第二章点、直线、平面投影

1、 一、投影的概念 投影空间物体在光线的照射下，在地上或墙上产生的影子，这种现象叫做投影。 投影法在投影面上作出物投影面上作出物体投影体投影的方法称为投影法。2-1 2-1 投影的基本知识投影的基本知识H1.中心投影法：全部投影线都 从一点投射出。S特性：投影大小与物体和投影面之间距离有关。二、投影法的种类P2 2.平行投影法1）正投影法：（主要学习此种投影方法）投射线互相平行且垂直于投影面特性：投影大小与物体和投 影面之间距离无关。所有投影线都相互平行。H2）斜投影法：投影线倾斜于投影面。三、正投影法的主要特性 1.点的投影：Aa 点的投影 仍是一点。H2.直线的投影 直线的投影一般情况下仍为

2、直线，在特殊情况下积聚为一点。 1）直线平行于投影面abAB 在该面上的投影ab反映空间直线AB的真实长度。即：ab=ABH2）直线垂直于投影面CDc（d）在该面上的投影有积聚性，其投影为一点。H 3）直线倾斜于投影面EFef在该面上的投影长度变短，即：ef=EFcos。H3.平面的投影 平面的投影一般仍是相类似的平面图形，在特殊情况下积聚为直线。 1）平面平行于投影面ABCabc投影abc反映空间平面ABC的真实形状。H2）平面垂直于投影面DEFdef在投影面上的投影积聚为直线。H3）平面倾斜于投影面KLMKlm投影klm面积变小。四、物体的三面投影图1.三面投影图的形成 三投影面体系由三个

3、相互垂直的投影面所组成。正立投影面简称正面。水平投影面 简称水平面。侧立投影面简称侧面。两投影面的交线称为投影轴。VHXYZWO2.物体在三投影面体系中的投影正面投影由前向后投影；水平面投影由上向下投影；侧面投影由左向右投影。3.三投影面的展开VHWOXYHZYW侧面W绕OZ轴向右旋转90。水平面H绕OX轴向下旋90。规定：正面V保持不动。VHXYZWO2-2 点的投影一、点在两投影面体系中的投影 过A作垂直于V、H面的投射线Aa、Aa，分别与H面交于a，与V面交于a，a、a即为点A的两面投影。HOXAaaVVHOXAaa实际作图时不画投影面边框。VHOXaaaxaaOX（1）点的两投影连线垂

4、直于投影轴，即 aaox；（2）点的投影到投影轴的距离，等于该 点到相邻投影面的距离，即： aax=Aa aax=Aa二、点在三投影面体系中的投影XYHYWZOaaa规定：空间点A用大写字母表示，在H面的投影a，在V面的投影用a，在W面的投影用a表示。aVHWXYHYW ZaaO（1）点的投影连线垂直于投影轴。 即：aaox，aaoz （2）点的投影到投影轴的距离，等于该点的坐标，也就 是该点到相应投影面的距离。 三、点的三面投影与直角坐标的关系： 将投影面体系当作空间直角坐标系，把V、H、W当作坐标面，投影轴ox、oy、oz当作坐标轴，o作为原点。 点A的空间位置可以用直角坐标（x，y，z）

5、来表示。 点的三面投影规律：点A的x坐标值=oax =aay=aaz=Aa 反映点A到W面的距离。点A的Y坐标值=oay=aax=aaz=Aa 反映点A 到V面的距离。点A的Z坐标值=oaz=aax=aay=Aa 反映点A到H面的距离。OaaywXYHYWZaaaxazayhxyz a由点A的x、y值确定，a由点A 的x、z确定，a由点A的y、z值确定。例1：已知点的坐标值为：A（20，10，15）和 B（0，15，20）求它们的三面投影图。解：（1）量取坐标值；XOYHYWZaaabbb（2）作点的投影。bbc cxyHywoaaz例2：已知各点的两面投影，求作其第三投影，并判断点 对投影面

6、的相对位置。点A的三个坐标值均不为0，A为一般位置。点B的Z坐标为0，故点B为H面上的点。点C的x、y坐标为0，故点C为z轴上的点。abc四、两点的相对位置和重影点： 1.两点的相对位置 要在投影图上判断空间两点的相对位置，应根据两点的各个同面投影关系和坐标差来确定。例：由投影图判断A、B两点的空间位置。aabbXOYHYWZab（1）由A、B两点V、H面投影可确定点A在点B左方。（2）由A、B的H、W面投影可确定点A在点B前方。（3）由A、B的V、W面投影可确定点A在点B下方。因此点A位于点B左、前、下方。2.重影点重影点空间两点的同面投影重合于一点叫做重影点。 如图：C、D两点的水平投影重

7、影为一点。OXc（d）cd又因点C在点D的正方，C点可见，D点被遮盖。作图时不可见点加括号。结论：如果两个点的某面投影重合时，则对该投影面的投影坐标值大者为可见，小者为不可见。例：已知点D 的三面投影，点C在点D的正前方15mm， 求作点C的三面投影，并判别其投影的可见性。解：由已知条件知：XC=XDZC=ZD YC-YD=15mm因为点C、D在V面上的投影重影。c cc又因为YC YD所以C的V面投影为可见点，则D的V面投影为不可见点。 dYWYHOXZdd( ) 一、直线的投影： 直线的投影一般为直线，可由直线上两点的同面投影连线确定。2-3 2-3 直线的投影直线的投影例：已知直线AB端

8、点坐标为A（20，15，5）, B（5，5，15）作AB的三面投影。OXYHYWZaaabbb二、各种位置直线的投影特性1.一般位置直线YWOXYHZaaabbb如图示：直线的三面投影长度均小于实长，三面投影均倾斜于投影轴，但不反映空间直线对投影面倾角的大小。2.投影面平行线投影图OXYHYWZaaabbb1）水平线：平行于H面，对V、W面倾斜。水平投影ab=AB正面投影abOX，侧面投影abOYwab与OX、OYH的夹角、等于AB对V、W面的倾角。cdcdcd2）正平线：平行于V，对H、W倾斜OXYHYWZ正面投影cd=CD水平投影cdOX侧面投影cdOZcd与OX、OZ的夹角、等于CD对H

9、、W面的倾角。3）侧平线：平行于W面，对V、H面倾斜。侧面投影ef=EF水平投影efOYH，正面投影efOZ。ef与OYW、OZ的夹角、等于EF对V、H面的倾角。OXYHYWZefef ef3.投影面垂直线1）铅垂线：直线垂直H面，平行V、W面。OXYHYWZa（b）abab水平投影积聚为一点。ab=ab=ABab OX，ab OYW2）正垂线：直线垂直V面，平行H、W面。OXYHYWZcdc (d)cd正面投影积聚为一点。cd=cd=CD cdOX， cdOZ3）侧垂线：直线垂直W面，平行H、V面。OXYHYWZefef e （f ）侧面投影积聚为一点。ef=ef =EFefOYH，ef O

10、Z。三、直线上的点三、直线上的点 1.直线上的点： 点在直线上，点的各面投影必定在该直线的同面投影上；反之，点的各面投影均在直线的同面投影上，则该 点必在此直线上。OXYHYWZaaabbbkkk2.点分割线段成定比直线上的点分割直线之比，在投影后保持不变。YHaOXYWZaabbbkkk即：AK: KB=ak: kb=ak: kb=ak: kb例1：试在直线AB上取一点C，使AC:CB=1:2，求作C点。解：分点C的投影必在AB 的同面投影上。且 ac:cb=ac: cb =1:2OXabab123cc例2：已知直线CD及点M的两面投影，判断M是否在CD上。解1:OXcdcdmm 作侧平线C

11、D和点M的侧面投影。 由作图知点M的侧面投影不在cd上，所以M不在CD上。cdmzYHYW解2:在H面作任一直线cE，使cE=cd。并截取cM1=cmEM1连dE，过M1作dE的平行线与cd交于m1mOXcdcdmm1因为m1与m不重合，所以M不在CD上。例2：已知直线CD及点M的两面投影，判断M是否在CD上。ABCD四、两直线相对位置 空间两直线的相对位置分为：平行平行、相交相交、交叉交叉 1.平行两直线：投影特性：空间两直线相互平行，它们的各组同面投影必定相互平行。abcd 反之，若两直线的各同面投影相互平行，则两直线在空间一定平行。ABCDK2.相交两直线ab cdkK是两直线的共有点，

12、K在平面上的投影k必在ab上，又必在cd上。交点K的三面投影符合点的投影规律。OXZYHYWabcdkabcdkabcdk交点K的三面投影符合点的投影规律。3.交叉两直线 在空间即不平行也不相交的两直线为交叉两直线。 交叉两直线的同面投影可能相交，但不符合空间点的投影规律。aabbccdd 直线AB和直线CD两面投影的交点连线不OX轴，为交叉两直线。aabbccdd 交叉两直线投影的交点并不是空间两直线真正的交点，而是两直线上相应点投影的重影点。 对重影点应区分其可见性，即根据重影点对同一投影面的坐标值大小来判断。坐标值大者为可见点，小者为不可见点。11223344( )( )例1：判断两直线

13、的相对位置。交点的连线垂直于OX，且两直线为一般位置直线，由两面投影可判断为相交两线。ab与cd在一直线上，而abcd ，两直线平行。CD为侧平线，利用点分割线段成比例进行判断。为交叉两直线。OXaabbccddOXaabbccddOXaabbccddEmkddkkaabbcc例2：过C点作水平线CD与AB相交。先作CD的正面投影 例3：已知：两直线AB、CD的投影及点M的水平投影m，试作一直线MNCD并与直线AB相交于N点。nnm作图：过m作mncd，并与ab交于n；由n求出n；过n作作nmcd，求得m。aabbccddmOX 掌握点与直线的投影特性，尤其是特殊尤其是特殊位置直线的投影特性。

14、位置直线的投影特性。 点与直线及两直线相对位置的判断方法及投影特性。 点分割直线成定比定比定理。 小结：小结：2-4 2-4 平面的投影平面的投影一、平面的表示法一、平面的表示法 用几何元素表示平面不在同一直线上的三点。aabbccaabbcc一直线和线外一点。ccaabb相交两直线。bbaaccdd平行两直线。bbaacc任意平面形。二、各种位置平面的投影铅垂面正垂面侧垂面水平面正平面 侧平面平行于某一投影面垂直于某一投影面特殊位置平面对三个投影面都倾斜 投影面垂直面投影面平行面一般位置平面1.投影面垂直面 垂直于某一个投影面，而倾斜于其余两个投影面的平面为投影面垂直面。 垂直的投影面上投影

15、有积聚性其余两投影面的投影为类似形OXZYHYWaaabbbccc投影面垂直面的投影特性： 平面在所垂直的投影面上的投影积聚为直线； 其余两投影面的投影为原形的类似形，但比实 形小； 平面具有积聚性的投影与投影轴的夹角，分别 反映平面与相应投影面的倾角。2.投影面平行面 平行于某一个投影面的平面称为投影面平行面，该平面必然垂直于其余两个投影面。在所平行的投影面上的投影反映实形。其余两投影积聚为直线，并平行于相应的投影轴。OXZYHYWaaabbbccc投影面平形面的投影特性： 平面在所平行的投影面上的投影反映 实形； 其余两投影积聚为直线，并分别平 行于相应的投影轴。3.一般位置平面 对三个投

16、影面都倾斜的平面。它的各面投影均不反映实形，也不具有积聚性。不直接反映该平面与投影面的倾角。OXYWYHZaaabbbccc三、平面上的点和直线三、平面上的点和直线定理一：若直线过平面上的两点，则此直线必在 该平面内。定理二：若一直线过平面内的一点，且平行于该 平面上另一直线，则此直线在该平面内。定理三：若点在平面内，它必在平面内的一条直 线上。1.平面上的点和直线例1：已知ABC平面内点K的V面投影k，求作K的H面投影。解1解2ddkmmkOXaabbcckOXaabbcck例2：已知四边形ABCD的V面投影及AB、BC的H面投影，完 成H面投影。解1OXaabbccddeeOXaabbcc

17、d解2eed2.平面上的投影面平行线 凡在平面上且平行于某一投影面的直线，称为平面上的投影面平行线。 平面内的水平线直线在平面内，又平行于水平面的直线。 平面内的正平线直线在平面内，又平行于正面的直线。 平面内的侧平线直线在平面内，又平行于侧面的直线。 例3：作ABC平面内的正平线，它距V面为8mm。OXaabbcc因为正平线的水平投影平行于OX，先作34OX，使其距V面8mm，再求出34。34834 例4：在ABC内取一点K，使点K距V面8mm，距H面12mm。OXaabbcc解：12812213344kk四、特殊位置圆的投影 1.与投影面平行的圆 当圆平行于某一投影面时，圆在该投影面上的投

18、影仍为圆，其余两投影积聚为直线，其长度等于圆的直径，且平行于相应的投影轴。OXYHYWZ2.与投影面垂直的圆 当圆与投影面垂直时，圆在它所垂直的投影面上的投影积聚为直线，其余两投影为椭圆。XOaabbccdd2-5 2-5 直线与平面、平面与平面直线与平面、平面与平面 之间的相对位置之间的相对位置 一、平行问题 1.直线与平面平行 定理：直线平行于平面上的某一条直线。直线平行于平面上的某一条直线。 即：如果直线平行于平面，则直线的各面投 影必与平面上一直线的同面投影平行。例1：过点M作直线MN平行于平面ABC。解：aabbccmm有多少解？有多少解？nn无数解无数解例2：过点M作直线MN平行于

19、V面和ABC。解：正平线abcmmabc因为ABC为正垂面，所以直线MN的正面投影mn必定平行于abc。又因为MN为正平线，所以mn平行于OX轴。nn有唯一解有多少解？有多少解？2.平面与平面平行几何条件：1）若一个平面上的两相交直线分别平行于另一平面上的两相交直线，则两平面相互平行。2）若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。caabbcddeeff gg例3：过点K作平面平行于ABC。解：aabbcckk分析：按几何条件，只要过点K作两相交直线KL、KH对应地平行于已知平面的一对相交直线，此平面即为所求。作图：KLAB，KHBC。llhh1.1.一般位置直线与特殊位

20、置平面相交 交点是直线与平面的共有交点是直线与平面的共有点。点。讨论：（1）求直线与平面的交点； （2）判别两者之间的相互遮挡关系，即 判别可见性。 只讨论平面与直线中至少有一个处于特殊位置的情况。 二、相交问题aabbddeef f例1：求直线AB与铅垂面DEF的交点K，并判别可见性。分析：因DEF的水平投影def有积聚性，交点K是DEF内的点，它必在def上，又因K是AB上的点，它的水平投影k必在ab上，因此k就是K的水平投影。由k可求得k。kk11(2)2由于ak在在平面的前方，故正面投影ak可见， kb被平面遮住的部分为不可见。 例2：求直线AB与水平面的交点K，并判别可见性。aabb

21、kk由图知：圆平面是水平面，其正面投影有积聚性，可先求出V面的投影k，再求出H面投影k。由于ak在水平面的上方，故水平投影ak可见，kb被圆遮住的部分为不可见。2.特殊位置直线（垂直线）与一般位置平面相交 (e)daabbccde(k)借助于辅助线的方法求出交点。nn判别可见性：由V面的bc与de的重影点1(2)求出H面的1在直线DE上，2在BC上，1的Y坐标大于2，所以dk可见，ke被遮住部分不可见。k1(2 )12例3：求铅垂线DE与ABC的交点K，并判别可见性。例4：求直线MN与平面ABC的交点。aabbccnm(m)nkddk作图：连ck与与ab交于交于d，由d求出d，连cd交mn于k

22、。k为所求。判别可见性：在H面中mn与ac的交点1（2），即是直线MN与平面上AC边对H 面的重影点，求出1、2；因1的Z坐标大，所以kn可见。11(2)2 两平面相交，其交线为直线直线，交线是两平面的共有线共有线，同时交线上的点是两平面的共有点。讨论：A.求两平面的交线（方法） 1）确定两平面的两个共有点； 2）确定一个共有点及交线的方向。 B.判别可见性。3.一般位置平面与特殊位置平面相交分析：ABC与DEF交线的正面投影mn为DEF的DE、EF的正面投影df 、ef 与ABC的正面投影的交点，由mn求出m、n，mn为可见与不可见的分界线。判别可见性：V面mnf 在abc的上方，mnf 可见，demn被ABC遮挡部分为不可见。mn例5：平面ABC为投影面平行面与一般位置平面DEF相 交，求交线并判别可见性。aabbccddeeff mn例6：求平面ABC与铅垂面DEF的交线KL，并判别可见性。aabbccddeeff kl分析：DEF是铅垂面，其水平投影有积聚性。可直接求出k、l，再由k、l求出k、l，交线是可见与不可见的分界线。kl三、垂直问题1.直线与平面垂直 定理：如果一直线垂直于某一平面内的两相交直 线，则直 线必垂直于该平面。PABCDLG例：过已知点D 作平面