平面向量基本概念与运算法则含基础练习题

1、平面向量11 .数量和向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小，不能比较大小。2 .向量的表示方法：用有向线段表示；用字母46等表示；用有向线段的起点与终点字母表示：AB；向量而的大小一一长度称为向量的模，记作|AB|3 .有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，三要素：起点、方向、长度。向量与有向线段的区别：向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向，也是不同的有向线段。4 .零向量、单位向量概念：长度为0的向量叫零向量，记作0长度为1个单位长度的

2、向量，叫做单位向量。说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。5 .相等向量的定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量说明：向量a与6相等，记作a=b；任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无零向量与零向量相等;关。6 .平行向量的定义：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；7 我们规定0与任一向量平行。说明：综合才是平行向量的完整定义；”向量a、Bc平行，记作a/b/co二、向量的运算法则1 .向量的加法某人从A至ljB,再从B至ljC,则两次的位移和：ABBCAC;向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法三角形法则：abAbBCAC四边形法则：abO

3、AOBOAACOC练习：化简(1)(ABbC)CD(2)(ABMB)BOOM(3)OAOCBOCO2 .向量的减法相反向量：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作a。(a)a；任一向量与其相反向量白和是零向量，即：a(a)(a)a0；如果a,b是互为相反的向量，则：ab,ba,ab0O向量的减法：向量a加上b的相反向量，叫做a和b的差。即aba(b)向量减法法则：两向量起点相同，则差向量就是连结两向量终点，指向被减向量终点的向量。注意：起点相同；指向被减向量的终点。练习：(1)ABAC(2)ODOA(3)OAODAD(4)ABADDC例1.平行四边形ABCD中，ADa,ABb,用

4、a、b表示向量AC,DB。例2.已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量分别为abc,试用向量a、b、c表示OD。3 .向量的数乘运算实数与向量5的积是一个向量，记作1,它的长度和方向规定如下:IaiI1值1;当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与石的方向相反；特别的,当=0或a=0时，a=0注意：实数与向量a,可以做积，但不可以做加减法，即+a,-a是无意义的。实数与向量的积的运算律：设a、6为任意向量,；为任意实数，则有:(a)()a;()aaa(a6)ab例1.计算(1) .(3)4a；(2).3(ab)2(ab)a；(3).(2a3bc)(3a2bc)例2.

5、计算(2).2(2a6b3c)3(3a4b2c)(1) .3(ab)2(a2b);结论：向量b与非零向量a共线，当且仅当有唯一一个实数，是的b=a例3.向量a9e2,b2e120是否共线?例4.平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M,且ABa,ADb,你能用b表示、向量运算法则的应用向量的加法、减法、数乘运算统称为响亮的线性运算，对任意实数、1、2,包有a2b)1a2b1 .有关向量共线问题例i.已知向量a、b满足里乌5S1(3a2b),求证：向量a和b共线。25例2.已知AD3AB,DE3BC，试判断AC与AE是否共线?定理的应用：(1) .有关向量共线问题；(2) .证明三点共线：AbB

6、c(Bc0)A、B、C三点共线；(3) .证明两直线平行问题。例3.已知任意两个非零向量占、b,试作5Aab,OBa2b,OCa3b,你能判断A、B、C三点间的位置关系吗？为什么？例4.在四边形ABCD中，ABa2b,BC4ab,CD5a3b,求证：四边形ABCD为梯形。高中数学必修4同步练习（2.1-2.2平面向量的概念及线性运算）姓名班级学号一.选择题（每题5分）12.YABCD的两条对角线相交于点M,且uuuruuuiruuurABa,ADb,则MA,uultuuiuuuuuMB,MC,MD1 .设b是a的相反向量，则下列说法错误的是（）Aa与b的长度必相等B.abCa与b一定不相等D.

7、a是b的相反向量2 .已知一点O到平行四边形ABCD勺三个顶点A、BC(2xy)a4b5a(x2y)b,则xy14.化简：uuuuutuuuuuuuultABuultBCCD;ABADDC_；13.已知向量a和b不共线，实数x,y满足uuiuuutuutlut(ABCD)(ACBD)的向量分别为a、rrrrA.abcB.aC，则向r量OD等于cC.ab-cD.a-b-c15.化简下列各式UUIuutuuuuuuruuurA.ABCDB.ABADBDuuuruuuuuuruuutuuurCADABACD.ADBC0b3.（如图）在平行四边形ABCD中，下列正确的是（）.(1) ABDFCDBCF

8、A;ulituuuruuuruuuruuui(2) (ABMB)(BOBC)OM4.OAOCBOCO等于(),uuuruultr16 .在YABCD中，ABa,ADb,则uutuuurAC,DB.uuuuuuuuu17 .在四边形ABCM有ACABAD,则它的形状7EZEAABB.BAC.ACDCA18 化简OPQPPSSP的结果等于()A、QPB、oQC、sPD、sQAr八r，UUU1UUUIUUlTUUT18.已知四边形ABCD中，ABDC,且ADBC2则四边形ABCD的形状是.6 .（如图）在正六边形ABCDE冲，点O为其中心，则下列判断错误的是()uuuumruurAABOCBAB/u

9、uruuuuuurCADBEDADuuurDEuluFC7 .下列等式中，正确的个数是()rrrrrrrrrrrabbaa-bb-a0aarrrr(a)aa(a)0A.5B.4C3D.2uuuruuurrrr8 .在ABC43,ABa,ACb,如果|a|b|,那么ABC-定是().A.等腰三角形B.等边三角形19 .化简：(ACDPBA)(CPBD),uuuuuruuu20 .在ABC中，设BCa,CAb,贝UAB=三.解答题（每题10分）21.某人从A点出发向西走了10m到达B点，然后改变方向按西偏北60走了15m到达C点，最后又向东走了10米到达D点.（1）作出向量AB,BC,CD（用1c

10、m长线段代表10m长）;UUH（2）求DAC直角三角形D.钝角三角形uuurruurr9.在ABC中，BCa,CArA.ab,则Ab(10.已知uuurACB.（ab）C.arra、b是不共线的向量rb()D.buuu,ABR）,当且仅当ara)rb,时,A、B、C三点共线.A1B1C1D二.填空题（每题5分）11.把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所成的图形是22.如图,在梯形ABCD中，对角线AC和BD交于点O,E、F分别是AC和BD的中点，分别写出(1)图中与EF、CO共线的向量；(2)与EA相等的向量.24.在ABC所在平面上有一点P,使彳#PAPBPCAB,试判

11、断P点的位置.23.在直角坐标系中，画出下列向量：r_r(1) a2,a的方向与x轴正方向的夹角为60,与y轴正方向的夹角为30;rr(2) a4,a的方向与x轴正方向的夹角为30,与y25.如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB边1中点，点N在BD上且BN-BD,求证：M、N、C3三点共线.轴正方向的夹角为120;r(3)ar4J2,a的万向与x轴正万向的夹角为135,与y轴正方向的夹角为135参考答案一.选择题（每题5分）1. C2. B3. C4. B5. B6. D7. C8. A9. B10. D二.填空题（每题5分）11.圆1 rr1rr1rr1rr12.2（ab），2（ab），2（ab）,2（ba）1.1 1uuuruunr14 .AD;CB;015 .（r1）0（r/AC16 .ab,a-b17 .平行四边形18 .等腰梯形19 .020 .ab三.解答题(每题10分)21 .【解答】(1)如图,北24.【解答】uuiruuuuiruuuQPAPBPCABuuruur