误差理论习题答疑合肥工业大学,费业泰主编

1、误差理论习题答疑目录1. 绪论2. 误差基本原理3. 误差的合成与分解4. 最小二乘法原理5. 回归分析绪论绪论1-4试求其最大相对误差。1-4在测量某一长度时，读数值为，其最大绝对误差为20um解：最大相对误差（最大绝对误差）/测得值，231谕兀相对菠差N-X008.66x10-%绪论1-51-5使用凯特摆时,由公式振动时间T为s。试求给定。今测出长度给定。今测出长度g及最大相对误差。如果测出m，为了使gT的测量必须精确到多少解：由T2进行全微分，令并令'耳、A/n“代替dgTdh.dFAg_A/j=T的最大相对误差为：=CWOO5_2x-OOO51.04210204*0=53625

2、x10%，所以,9.81053绪论1-71-7为什么在使用微安表时，总希望指针在全量程的2/3范围内使用,解：设微安表的量程为°7，测量时指针的指示值为X,微安表的精度等级为S,最大误差Wz%,相对误差W芍厂，一般"X"故当X越接近忍相对误差就越小，故在使用微安表时，希望指针在全量程的2/3范围内使用。绪论1-9,1-9多级弹导火箭的射程为10000km时，其射击偏离预定点不超过，优秀选手能在距离50m远处准确射中直径为2cm的靶心，试评述哪一个射击精度高-!丄冥ion怖瞬解：火箭射击的相对误差：1（心仆门选手射击的相对误差：«100%10"&

3、#39;%5D所以，相比较可见火箭的射击精度高。绪论1-10,1-10若用两种测量方法测量某零件的长度L仁100mm其测量误差分别为科'而用第三种方法测量另一零件的长度L2=150mm，其测量误差为''，试比较三种测量方法精度的高低解：第一种方法测量的相对误差为:llUnm第二种方法测量的相对误差为:第三种方法测量的相对误差为:±12/Jmxl（X）%=±0,008%2-2测量某物体共8次,解：算术平均值为:严咬耳土补沁相比较可知：第三种方法测量的精度最高，第一种方法测量的精度最低。第二章：误差基本原理1. 算术平均值2. 标准差及算术平均值的标准差

4、3. 测量结果表达方式4. 粗大误差判断及剔除误差基本原理2-2测得数据（单位为g）为，。试求算术平均值及其标准差算术平均值的标准差是:2-3用别捷尔斯法、极差法和最大误差法计算习题2-2的标准差，并比较之。解：别捷尔斯法.£|<|<7=1.253jiz!三、002+0-064匸。&+0廻+0X)44605+0U4+00日屈a0.068fi5们粒马二戈z怙=236.51-23634-017g查表得1.2510.41(K5B73屈=0.059652.85g_0.05965y/fty/S=0+02109g7=T=0*61n0.0549=0.01941g所以,最大误差法

5、：查表得:综上所述，用贝塞尔公式得到的标准差是，别捷尔斯法计算得到的标准是、极差法是和最大误差法是，故最大误差法计算的得到的标准差最小，别捷尔斯法最大。2-9已知某仪器测量的标准差为m。若在该仪器上，对某一轴径测量一次，测得值为，试写出测量结果。若重复测量10次，测得值（单位为mm为，试写出测量结果。若手头无该仪器测量的标准差值的资料，试由中10次重复测量的测量值，写出上述、的测量结果。测量结果：奇e=±3(7=±3x0.5=±L5/«=±00015用用x=(26.2025+0,001IDr>甲乙z1-.zj-dj-a一二二勢“畑10(-

6、0.0027b)1+().W)K34-+0.0()1342+(-1).0027()>'-0.0041W1)=2j6,2fll5wfw所以对，测量结果为：-'_=Q.0022S*测量结果:xx+%|；=(26.2025±0.0005)/n/?j对，测量结果为:心耳±3近-(26+2025土0.0002)miw-Tq2'30'=7.04116°山,JU敢址+2(4326边心JU少旣JlRdUL：可由测得数据计算得工而Vio4.2sltJ-:XI。-1剂明各测量五次，测得值如下:，73'0”，72'35”，72

7、9;25”，72'20”解：对于甲来说2-12甲、乙两测量者用正弦尺对一锥体的锥角72'20”，72'20”，72'15''试求其测量结果。，72'50”，72'45”7°2'20"+7<,3,0B4-7°2B5+7°2'20+7°2,15"72'25”对于乙来说a.=匚57*2*25*+7*2,25%7e2'20+7°2'5C'+72M5"=7.0425°q=O.OG167Qn(n

8、9;-I)所以两个测量者的权是:=O.CO228:：0.00167'=""不妨取总M.536庄=1,所以，-L536e-片函亠吃吒小7曲“十85師".阿5砂宀7o3-1J36(2-1)(岭+&)1x0.00228-+0536X0.0016721x1.536二0,0004°乞二±3才二±3x1*44”=土4.32“oa即为所求。2-16对某一线圈电感测量10次，前4次是和一个标准线圈比较得到的，后6次是和另一个标准线圈比较得到的，测得结果如下（单位为mH：解：nxL11"hfa用秩和检验法有：将两组数据混合排列

9、，得1-2-?，试判断两组数据间有无系统误差。tr'llz?*=14,7=30T>Ti=2).：3+f+V+JU=Jl.：>因为”'所以有根据怀疑存在系统误差。2-17等精度测量某一电压10次，测得结果（单位为V为。测量完毕后,发现测量装置有接触松动现10次等精度测量,象，为判断是否接触不良而引入系统误差，将接触改善后，又重新作了测得结果（单位为V为，。试用t检验法（取为）判断两测量值之间是否有系统误差。解：用t检验法判断：第一次测量的数据x=26,001，cr/=1J4S>XIO3-i.549*i（r3心备io1£.一1=2597时=一£

10、仇-用=°血l5=2J5xlfl*2第二次测量数据：屮；叫z10=<26.001-25J7)110x10x(10-1-10-2)(10+1010x1.549x1O'310x24510-5)因为=10+10-2=18,取Z警查t分布表，得=210|/|=lr53<C=210所以，无根据怀疑测量列中存在系统误差2-19对某量进行两组测量，测得数据如下:X；J试用秩和检验法判断两组测量值之间是否有系统误差。解：将两组混合排列成下表:i13斗569ii)斗Q一砒1.131J31_16Ll»1.201.21y.0肿112*!H1213141516L7181920斗

11、L221.261.30pJ41.39XL211.251.311313KVt2122232526272S29301.411.57AL41L4&1J01的1曲L601,841.95得，匸"2+M7M血亡曲15融!皿25=口因为叫p=15>iq秩和T近似服从正态分布,所以，数学期望为,标准差,所以,何热（叫+喝+1人彳12）卞二坷（屿十眄十1）=1弘（15十诂十1）=m5<7=155x(15+15+1)12(7故，当置信概率p<%，此时=2Mt=240此时有根据怀疑两组测量值之间存在系统误差。而当置信概率p>%时,r=2.50此时无根据怀疑两组测量值之间存在

12、系统误差。2-20对某量进行15次测量，测得数据为,若这些测得值以消除系统误差，试用莱以特准则、测量值。思路：格罗布斯准则和狄克松准则分别判断该测量列中是否含有粗大误差莱以特准则：计=0.0327根据莱以特准则，第14次测量值的残余误差所以它含有粗大误差，故将它剔除。再根据剩下的格罗布斯准则：按照测量值的大小，顺序排列得,可怀疑，由于14个测量值重复上述步骤。，现在有2个测量值=28,504-28.40=0304召一工二28.53-28304二0.026故应该先怀疑X(1)是否含有粗大误差,gl)=28.504-28.400.0327=118C43-2已知测量的系统误差为ammbmmcmm，测

13、量的极限误差为amm，bmm，cmm，试求立方体的体积及其体积的极限误差取Ct0.054査表得”ga(l5,0.05)=2.41#则胡=3*04辭(15005)二2.41。故第个测量值x(i)含有粗大误差，应剔除。注意：此时不能直接对x(15)进行判断，一次只能剔除一个粗差。重复上述步骤，判断是否还含有粗差。狄克松准则同理，判断后每次剔除一个粗差后重复。第三章：误差的合成与分解知识点：1. 系统误差合成2. 随机误差合成3. 相关系数4. 微小误差取舍原则5. 误差的分解及等作用原则为求长方体体积V,直接测量其各边长为amm，bmm，cmm思路：1. 按测得值计算得V;2. 根据系统误差的合成

14、原理求得V的系统误差；3. 计算长方体的体积；4. 根据极限误差的合成原理求得极限误差；此时可写出测量结果表达式。解：因为V=ahc岭=£JXXC=161.6x44.5x11.2=Axc=44.5X11.2=498.4iL=dii=t6l.6xl12=1809.92lJL=4X/5=161.6x44.5=7Wh2体积的系统误差：y=An+A/>4山dadbde-498.4xl_2+lB09.92职-0.8+7191.2x0/5工274生744聊护所以，长方体的体积是：=805+1.44-2745.744=77795.696mm极限误差为（局部误差方和根）eV營小（節呼欝近cb=

15、±yl498.42x0.82+IS09.92:x0.5-+719L220.5'=±3729.1所以，立方体的体积是，体积的极限误差是3-4测量某电路的电流ImA，电压UV，测量的标准差分别为巧=0.酣泌化=0.II'，求所耗功率PUI及其标准差p。解：先求所耗功率:PP=/=12h5xl0-J3UdPdf所以,且61完全线形相关.故Q牛+2xpxXXX®IdUcirVdJfxQ.f+I2.o'X(0?>Itr1V*2r>22.5x1or'x12C»kO.IxQSk=j£0必n】+39的IF+21L站&

16、quot;【J*=j73J025(r=8xlT3JF所以，该电路所耗功率为，其标准差为'-3已知兀与V的相关系数d"I试求的方差讥解：因为所以,j2#比、件1rdirdu=(y/xxt-x<t-xctvdroydruy=4a:cr/+Ei<r/±2x(-l)x2xK(/xcrrxcrv=4宀*+曲-+Yxcib£7XJd*=(加丐_吧,卩所以，的方差k为所示，用取球法测量孔的直径6其钢球宜径分别为几测出的距离分别为如S试求被测孔径D与各宜接测量量的函数关系D畑血血區、及其误差梅递函数.解：如图所示，由勾股定理得然后对di,d2,H1,H2分别求

17、偏导，即得出误差传递系数。3-10假定从支点到重心的长度为L的单摆振动周期为T,重力加速度可由公式给出。若要求测量g的相对标准差昇*试问按等作用原则分配误差时，测量L和T的相对标准差应该是多少解£由重力加速度公式，点得，尸因为,cLT2dT因为测量项目有两个，所以n=2。按等作用原理分配误差，得L同理,吕丄r_乞少竹丁%工_1空卩E希虫3fert帀華丈g(T卵杓警曲综上所述，测量L和T的相对标准差分别是和%第五章：最小二乘法原理知识点：1. 最小二乘法原理2. 正规方程3. 两种参数估计的方法4. 精度估计推荐掌握：基于矩阵的的最小二乘法参数估计参数最小二乘法估计矩阵形式的简单推导及

18、回顾：由误差方程-心且要求；最小，则：VJV=(L-AX)J(L-AX)=(L!-XrAr)(L-AX>=LrL-L?AX-XrArL+XZA?AX令其等于f(X)；要f(X)S小,需其对应偏导为(h幺f(X)=-L7A-LrA+AXf+XrArA=0l/A=XrArAA1L=AJAX所以：X=(A/A)1AIL理论基础：汾3诒妙rfJL=t(x)t-r(XjJ+r(x)r*(X)<2)c/X5-1由测量方程试3x+F=29工-2_丫"9k-3_yJ9求*y的最小.乘法处理及其相应精度。解：方法一（常规）：1.列出误差方程组：I-,=2.9-估工十岭-04-（x-2jO&

19、gt;片=1.9-|3£）：=（曲-Gt七册f押弘弋或廿分别对口求偏导,并令它们的结果为也3（Cv-29>x3+*-）二助+玄0効-x2P3（念+7）-2勿雄丁1勿><2+2（依-効-1.9>x3=O即，14x-5=l3.45x+l4v=-4.6由上式可解得结果：1''-2.直接列表计算给出正规方程常数项和系数i1%dil心131»I3L7i1-214-2-1.6»2-34al.»K14-61470可得正规方程14x-5y=l3X-5x+14y=4-6将yx，的结果代入分别求得：v,=2,9-(3xO.962+0.

20、0L52)=-O.<M)3v2=0.9-(O.%26-2x0.()152)=-0.0322kvs=L9-(2x0.96263x0.0152T.0204得,Dj+r+才jsl=(-0M3)2+(-0.0322)a+(0.0204)1=Ot00146丄吋亦/J=二f=2ZH由题已知，得L46xIO-3=O,O3S2由不定乘数的方程组14J,-5JI；=Ib*IW|21吗-%“1叫*1叫=J得rf|t=1).081rfH=0.0819得tr,-0,03K2jC.08W-0.01(W叭=c莎=0,0382OSI9=0.01(19方法二（按矩阵形式计算）：由误差方程V=LAXvL=2.9-（3x-

21、n2y）比=U,g_（工-21'）”片二1.9_心_3刃J上式可以表示为'v/1?<3AAv叫LWA=1-2X=-?<V«19V»2-39丿-可得式中所以即解得，x=0.9626y=0.0152将最佳估计值代入误差方程可得，V=L-AX=耳亠"2.9091.93121_-2-3_0.9626'00155-0()030-0.0322UU2O4B<B将计算得到的数据代入式中为求出估计量y,x，的标准差，首先求出不定常数由已知，不定常数的系数与正规方程的系数相同，因而是矩阵'中各元素，即1145%.1?114514-0.

22、0X19171J4-0.0819171可得估计量的标准養为6=cr777=(L0382JO医9=0.0L09石叵7=U.O3S2OX19=0.0J095-3测力计示值与测量时的温度t的对应值独立测得如下表所示。t/C151821242730/FNF二k十灯设t无误差，F值随t的变化呈线性关系°试给出线性方程中系数k0和k的最小二乘估计及其相应精度。解：利用矩阵求解，误差方程可写成片a115'13i21X-124_k.127LJ占i304J.6'1154361ISA«121©711244374i12743130可得试中,所以*k.TX=C"

23、ALJt1p!95-135K1IIM5-B56|_I5J82143611I1143.6S?4273o437143.7443.78'43.43240*1152=L-AX-将最佳估计值代入误差方程得苇-片11<£611115】買2143.432J-O.MMKO.OOS68C12401152U.OOIJ2127-O.OOJ44L%k1300002为求出估计量k0,、k，的标准差,需要求出不定乘数dji的系数，而不定乘数Dji的系数与正规方程的系数相同，因而Dij是矩阵中各元素，即3195-0.00635945可得估计量的标准差为6°=住眄=0.(X)64773380

24、95=0.00119ctX|=0.00647-700635=0.00051()55不等精度测量的方程组如下:划=6p=.4.ti-y=8.1.P,-2t>f2x-3y=GSt=3试求x、y的最小二乘法处理及其相应精度。45解：利用矩阵计算A=1-31L=f2Lz-Fi-S.bK.l2-1V0.5'10000003'=(AJPAr'ArPLL吋得则8.260200030.0230.0095-CHJI65可计Jt/VFYhdll於十hl七也壓F*后3又知3莎"SEE-G.0715-1<HU7t5可得怙计童的标准差为6=u臥=0Q392J0D223=0.

25、0059碍=住莎=0.0392>/0.0715=0*01055-7将下面的非线性误差方程组化成线性的形式，并给出未知参数X1,x2，的二乘法处理及其相应精度。v=5A3旺叫=13.21（斗4比=3X)1上旺+-S.61-1'L4351V-8.1412.352巧0.52LJ将量佳估计值代入误差方程彳严r尸*I呵:;=C-AZLw：1.由前面三个线性的误差方程、亠吕可解得5址的近似估计值G利用矩阵形式求解：r/,i5.13'V,Lhs8.26v=LJ13.21f10"01I1鬣；:5.138.2613.215.13«.2613.213卜】2tI15.2IO

26、O二亍24.60005.C7OOb丄0002.取冲孔得近似值*5.07CMX.*=8200,令x2=疋°+爲可将误差方程线性化,偏导现分别对测董方程求则误差方程化成线性方程组V=L-A5,*!«/（人（坷0，-匕）0.W-0.06丄一L（'G心丄TU2J10011103S18OJ-O可得三二（岛丁人尸炭！；式中L«<a'xrllrI'1()1C3MJS'01010.14*0110.14b0_2. H5G105572.0213P0.6272-OJ37&"L-0327&0.M5K所以-0,06'&

27、#39;0.6272-032761T1010.3SIX_0.04-4132760.6658()1I(M46O-0.06-0120()60.6272-0.32760.299t0.19L6-0.32760.66580.3382-0.0279-0.06-0.0IM-4).0100解得爲=-0,0164送=-0.0100则齐=.$十爲=50700-0.0164=5X)536E=心+A=82000-0.0100=8J900将中®的量崔估计It代入棧差方程计算可WiF5.13-'5,0536_0,0764'KN000.070013.21I3.24J6-0.(336_1_01_11

28、W-01152再由,0.6272-O3MB-032760.665S则,£=0.6272趾=0.665K可得估计童的捺准差为，叫-0J12006272-Q.OSK7<7tt=a7T=0【2&&三0.0914第六章回归分析知识点：1. 一元线性回归2. 多元线性回归3. 方差分析及显著性检验LOGO第六章回归分析6-1材料的抗剪强度与材料承受的正应力有关。对某种材料试验的数据如下：正应力/xPa抗剪强度/yPa/xPa/yPa假设正应力的数值是精确的，求抗剪强度与正应力之间的线性回归方程。当正应力为时，抗剪强度的估计值是多少解：123.5718.24702-1571

29、0.22J.427.3<4$.1674S29W3.4232S.924.235215S5.M699.JS42"27.1734.41砂327723.67672?556.96653.7262掰25.9571.21670.SI619.01T2+7咖祈HT09691.649612&J21.5789.615067563225926.921.7723.634TCJJ95BJ.731027421.4750.76457.965Kb.36U22625.8510.76665.645«i.0«1Z25.fi24.*655J6620.01«3T44y3ll.fi29

30、72B1M267-107.876B7.76(YjJ2“2J1rT1I屮=V.r；-»813426-_=4Jj05iJTT11I"1-n*送為工月Ji16x29722=£肚-t制=T朗-''=-沙少ZT-n12.J-253“和b=-0.6861b=匚応=空仝十0.6K6L*如虫=42.581S*112所以”综上所述，p=423818-0.686b=42.5&-0,69斗*O当正应力X为245时，抗剪强度的估计值是雲>=42.58-0.6861x24.5=25.775PU=25.8r36-7在4种不同温度下观测某化学反应生成物含量的百分数

31、，每种在同一温度下重复观测三次，数据如下：解孑为同一温度三次下观测生成物含:的百分数的平均值.77,4+76,7+7K,2=77.4333841+845+817=ft41Vj=«9.267=95.)333x；=215OO(Y1sJ90D1q=202500N4-=215000-202500=12500-U5<)1111=313-=86卿节4£#50087£14IVI(£片尸1=1M531¥4=?NI74MO(L»r：I匚匹宀*=3OO&7614一>»I7.SO亠=业趣_=。皿F_12500fi.r=M.4S

32、33-D.llficS*225=协270S=7929l.M41(送斗科)Tr=LJV=77K54.S925f一mi=dgJY1456-.6675%肓菇两两=l274；心1(甲g=i血故回归方程拟合的很好。6-11用表差法法验证下列数据可以用曲线表示。y=M.27»a+0.1165j现将计算结巣写入方差分析表中*»平方和aMtF510531J347iiR5U9.LQ530671$<1351531.141A12耳吗11卫&513.1111由于F53A4Fw)9回归高度显著代型虫说明失拟误差平方和是不显著的，即回归方程拟合得很好，即可将失拟平方和络和误差平方和Q合并

33、.因为皿soaoszi解：将表中yx，画图得曲线如图所示，从曲线上按入下表。，因表中A;V极接近常数，此组观测数据可用MH*自K±VHkttXysrJTVarAyL1041.40II44矶0.44.20-fi0_40.704.450l4OLS)205JJ1,2.4U4l_3IM«J8B.t6.60-&J.BM0illHjILL-12J*»11J22；HM0.52.7LS0门肿2>I3Jas3,30I6J33.2I6J0.3k76-12炼焦炉的焦化时间y与炉宽1x及烟道管相对温度2x的数据如下：y/min1x/mx2求回归方程检验显著性，并讨论x1，x2对y的影响。利用量小二魅所求的回归方程为，式中的冷切是回归方程的回归累氣对毎一组的心上可以确定一个回归值一二实际测得值耳与回归曲Zi缭是残余融齐，利用矩阵落式*46.401132l5V|15.0512.693.40儿18.7513564.10V330.2514.418.75片44.85153514.82耳V.x=b=v«4g,9416.20ISAS机怜51.5517.121532N61.501&.87IS18100.4419.8X3519V9111.42110.6540.40%则误差方程化成矩阵形式为根据最小二乘原理