m150.kN m150.kN m90.kN m200kN20kN/mABCb)a) 其次放松结点B

5、，即在结点B加 MB，这是结构受结点力矩作用的情况，可以用力矩分配法进行计算，见图 c）。ABC60.BMkN m Bc)2）求固端弯矩6EIi 4BASi3BCSi30.4297BC40.5717BA1200 6150.8FABMkN m 1200 6150.8FBAMkN m2120 690.8FBCMkN m (150 90)60.BMkN m 1）求分配系数结点B约束力矩为：解：结点B分配力矩为：60.BMkN m 3）运算格式分配系数固端弯矩分配传递杆端弯矩4）作弯矩图ACBA0.5710.429BC-150150-90-34.26-25.74-167.13115.74-115.74

6、0-17.130ABC167.13115.74158.5632.13M图（ kN.m ）例题8-1-1 作图示刚架 M 图。4EIi 3BASi236BCSii60.46213BC30.23113BA4BDSi40.30713BD1）求分配系数2m2m4m4m12kN6kN/m10.kN m I I(i) (i) 2I (2i)ABCD解：312 49.16FBAMkN m16 168.12FBDMkN m 16 168.12FDBMkN m MBB9 -810.kN m10(98)9.BMkN m 9.BMkN m2) 求固端弯矩结点约束力矩为：分配力矩为：3) 运算格式BA0.2310.4

7、62BC0.307BDDAC89-801.382.084.162.76011.084.169.38-5.2404) 作弯矩图5) 讨论若结点力矩为逆时针方向，则：10(9 8)11.BMkN m11.BMkN m MBB9 -810.kN mABCD11.085.249.384.164.696.46M图（ kN.m ）例8-1-2 讨论悬臂端的处理。 200kN20kN/mABCEIEI30kND3m3m6m2ma)60.KN m30kND2mC200kN20kN/mABCEIEI3m3m6mb)解： 切除CD段，则BC杆的C端有顺时针方向的力矩60kN.m，该力矩在BC杆产生固端弯矩，见图

8、b）。150903090.BMkN m90.BMkN m 2BCCMi4CBCMiBA0.5710.429BC-51.39 -38.61ACD-150150-9060-60-175.7098.61-98.6160-6030-25.700CiBCCM 图（ kN.m ）175.7098.6160ABC162.8510.70D8-2 多结点力矩分配一、多结点力矩分配 1）锁住结点B、C，各杆产生固端弯矩。结点约束力矩：30.FCCBMMkN m30.FBBCMMkN m ABCEIEID60kNEI4m2m2m4mABCD60kN30BM 30CM-3030EIEIEI 2）放松结点B，即在结点B

9、施加力矩-MB ，结点C仍锁住。这相当于做一个单结点力矩分配。结点C约束力矩变为：37.5.CMkN mBCD30BM307.537.5CM 157.5157.5A 3）重新锁住结点B，同时放松结点C，即在C施加力矩 ，这又相当于做一个单结点力矩分配。结点B新的约束力矩为CM9.375.BMkN m -9.375ABCD9.375BM 37.5CM -18.75-9.375-18.75 4）重新锁住结点C，同时放松结点B，即在B施加力矩 ，这又相当于做一个单结点力矩分配。结点C约束力矩变为BM2.344.CMkN m 如此循环，可见连续梁的变形曲线越来越接近实际的变形曲线，即越来越趋近于精确解

10、。 所谓多结点力矩分配，本质上是单结点力矩分配。通常各结点做两轮至三轮分配运算，就可以达到满意的精度。ABCD9.375BM2.344CM4.6882.3444.6882.3442BASi4BESi40.410BE20.210BA4BCSi40.410BC44BCEIii44BEEIii422BAEIii2233CDEIii结点B例8-2-1 作图示刚架M 图。1) 求分配系数结点C4CBSi2323CDSii 20.3336CD40.6676CB解：2m4m4m18kN/m 4I4 I(2i) (i) 4I (i)BEDA6kN/m2 I (2i/3)C3m 2) 求固端弯矩216 24.6

11、FABMkN m 216 28.3FBAMkN m 2118 424.12FBCMkN m 24.FCBMkN m2m4m4m18kN/m 4I4 I(2i) (i) 4I (i)BEDA6kN/m2 I (2i/3)C3m3) 运算格式EADBA0.20.4BE0.4BCCB0.6670.333CD-242484-8-16-84.89.69.6-1.6-3.2-1.60.320.640.64-0.107-0.2134.8-4.84.80.32-0.320.3213.1210.24-23.36-1.129.71-9.715.124) 作弯矩图小结： 1）分配运算通常从约束力矩较大的结点开始，这

12、样收敛较快。 2）若停止分配运算，就不应再向中间结点的杆端传递弯矩。BEDAC1.1213.1223.3610.245.129.7119.47M图（ kN.m ） 例8-2-2 结构力学教程（）第456页例8-4的说明（2000年7月第1版）。ABCDEIEI5ii50kN1m5m1m 1 0 5/6 1/6-50 50 25-4.2 -20.8-20.8 20.850-50ADBC3 515BASii 3BCSi16BC56BA说明：1）在计算B结点各杆的分配系数时，C结点不锁住， 即C结点处看作铰支座。2）结点C处的分配系数是为了解决固端弯矩的求解问题。3）上面的计算过程等同于下图所示的处

13、理方法。D50kN1m50.kN mCABCEIEI5ii1m5m二、几个问题的讨论1. 对称结构的计算 对称结构在对称荷载作用下，结构无侧移，可以利用力矩分配法计算。根据位移法中的讨论，取半边结构以简化计算。ABq2q1q1ABq2此杆转动刚度S=02. 多结点时的分配 下图示结构，锁住结点C， 放松结点B、D，即结点B、D同时分配并向结点C传递。然后锁住结点B、D，放松结点C，即结点C进行分配并向B、D传递，依此类推。 3/74/7 0.50.5 4/73/7BCDAE-17.14-12.8634.29 45.7122.86-8.57-32.15 -32.15-50 8050-80-16.

14、07-16.07 下图示刚架，打的结点为一组，其余为另一组。两组结点依次锁住或放松，可大大加快计算速度。 8-3 无剪力分配法 力矩分配法只适用于无侧移刚架或连续梁。因为若刚架的内部结点有侧移，则力矩分配法中的分配关系和传递关系均不能成立。 有一类刚架，其内部结点虽然有线位移，但可以不取作位移法的基本未知量，对这类刚架也可以求得类似于力矩分配法中的分配关系和传递关系，于是可以按照力矩分配法的格式进行计算，此即为无剪力分配法。一、概述二、基本概念1适用无剪力分配法的条件 1）刚架除两端无相对侧移的杆件外；2）其余杆件为剪力静定杆（即剪力只取决于外荷载）。若结构中只存在下列两类杆件，则适用于无剪力

15、分配法。 下面用位移法解上题，基本未知量取B ，BH不必作为未知量。 2无剪力分配法的概念锁住结点B放松结点B原结构产生固端弯矩约束力矩反号分配qABCEI，lEI，lEIilqABCMB（约束力矩）iABC-MBiBABBiiBBi216BABMiql213ABBMiql 3BCBMi0BABCMM21406Biql杆端弯矩表达式位移法方程弯矩图218ql238qlM图ABC2124Bqli（ ）由上面的讨论可得出如下结论： 1）剪力静定杆AB在B端的转动刚度为SBA=iBA,传递系数为CBA= -1。 2）剪力静定杆AB的固端弯矩按下端固定、上端滑动的单跨梁查表求得。qABBASi3BCS

16、i0.75BC0.25BA216FBAMql 213FABMql 下面用无剪力分配法解上题。1）求转动刚度及分配系数2）求固端弯矩EIilqABCEI，lEI，l3）运算格式ACBA0.250.75BC-ql2/6ql2/24 ql2/8-ql2/3-ql2/24-ql2/8 ql2/8-3ql2/8弯矩图见前页。如右图示，放松结点B，AB杆剪力等于零。小结：1）在放松结点B，即约束力矩MB反号分配的始终，剪力静定杆之剪力始终等于零，所以称为无剪力分配法。 2）若刚架横梁的两端无相对侧移，柱的剪力静定，则该刚架可用无剪力分配法计算。iABCiB3）对于剪力静定杆：转动刚度S= i；传递系数C=

17、 -1；按下端固定，上端滑动的单跨梁求固端弯矩。三、双层半刚架横梁AB、CD两端无相对侧移，柱AC、CE为剪力静定杆。4m4m4mABCDE4kN2kN3kN/miiii锁住结点A、C产生固端弯矩。ABCDE4kN2kN3kN/m求固端弯矩CA4kN3kN/mEC18kN放松结点锁住结点CiiCCiCiiCCiABCDEC放松结点锁住结点CABCDEBAiiAAi 由上述讨论可以得到和单层半刚架中的剪力静定杆相同的结论：1）剪力静定杆的固端弯矩仍按下端固定，上端滑动的单跨梁求解。上层柱所受的水平荷载会在下层柱中产生固端弯矩，下层柱应首先求出柱上端的剪力，此剪力要作为集中荷载加在滑动端求固端弯矩

18、。2）剪力静定杆的转动刚度及传递系数仍旧为：转动刚度 S=i ，传递系数 C= -1。3ABSiACSi10.254AC30.754AB结点A结点CCASi3CDSi30.65CD10.25CACESi10.25CE例8-3-1 用无剪力分配法作半刚架的M图。1）求分配系数解：4EIi 4m4m4mABCDEiiii4kN2kN3kN/m2113 44 416.62FACMkN m 2113 44 424.32FCAMkN m 118 436.2FCEMkN m 36.FECMkN m AC柱CE柱2) 求固端弯矩CA4kN3kN/mEC18kN4m4m3) 运算格式BDE1.050.35AC0.250.75AB0.20.20.6CA CECD-0.35-16-12-24-361.41.44.2-1.4-1.4 -360.070.070.21-0.07217 12 12