线性代数向量组

1、 2014年年10月月 第三章第三章 向量组向量组3.13.1向量组的线性表示向量组的线性表示一一. .向量向量12,naaa 12(,).Tmaaa 2 2、向量的线性运算、向量的线性运算（1 1）加减法；）加减法； （2 2）数乘）数乘 （参考矩阵的加减法和矩阵的数乘）（参考矩阵的加减法和矩阵的数乘） 3 3、 向量组：向量组：若干个若干个同维数同维数的行（列）向量所组成的行（列）向量所组成的集合称为向量组。的集合称为向量组。 123123234,345456 是是3 3个四维的列向量组个四维的列向量组. . 1234(1, 2, 3),(2, 3,4),(3,4,5),(4,5,6)TT

2、TT 是是4个三维的行向量组。个三维的行向量组。 4 4向量组和矩阵的关系向量组和矩阵的关系123123234,345456 123, 123234345456 1234TTTT 对于列向量组对于列向量组对于行向量组对于行向量组1234(1,2,3)(2,3,4)(3,4,5)(4,5,6)TTTT 123234345456 反过来看：反过来看：即矩阵的即矩阵的特殊分块特殊分块二、向量组的线性表示二、向量组的线性表示（以列向量为对象）（以列向量为对象）三三. . 向量组的等价向量组的等价【注注】向量组向量组 能向量组能向量组 表示的矩阵表示表示的矩阵表示BA3.23.2向量组的线性相关性向量组

3、的线性相关性一.定义123(1,0,0) ,(0,1,0) ,(0,0,1) .TTTeee 1231, 2, 3,2,4,6,3,0,5;TTT 1231, 2, 3,2, 3,4,3,5,7;TTT 相关相关相关相关相关相关无关无关1 答答 案案：齐次线性方程组的向量表示齐次线性方程组的向量表示nnmmmnnaaaxaaaxaaax11121121222212000 nnxxx1212,0 nnxxx11220 二二. .相关定理相关定理( (或结论或结论) )【例例3】讨论向量组的线性相关性。讨论向量组的线性相关性。1231322,2,0354 相关相关无关无关【例例5】已知向量已知向量

4、123, 线性无关，线性无关，证明：向量证明：向量112223313, 线性无关。线性无关。123123101(,)(,)110011 因因1011100011 证：证：123, 故故线性无关。线性无关。能能不能不能相关相关相关相关无关无关3.3向量组的秩与极大线性无关组向量组的秩与极大线性无关组定义定义1:1:简称简称极大极大无关组无关组, r 称为向量组称为向量组 A的秩，记作的秩，记作R(A)（ii）A的任意向量都可由的任意向量都可由A0线性表示线性表示.012:,rA 线性无关线性无关,（i）那么称部分组那么称部分组 为向量组为向量组 A的一个的一个极大线性无关组极大线性无关组，0A设

5、设 A为一个向量组，为一个向量组，A的部分组的部分组 满足：满足：012:,rA 向量组向量组 12:,mA 12(,)mR 的秩也记作的秩也记作一、定义和性质一、定义和性质【注注】（1）只含零向量的向量组没有最大无关组，规定秩为）只含零向量的向量组没有最大无关组，规定秩为0 。（2）一个线性无关向量组的最大无关组就是其本身。）一个线性无关向量组的最大无关组就是其本身。（4）向量组）向量组 A能由能由A0线性表示。线性表示。（3）向量组的）向量组的最大无关组最大无关组一般一般不是唯一的不是唯一的。（5）任意一个最大线性无关组都与向量组本身等价。）任意一个最大线性无关组都与向量组本身等价。例如：

6、在向量组例如：在向量组 中，中， 1231010,1,1000 12, 首先首先线性无关，又线性无关，又123, 线性相关，线性相关，所以所以12, 是一个极大无关组。是一个极大无关组。还可以验证还可以验证23, 也是一个极大无关组。也是一个极大无关组。例如：矩阵例如：矩阵A的列向量组是的列向量组是123411310214,00050000 可以验证可以验证124, 是一个最大无关组是一个最大无关组,所以矩阵所以矩阵A的列秩是的列秩是3。【定理定理】矩阵的秩矩阵的秩 = 矩阵的行向量组的秩矩阵的行向量组的秩 = 矩阵的列向量组的秩矩阵的列向量组的秩证：矩阵证：矩阵 A 经过初等变换变为行最简形

7、经过初等变换变为行最简形 B又初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性关系，又初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性关系，所以，所以，R(A) A的列向量组的秩的列向量组的秩同理，同理，R(AT ) AT 的列向量组的秩的列向量组的秩A 的行向量组的秩的行向量组的秩但是，但是， R(A) R(AT )【例例2】求矩阵求矩阵000011012025025118003341036072A 的列向量组的一个最大无关组，并把其余的的列向量组的一个最大无关组，并把其余的向量用向量用这个最大无关组线性表示。这个最大无关组线性表示。01202500113200334100001313000011 解解: :123

8、456(,)A 010201001101000011000000000000 235, 是一个最大无关组是一个最大无关组.10 4232 6235 10104011030001300000 【结论结论】向量组向量组 能由向量组能由向量组 线性表示，且它们线性表示，且它们的秩相等，证明的秩相等，证明: :向量组向量组 与向量组与向量组 等价。等价。BAAB例如：例如： 向量组向量组 的秩为的秩为2。1231010,1,1000 向量组向量组 的秩为的秩为2。1230000,1,1101 【注意注意】两个有相同的秩的向量组不一定等价。两个有相同的秩的向量组不一定等价。 两个向量组有相同的秩，并且其中一个可以被另一个两个向量组有相同的秩，并且其中一个可以被另一个 线性表示，则这两个向量组等价。线性表示，则这两个向量组等价。3.5 3.5 标准正交向量组标准正交向量组（2 2） 内积的性质内积的性质(1) ,;x yy x (2) ,;xyxy (3) , , , ;xy zx zy z (