线段垂直平分线的性质

1、线段的垂直平分线线段的垂直平分线关店中学 缪培威海市政府为了方便居民的生活，计划在威海市政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才中心，试问，该购物中心应建于何处，才能 使 得 它 到 三 个 小 区 的 距 离 相 等 。能 使 得 它 到 三 个 小 区 的 距 离 相 等 。ABC实际问题实际问题1烟烟 威威 高高 速速 公公 路路实际问题实际问题2 在烟威高速公路在烟威高速公路L的同侧，有两个化的同侧，有两个化工厂工厂A、B，为了便于两厂的工人看病，为了便于两厂的工人看病市政府计划在公路边上修建一

2、所医院，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人都没意见，问医使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选在何处？院的院址应选在何处？AB教学目标：教学目标：1. 理解和掌握线段的垂直平分线的定理及其理解和掌握线段的垂直平分线的定理及其逆定理，并能利用它们来进行证明或计算。逆定理，并能利用它们来进行证明或计算。2. 知道线段垂直平分线是到线段两端距离相知道线段垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合。等的点的集合。3. 了解数学和生活的紧密联系，培养用数学了解数学和生活的紧密联系，培养用数学的能力。的能力。 教学重点、难点：教学重点、难点： 1.线段垂直平分线定理及其逆定理的推导。

3、线段垂直平分线定理及其逆定理的推导。 2.定理及逆定理的区别和联系。定理及逆定理的区别和联系。AB线段的垂直平分线线段的垂直平分线PA=PBP1P1A=P1B命题命题：线段垂直平分线上的线段垂直平分线上的点点到这条线段两个到这条线段两个端点端点的距的距离相等。离相等。PMNC动手操作动手操作：作线段AB的中垂线MN，垂足为C；在MN上任取一点P，连结PA、PB；量一量：量一量：PA、PB的长，你能发现什么？的长，你能发现什么？由此你能得出什么规律由此你能得出什么规律命题：线段垂直平分线上的命题：线段垂直平分线上的点点到这条线段两个到这条线段两个端点端点的距离相等。的距离相等。线段的垂直平分线线

4、段的垂直平分线ABPMNCPA=PB 直线直线MNAB,垂足为垂足为C, 且且AC=CB. 已知：如图，已知：如图，点点P在在MN上上.求证：求证：证明：证明：MNAB PCA= PCB=90度度 在在 PAC和和 PBC中，中， AC=BC PCA= PCB PC=PC PAC PBC PA=PB 线段的垂直平分线线段的垂直平分线ABPC性质定理：性质定理：线段垂直平分线上的到这条线段两个端点线段垂直平分线上的到这条线段两个端点 的距离相等。的距离相等。PA=PB点点P在线段在线段AB的垂直的垂直平分线上平分线上?到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的到线段两个端点距离相等的点，在这条线段

5、的垂直平分线上。垂直平分线上。逆命题逆命题:几何语言叙述几何语言叙述:PA=PB点点P在线段在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上性质定理：性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的 距离相等。距离相等。线段的垂直平分线线段的垂直平分线ABPMNCPA=PB点点P在线段在线段AB的垂直的垂直平分线上平分线上线段垂直平分线上的线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点到这条线段两个端点的距离相等点的距离相等几何语言叙述几何语言叙述: :点点P在线段在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上 PA=PB二、逆定理：二、逆定理：到到线段两个端点距离相等的点，在

6、这条线段两个端点距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上。线段的垂直平分线上。 线段的垂直平分线线段的垂直平分线一、性质定理：一、性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端线段垂直平分线上的点到这条线段两个端 点的距离相等。点的距离相等。PA=PB点点P在线段在线段AB的垂直的垂直平分线上平分线上到线段两个端点距离相等的点，到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上在这条线段的垂直平分线上线段垂直平分线上的点到这线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等条线段两个端点的距离相等三、三、 线段的垂直平分线的集合定义：线段的垂直平分线的集合定义： 线段的垂直平分线可以看作是到线

7、线段的垂直平分线可以看作是到线段两上端点距离相等的所有点的集合段两上端点距离相等的所有点的集合任何图形都是有点组成的。因任何图形都是有点组成的。因此我们可以把图形看成点的集此我们可以把图形看成点的集合。由上述定理和逆定理，线合。由上述定理和逆定理，线段的垂直平分线可以看作符合段的垂直平分线可以看作符合什么条件的点组成的图形？什么条件的点组成的图形？1、如图直线、如图直线MN垂直平垂直平分线段分线段AB，则，则AE=AF。2、如图线段、如图线段MN被直线被直线AB垂直平分，则垂直平分，则ME=NE。3、如图、如图PA=PB，则，则直线直线MN是线段是线段AB的的垂直平分线。垂直平分线。 线段的垂

8、直平分线线段的垂直平分线例例1 已知已知:如图如图,在在ABC中中,边边AB，BC的垂直平分线交于的垂直平分线交于P.求证：点求证：点P在在AC的垂直平分线上的垂直平分线上;BACMNMNPPA=PB=PCPB=PC点点P在线段在线段BC的的垂直平分线上垂直平分线上PA=PB点点P在线段在线段AB的的垂直平分线上垂直平分线上分析：分析：PA=PC 点点P在在AC的垂直平分线上的垂直平分线上例例1 已知已知:如图如图,在在ABC中中,边边AB，BC的垂直平分的垂直平分 线交于线交于P.求证：求证：点点P在在AC的垂直平分线上的垂直平分线上;证明：证明：点点P在线段在线段AB的垂直平分线的垂直平分

9、线MN上，上，PA=PB(？)同理同理 PB=PC.PA=PC. 点点P在在AC的垂直平分线上的垂直平分线上;AB,BC,AC的垂直平分线相交于点的垂直平分线相交于点P.BACMNMNP(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）.(到线段两个端点距离相等的点到线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上在这条线段的垂直平分线上)已知：在已知：在ABCABC中，中，ONON是是ABAB的垂直平分线的垂直平分线 OA=OCOA=OC。求证：点求证：点O O在在BCBC的垂直平分线上。的垂直平分线上。例例题题扩扩展展ABCON证明：证明

10、：连结连结OB。 ON是是AB的垂直平分线的垂直平分线（已知）（已知） OA=OB（线段的垂直平分线上的（线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等点到这条线段的两个端点的距离相等） OA=OC（已知）（已知） OB=OC（等量代换）（等量代换） 点点O在在BC的垂直平分线上。的垂直平分线上。 （到线段的两个端点距离相等的点，（到线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。）在这条线段的垂直平分线上。）威海市政府为了方便居民的生活，计划在威海市政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才

11、中心，试问，该购物中心应建于何处，才能 使 得 它 到 三 个 小 区 的 距 离 相 等 。能 使 得 它 到 三 个 小 区 的 距 离 相 等 。ABC实际问题实际问题1BAC 线段的垂直平分线线段的垂直平分线1、求作一点、求作一点P，使，使它和已它和已ABC的三的三个顶点距离相等个顶点距离相等.实际问题实际问题数学化数学化pPA=PB=PC实际问题实际问题1烟烟 威威 高高 速速 公公 路路实际问题实际问题2 在烟威高速公路在烟威高速公路L的同侧，有两个化的同侧，有两个化工厂工厂A、B，为了便于两厂的工人看病，为了便于两厂的工人看病市政府计划在公路边上修建一所医院，市政府计划在公路边上

12、修建一所医院，使得两个工厂的工人都没意见，问医使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选在何处？院的院址应选在何处？AB 线段的垂直平分线线段的垂直平分线2、如图，在直线、如图，在直线L上求上求作一点作一点P，使，使PA=PB.LAB实际问题实际问题数学化数学化实际问题实际问题2pPA=PB数学问题源于生活实践，反过来数学又为生活实践服务数学问题源于生活实践，反过来数学又为生活实践服务已知已知:如图如图,在等腰三角形在等腰三角形ABC中中,腰腰AB 的垂直平的垂直平 线线MN交交AC于点于点 D,BC=8厘米厘米, BDCBDC的周长的周长2020厘米厘米. .求求:AB:AB的长的长. .

13、ABCDMN已知已知:如图如图,D是是BC延长线上的一点延长线上的一点,BD=BC+AC.求证求证:点点C在在AD的垂直平分线上的垂直平分线上.ABCD8二、逆定理：二、逆定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条到线段两个端点距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上。线段的垂直平分线上。 线段的垂直平分线线段的垂直平分线一、性质定理：一、性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端线段垂直平分线上的点到这条线段两个端 点的距离相等。点的距离相等。PA=PB点点P在线段在线段AB的垂直的垂直平分线上平分线上到线段两个端点距离相等的点，到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上在这条线段的垂直平分线上线段垂直平分线上的点到这线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点