第八章矩阵特征值和特征向量计算

1、第八章. 矩阵特征值和特征向量计算xAx 0 , x A n使及若有设xCRRnn的根。它是特征多项式 0A)-Idet( 但高次多项式求根精度低 , 一般不作为求解方法. 目前的方法是针对矩阵的特点可以给出不同的有效方法.X X 是是A A的特征向量，的特征向量， 是是A A的关于的关于X X的特征值。的特征值。矩阵特征值与特征向量知识矩阵特征值与特征向量知识(复习复习)特征向量是齐次方程组的根特征向量是齐次方程组的根: 。 0A)X-I(唯一特征值，不唯一特征向量。唯一特征值，不唯一特征向量。属于不同特征值的特征向量是线性无关的。属于不同特征值的特征向量是线性无关的。相似的矩阵有相同的特征

2、多项式，反之不然。相似的矩阵有相同的特征多项式，反之不然。A A有有n n个线性无关的特征向量当且仅当相似于对角阵。个线性无关的特征向量当且仅当相似于对角阵。种群年龄结构的估算种群年龄结构的估算问题问题. . 已知一种昆虫每已知一种昆虫每2 2周产卵一次周产卵一次,6,6周以后死亡周以后死亡, ,孵化以后的幼虫孵化以后的幼虫2 2周后成熟周后成熟, ,平均产卵平均产卵100100个个,4,4周龄的成虫平均产卵周龄的成虫平均产卵150150个个, ,假设每假设每个卵发育为个卵发育为2 2周龄成虫的概率为周龄成虫的概率为0.09(0.09(称为成活率称为成活率),2),2周龄的成虫周龄的成虫发育成

3、发育成4 4周龄成虫的概率为周龄成虫的概率为0.2.0.2. (1)(1)假设开始时假设开始时,0-2, 2-4,4-6,0-2, 2-4,4-6周龄的昆虫数目相同周龄的昆虫数目相同, ,计算计算2 2周、周、4 4周、周、6 6周后各种周龄的昆虫数目；周后各种周龄的昆虫数目； (2)(2)讨论这种昆虫各种昆虫数目的演变趋势讨论这种昆虫各种昆虫数目的演变趋势: :各周龄的昆虫的各周龄的昆虫的比例是否有一个稳定值比例是否有一个稳定值? ?昆虫数目是无限地增长还是趋于灭亡昆虫数目是无限地增长还是趋于灭亡? ? 这个问题可归结为种群的年龄结构及其增长趋势的问题这个问题可归结为种群的年龄结构及其增长趋

4、势的问题. .英国英国 的生物学家的生物学家P.H.Leslie P.H.Leslie 在在19451945年提出了种群年龄结构的离散数学年提出了种群年龄结构的离散数学模型模型, ,利用矩阵的特征值与向量得出数学模型的解利用矩阵的特征值与向量得出数学模型的解. . 假定昆虫的雌、雄数目比为一常数，为简单计，只考虑雌性个体.将所有的雌性个体分成3个年龄组: 64 , 42 , 20210),:),:),:CCC年龄的单位为周年龄的单位为周, ,每个年龄组的时间段为每个年龄组的时间段为2 2周。取周为一个时间单周。取周为一个时间单位位. .建立模型的依据为建立模型的依据为: : 组雌性后代的成活数

5、所育组雌性期间到在组雌性后代的成活数所育组雌性期间到在时刻组雌性个体数的在时刻CCCCCttttt02010111组的成活率组雌性个体数的在时刻雌性个体数的在时刻CCCCCCtt1010211 ) (t) .px(t) (t (t)(t), (t), (x(t)(t) .) (t ) ( (t) .)(t t).(t).()(t ), ,i(i),t(ttxxxxxxxxxxxxxTi2020000090513901 ,(1) , 201109010901500901001 , 210 21 2101201210即为写成矩阵的形式将记则有组的雌性个体数第为时刻令I. 各周龄昆虫数xAx 0 ,

6、 x A n使及若有设xCRRnn 0.40500.315918.46800 0X 3X , 0180. 00250. 25100. 3 0X 2X , 0.20000.090022.50000PX1X :,PP32别为得到各周龄的昆虫数分只要用矩阵乘法就可以这样II.种群年龄结构演变趋势分析 0.1368-0.24320.9603- , 0.0399-0.13340.9903- , 0.01710.08760.9960 -0.3554 , -0.6680 1.0234, 02430-0.81 - 2102103aaaP,.Ptt值向量为一组对应的特征必定线性无关它们对应的特征值向量，特征值为

7、征方程为的特不难算出，的关系，利用数值方法表达式与的找到数目的演变趋势，需要要获知各周龄雌性昆虫 def Q 2101210210PQQPQ-）则为列构造矩阵，（即以，可以对角化，若令由线性代数可知，矩阵 4 12101）（故 Q QQP-ttt-tt ）5（ 0X 0Q1 -t2t1t0 QX Pt kkkkkkkkkQ X-210t2t1t0210210t2t1t0t2101 , Q 0X tX ,4941.126992.225260.110 P则记2t21t10t0210kkk(6) 2100t0022011tkkkt 7) ( tX t t 1 0.3473 , 0.6527 t ,

8、, , , 600t00000201210210kkkkk.tXt充分大时，从而，当时，当所以，都小于无关，且与，及由于的情况。性昆虫数目随时间演变）式反映了各周龄组雌 .,tX,t1,;,tX 11 000000昆虫趋于灭亡递减时则当若周龄组的昆虫数都增加各递增时则当若即昆虫总数趋于稳定时，则当若几何级数增加按比率每个时间单位近似地以即每个周龄组的昆虫数t,;,)t (X,t.k 6868121971000971480011 ., 102341 210210002100比例趋于稳定。各周龄组的昆虫总数的时间的延续，的昆虫数是多少，随着不管各初始时刻各周龄还是减少，不管昆虫总数是增加它说明那么

9、，容易得出。记延续而增加时间的各周龄组的昆虫数随着所以本问题中 t , tt . , S. t tt t.Ssxsssssskxxxii1. 幂法.值与特征方向。从而逼近按模最大特征，计算一向量序列：出发，我们从任意的向量是最敏感的特征方向。向是矩阵主要的，也就对应的特征方而按模最大的特征值所征方向，矩阵特有的特矩阵的特征向量反映了基本思想：）（）（）（）（）（）（）（）（xxxxxxxxkkAAA1120100 求按模最大的特征值与特征向量, 方法简单收敛慢.矩阵A 的特征向量集，是 n 个线性无关的向量)( , , , n2121已经归一化列成：的特征值按模大小可排且VVVnAVVVxxR

10、nnn2211(0)(0) ：则任一初始向量一组基，作为VVVxAxnknnkkkk222111)0()(可构造序列讨论(1)()()(11222111)(VVVxnknkkkn(1）若按模最大特征值 1 是特征多项式单实根.是无穷小量。充分大时则且若 )( k )2( 1 0 111(k)1i1kkkVxi.)(xxVx)k(i)k(ikk1211111111)(k n , 1,i 收敛速度依赖于比值由 算法 2, 1, 0,k )()1()()()()( yxxxyykkkkkAk则迭代计算：若记归一化向量为xVkinik)(111(k)maxy 充分大时当)A,AA(VVVxxyxVyx

11、)k()k()k()k()k()k(111111 而同样使用。使差时多数情况由于舍入误注当 0 0 11(2)按模最大特征值1是特征多项式的 重实根则：且 , , 111n讨论(2) n), , 1,(i )( )()1(111i11)1(1i1111ii1)(xxVxVVVxkikiikikkikikiniiiikk且始值而不同！定，所以特征向量随初由初始值但由于）（ 0ixn , 4, 3,j , 121j且若：xxxxVVxkjkjkikikkkk)()2(1)()2(2122111)( 10)-(8 )( ) 1(或则的近似特征向量与分别是且 2) 1( 2 2122111)(1)1(

12、1111)(1)1(VxxVxxkkkkkkk讨论(3) )3(12121VVeeii且，对共扼复数：若按模最大特征值是一 nn331111(0)VVVVx任意初始向量：VVVVxknkknn3331k11111(k) VVeVeVnkkikikn331111k3 ）（充分大118 )(k , ) 1111k(k)eVeVxikik(n,1,2,j , 11)(e)V(j xijjk个分量：的第12)-(8 )cos(2 ) ( )(keeeexjkikijikijkkj则?kx)k(j , 11的比值，不是相邻向量相应分量变化不规则增大时，n21j )2cos(2 )1cos(2 )cos(

13、2 k 2)2(1)1()(，）（）（充分大时：当kxkxkxjkkjjkkjjkkj则 ,q ,cos2p-22121eeii)cos(2 ) 1(cos(2cos2 )2(cos(2)( 212)(21)1(21)2(kkkxxxjkjkjkkjkjkj14)(8 2 , 2 0 22 2221221ppxqipqipqpx的两个根而求出：是，则 当 K 充分大时将上式看作等式, 任取两个 K 值的两个方程求出 P , q ,0)cos(cos) 1(cos(2 )2(cos(2 2kkkjk求特征向量 ; 11k111111)(k1k11111(k)1VVxVVxkkVVVVVxx)(k

14、kkk)k(1121k11111111111111121)(k 11!, , , 21 值可能是一对复数否则当考虑这两个特征续如果迭代平稳收敛则继在实际计算中注意的两个近似特征向量。与从而得到VVVVVxxkkkk2212k2111111111k111111)(11)(k)( 1i000I-A , A A iIA-,迭代。代用取2. 幂法的加速与降阶原点位移法: 收敛速度决定于12大小.不变。且特征向量）（：则 - 0i000ViiiixxAxx)I（Ax. )()(12010200102201021101)0(0)(即可使适当选择VVVxIAxnnnkkkkk！通过试算找的分布有一定了解，对

15、 0i)(.AVVVVAAVATT)()()(1111112111 令与的特征值已求出对称矩阵对称矩阵降阶：怎样求次大特征值？。当，即），（注意到：0 2 11111i111111111VVVVVVVVVVVVVViTiiTiTiTiTTTniAA A0)( 11111111111112VVVVVVVVAVATT)()(故有),2( , )(- 11111112niVVAVVVVVVAVAiii)(TiTi)(i)( 22但精度渐差。的按模最大特征值，是A)()0(A 1！若特征值非的最小特征值的最大特征值A3. 反幂法xxx, kxAx(k)(k)(k(k)(k1111A : , 10 解方

16、程组求：则幂法 2, 1, 0,k )()1( )()( )(yxxxykkkkAk归一化（防止溢出）也可以用加速算法.l客观世界模型化顺序：客观世界模型化顺序： 数学数学 物理物理 化学化学 生物生物 社会科学。社会科学。前面学科可以模型后面的学科前面学科可以模型后面的学科, ,反之不行反之不行!?!?应用数学的基本方法是建立模型应用数学的基本方法是建立模型, ,而且这种模而且这种模型是最基础的型是最基础的, ,因此也是最普遍因此也是最普遍( (通用通用) )的的. .数学是基础的意义：数学是基础的意义：l毕达哥拉斯与柏拉图：毕达哥拉斯与柏拉图： 数学规律是宇宙间最基本、最普遍的规律。数学规

17、律是宇宙间最基本、最普遍的规律。 Bourbaki 的讣文（1968年冬） Cantor（康托尔）、Hilbert（希尔伯特）、Noether（诺特）诸家族，Cartan、Weil、Dieudonn、 Chevalley，诸家族 Bruhat（布里阿）、Dixmier（荻思米埃）、Godement（古德曼）、Samuel（萨姆埃尔）、Schwartz （施瓦尔兹）诸家族 ， Demazure （德马祖尔）、Douady（杜阿第）、Giraud（吉劳）、Verdier（费荻耶）诸家族， 还有其他家族以及Able 和Idle小姐， 悲哀地奉告Nicolas Bourbaki老爷于11月11日在Nancago自己的庄圆中逝世。 兹订