第二章 物质波与薛定谔方程

1、l1 1 德布罗意物质波德布罗意物质波 l2 2 微观粒子波粒二象性矛盾分析微观粒子波粒二象性矛盾分析 l3 3 波函数的统计解释波函数的统计解释 l4 4 态叠加原理态叠加原理 l5 5 力学量的平均值和算符的引进力学量的平均值和算符的引进 l6 Schrodinger 6 Schrodinger 方程方程 l7 7 粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律 l8 8 定态定态SchrodingerSchrodinger方程方程 对应对应相反过分重视粒子相反过分重视粒子性而忽视波动性性而忽视波动性假设：自由粒子能量假设：自由粒子能量E E及动量的粒子相联系的波的频及动量的粒子相联

2、系的波的频率及波长分别为率及波长分别为kphEEtrpiexpAt , rmvhph自由粒子自由粒子E,P一定，由上式知频率一定，由上式知频率v,波矢波矢k一定一定光学波光学波自由粒子波自由粒子波平面波平面波对应对应V,k确定确定wtrkcosAvtcosAt ,rn . r 21 1、戴维逊、戴维逊- -革末实验革末实验 戴维逊和革末的实验是用电子束垂直投射到镍单晶，电子戴维逊和革末的实验是用电子束垂直投射到镍单晶，电子束被散射。其强度分布可用德布罗意关系和衍射理论给以解释，束被散射。其强度分布可用德布罗意关系和衍射理论给以解释，从而验证了物质波的存在。从而验证了物质波的存在。1937193

3、7年他们与年他们与G. P.G. P.汤姆孙一起获汤姆孙一起获得得NobelNobel物理学奖。物理学奖。电子衍射实验电子衍射实验n实验装置：实验装置：法拉第园法拉第园 筒筒入射电子注入射电子注镍单晶镍单晶n实验现象：实验现象：实验发现，单实验发现，单调地增加加速电压，电子探测调地增加加速电压，电子探测器的电流并不是单调地增加的，器的电流并不是单调地增加的，而是出现明显的选择性。例如，而是出现明显的选择性。例如，只有在加速电压只有在加速电压U=54V,U=54V,且且=50=500 0时，探测器中的电流才时，探测器中的电流才有极大值。有极大值。n实验解释：实验解释： d ksind kd si

4、nnmmeUhph7 .162 当加速电压当加速电压U=54V，加速电子的能量，加速电子的能量eU=mv2/2，电子的德布罗意波长为，电子的德布罗意波长为meUkhd2sin X射线实验测得镍单晶的晶格射线实验测得镍单晶的晶格常数常数d=0.215nm777.0arcsino51777.0arcsin 理论值理论值(=51(=510 0) )与实验结果与实验结果(=50(=500 0) )相差很小，表明电相差很小，表明电子电子确实具有波动性，德子电子确实具有波动性，德布罗意关于实物具有波动性布罗意关于实物具有波动性的假设是正确的。的假设是正确的。2 2、汤姆逊实验、汤姆逊实验 19271927

5、年，汤姆逊在实验中，让电子年，汤姆逊在实验中，让电子束通过薄金属膜后射到照相底片上，束通过薄金属膜后射到照相底片上，结果发现，与结果发现，与X X射线通过金箔时一样，射线通过金箔时一样，也产生了清晰的电子衍射图样。也产生了清晰的电子衍射图样。 19931993年，年，CrommieCrommie等人用扫描隧道显等人用扫描隧道显微镜技术，把蒸发到铜（微镜技术，把蒸发到铜（111111）表面上）表面上的铁原子排列成半径为的铁原子排列成半径为7.13nm7.13nm的圆环形的圆环形量子围栏，用实验观测到了在围栏内形量子围栏，用实验观测到了在围栏内形成的同心圆状的驻波成的同心圆状的驻波(“(“量子围栏

6、量子围栏”) )，直观地证实了电子的波动性。直观地证实了电子的波动性。3 3、电子通过狭缝的衍射实验、电子通过狭缝的衍射实验 19611961年，约恩孙年，约恩孙 (Jonsson) (Jonsson)制成长为制成长为50mm50mm，宽为，宽为0.3mm 0.3mm ，缝，缝间距为间距为1.0mm1.0mm的多缝。用的多缝。用50V50V的加速电压加速电子，使电子束分别的加速电压加速电子，使电子束分别通过单缝、双缝等，均得到衍射图样。通过单缝、双缝等，均得到衍射图样。X射线经晶体的衍射图射线经晶体的衍射图电子射线经晶体的衍射图电子射线经晶体的衍射图观点一观点一: : 电子波应理解为电子的某种

7、实际结构电子波应理解为电子的某种实际结构, ,即电子即电子是无限多波长不同的平面波叠加而成的波包是无限多波长不同的平面波叠加而成的波包, ,波包的大波包的大小即电子的大小小即电子的大小, ,波包的群速度即电子的运动速度波包的群速度即电子的运动速度. . tkxiexpAt , x等相面等相面: : ku,kudtd0ctkx1.单个平面波情况：单个平面波情况： mpE22222k,mkvcmvmcpEkku22cu平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由

8、粒子将充满整个空间，这是没有组成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义的，意义的，与实验事实相矛盾。与实验事实相矛盾。 实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内，其广延不会超过原子大小例如在一个原子内，其广延不会超过原子大小1 1 。 kkkkdktkkxiexpkt , x00 , 0k0tdkdx即即 tdkdxxc2. 有限波包：有限波包：物质波包的群速度为物质波包的群速度为 vumkmpdpdEdkdvg2波包形状随时间的改变：波包形状随时间的改变：设设 (k)(k)是一个很窄的波包是一个很窄的波包, ,波波数集中在数集中

9、在k k0 0附近一个不大范围中附近一个不大范围中. .在在k k0 0附近对附近对 (k) (k) 作泰作泰勒级数展开勒级数展开 2022000021kkdkdkkdkdkkkk txkiexpt , xCdktkkvkxiexpktiexpt , xg0000 tvxtvxkktxCggsin2,0由于正弦的幅角含有小量由于正弦的幅角含有小量,C(x,t),C(x,t)只是随时间只是随时间t t和坐标和坐标x x缓慢地变化缓慢地变化. .所以所以, ,我们能把我们能把C(x,t) C(x,t) 当作近似单色波的当作近似单色波的振幅振幅, ,而把而把k k0 0 x-x- (k(k0 0)t

10、)t作为单色波的相作为单色波的相. .把振幅的分子和把振幅的分子和分母都乘以分母都乘以 k k, ,并简记为并简记为z=z= k x-vg gt , ,容易看到容易看到, ,振幅的振幅的变化取决于因子变化取决于因子, ,它有性质它有性质,zzzzsin3001 -20-15-10-505101520-0.4-0.20.00.20.40.60.81.0图图2.2.12.2.1波包波包: : 一些快速振一些快速振动波的叠加动波的叠加迄今迄今, ,我们忽略了我们忽略了 (k) (k) 级数展开中高于一级数展开中高于一阶的项阶的项, ,这仅当介质无色散的时候才是允这仅当介质无色散的时候才是允许的许的.

11、 .因为物质波在真空中也出现色散因为物质波在真空中也出现色散 0022kdkd这暗示波包不保持其形式这暗示波包不保持其形式, , 而是逐而是逐渐地扩展渐地扩展. .随时间的演化随时间的演化, ,电子将愈电子将愈变愈变愈“胖胖”, ,这与实验是矛盾的这与实验是矛盾的. . 观点二观点二: : 电子源电子源感感光光屏屏PPOQQO观点三观点三: : 电子所显现的粒子性总是以具有一定的质量、电电子所显现的粒子性总是以具有一定的质量、电荷等属性的客体出现荷等属性的客体出现, ,但并不与但并不与“粒子有确切的轨道粒子有确切的轨道”的概念有什么必然联系的概念有什么必然联系. .电子显现出的波动性电子显现出

12、的波动性, ,也只不也只不过是波动性中最本质的东西过是波动性中最本质的东西波的波的“相干叠加性相干叠加性”, ,并不一定要与某种实际的物理量在空间的分布联系在并不一定要与某种实际的物理量在空间的分布联系在一起一起. .把微观粒子的把微观粒子的“粒子性粒子性”与波的与波的“相干叠加性相干叠加性”统一起来是玻恩提出来的几率波统一起来是玻恩提出来的几率波. .（一）波函数（一）波函数 （二）波函数的解释（二）波函数的解释 （三）波函数的性质（三）波函数的性质 )(expEtrpiA 3 3个问题？个问题？ 描写自由粒子的描写自由粒子的平平 面面 波波),(tr 如果粒子处于如果粒子处于随时间和位置变

13、化的力场随时间和位置变化的力场中运动，他的动量和能中运动，他的动量和能量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用平面波量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：描写粒子状态的描写粒子状态的波函数，它通常波函数，它通常是一个是一个复函数复函数。称为称为 dedeBroglie Broglie 波。此式称为自由粒子的波函数。波。此式称为自由粒子的波函数。(1) (1) 是怎样描述粒子的状态呢？是怎样描述粒子的状态呢？(2) (2) 如何体现波粒二象性的？如何体现波粒二象性的？(3) (3) 描写的是什

14、么样的波呢？描写的是什么样的波呢？（一）波函数（一）波函数经典概念中经典概念中 1.1.有一定质量、电荷等有一定质量、电荷等“颗粒性颗粒性”的属性的属性; ; 粒子意味着粒子意味着 2 2有确定的运动轨道，每一时刻有一定有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。位置和速度。经典概念中经典概念中 1.1.实在的物理量的空间分布作周期性的变化实在的物理量的空间分布作周期性的变化; ; 波意味着波意味着 2 2干涉、衍射现象，即相干叠加性。干涉、衍射现象，即相干叠加性。1.1.入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示衍射图样示衍射图样

15、; ;电子源电子源感感光光屏屏QQOPP2.2. 入射电子流强度大，很快显示衍射图样入射电子流强度大，很快显示衍射图样. .l结论：结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是：衍射实验所揭示的电子的波动性是： 许多电子在同一个实验中的统计结果，或许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。 l波函数波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基础上，基础上，Born Born 提出了波函数意义的统计解释。提出了波函数意义的统计解释。 r r 点附近衍射花样的强度点附近衍射花样的强度

16、正比于该点附近感光点的数目，正比于该点附近感光点的数目， 正比于该点附近出现的电子数目，正比于该点附近出现的电子数目， 正比于电子出现在正比于电子出现在 r r 点附近的几点附近的几率。率。在电子衍射实验中，在电子衍射实验中，照相底片上照相底片上 假设衍射波波幅用假设衍射波波幅用 (r) (r) 描述，与光学相似，衍射花描述，与光学相似，衍射花纹的强度则用纹的强度则用 | (r)| (r)|2 2 描述，但意义与经典波不同描述，但意义与经典波不同。| (r)| (r)|2 2 的意义是代表电子出现在的意义是代表电子出现在 r r 点附近几率点附近几率的大小，确切的说，的大小，确切的说，| (r

17、)| (r)|2 2 x y z x y z 表示在表示在 r r 点点处，体积元处，体积元x yzx yz中找到粒子的几率。波函数在空间中找到粒子的几率。波函数在空间某点的强度（振幅绝对值平方）和在这点找到粒子的几率某点的强度（振幅绝对值平方）和在这点找到粒子的几率成比例成比例在在t t时刻，时刻，d=dxdydzd=dxdydz体积内，找到由波函数体积内，找到由波函数(r,t)(r,t)描写的粒子的几率是：描写的粒子的几率是： ，C C是比例系数。是比例系数。根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质：根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质：（1 1）几率和几率密度）几率和几率密度在体

18、积在体积 V 内，内，t 时刻找到粒子的几率为：时刻找到粒子的几率为： W(t) = V dW = V( r, t ) d= CV | (r,t)|2 d（2 2）平方可积）平方可积由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况），所以在全空间找到粒子的几率应湮灭情况），所以在全空间找到粒子的几率应为一，即：为一，即： C | (r , t)|2 d= 1, 从而得常数从而得常数 C 之值之值为：为：C = 1/ | (r , t)|2 d这即是要求描写粒子量子这即是要求描写粒子量子状态的波函数状态的波函数 必须是绝必须是绝对值平方可积的函数。对值平方

19、可积的函数。若若 | (r,t)|2d , 则则 C 0, 这这是没有意义的。是没有意义的。 )(exp),(EtrpiAtr注意：自由粒子波函数注意：自由粒子波函数 不满足这一要求。关于自由粒子波函数如何归一化问不满足这一要求。关于自由粒子波函数如何归一化问题，以后再予以讨论。题，以后再予以讨论。 （3 3）归一化波函数）归一化波函数(r,t )(r,t )和和C(r,t)C(r,t)所描写状态的相对几率是所描写状态的相对几率是相同的，这里的相同的，这里的C C是常数。因为在是常数。因为在 t t 时刻，空时刻，空间任意两点间任意两点 r r1 1 和和 r r2 2 处找到粒子的相对几率之

20、处找到粒子的相对几率之比是：比是：由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的间各点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大小，因而，将波相对比例，而不取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即 (r, t) (r, t) 和和 C (r, t) C (r, t) 描述同一状态描述同一状态221221),(),(),(),(trtrtrCtrC 可见，可见， (r , t ) 和和 C (r

21、, t ) 描述的是同一几率描述的是同一几率波，所以波函数有一常数因子不定性。波，所以波函数有一常数因子不定性。u 若若 (r , t ) 没有归一化，没有归一化，| (r , t )|2 d= A （A 是大是大于零的常数），则有于零的常数），则有 |(A)-1/2 (r , t )|2 d= 1注意：对归一化波函数仍有一个注意：对归一化波函数仍有一个模为一的因子不定模为一的因子不定性。性。若若 (r , t )是归一化波函数，那末，是归一化波函数，那末，expi (r , t ) 也是归一化波函数（其中也是归一化波函数（其中是实数），与前者描是实数），与前者描述同一几率波。述同一几率波。(

22、A)-1/2 (r , t )是归一化的波函数，与是归一化的波函数，与 (r , t )描写描写同一几率波，同一几率波， (A)-1/2 称为归一化因子称为归一化因子。1.1.箱归一化箱归一化设想：粒子被限定在一个边长为设想：粒子被限定在一个边长为L的正方形箱中的正方形箱中要求：波函数在两个相对的箱壁上对应点具有相同要求：波函数在两个相对的箱壁上对应点具有相同的值，的值，波函数满足这样的边界条件称为周期性边界波函数满足这样的边界条件称为周期性边界条件条件。）（下的波函数为下的波函数为即自由粒子在箱归一化即自由粒子在箱归一化）（）（：21111123232323)Etr .p(VV)Etr .p

23、()Etr .p()Etr .p(iiiieAVAdxAdxeeAdxz , y,xdxz , y,xAez , y,x 体积积无穷所以自由粒子的波函数）（则则能能量量）（；同同理理得得：则则：）（其其中中）（）（如如果果将将5432222222112)nnn()(Eppppn21eeeLz , y,xz ,Ly,xz , y,Lxz , y,xererez , y,xzxyxmLmpLn2zLn2yLn2xLn2xxL.pL.pz .py .p)Lx.(pz .py .px .pr .pVpEtp)Etr .p(Vzyxxxxizyxizyxiiii 此方程的解得条件是边界条件要求nx, n

24、y, nz 取整数！取整数！注意：当注意：当L取无穷大时，（取无穷大时，（n+1）与）与n级之间的动量级之间的动量差或能量差趋于零，构成连续能级。差或能量差趋于零，构成连续能级。2. 2. 函数归一化函数归一化 1 1、定义：、定义： 0000)(xxxxxx )0(1)()(0000 dxxxdxxxxx或等价的表示为：对在或等价的表示为：对在x=xx=x0 0 邻域连续邻域连续的任何函数的任何函数 f f（x x）有：）有：)()()(00 xfdxxxxf 3 3、 函数函数 亦可写成亦可写成 Fourier Fourier 积分形积分形式：式：)(0021)(xxikedkxx 令令

25、k=pk=px x/ / , dk= dp, dk= dpx x/ / , , 则则xxxpidpexxx)(0021)( 2 2、性质：、性质：)()()()(000 xxxfxxxf )(|1)(xaax )()(xx 0 x0 x)(0 xx dxe)pp(xpxpx)pp(ixxxxxx 210，则则，作作代代换换：EtipEtrpiperAetr )(),(写成分量形式写成分量形式321)()()()(zpiypixpippprpipzyxzyxeAeAeAzyxAer t=0 t=0 时的平面波时的平面波)(),(),(22*22xxtppippppedxtxtxxxxx 考虑一维

26、积分考虑一维积分dxxxexxxxpptEEi)()(* dxxxexxxxpptppi)()(*2222 dxxxxxpp)()(* )(221xxppA 若取若取 A A1 12 2 2 2 = 1 = 1，则，则 A A1 1= 2= 2 -1/2-1/2, , 于是于是xpipxxex 21)( )(xxpp 平面波可归一化为平面波可归一化为函数函数)(xxpp dxtxtxxxpp),(),(* )(xxpp dxeAxppixx21 dxeppxppixxxx)(21)( )()()()(000 xxxfxxxf EtipEtrpiperetr )(21),(2/3 drredtr

27、trpptEEipp)()(),(),(* )()()()()()(*ppppppppdrrzzyyxxpp 2/332121 AAAA)()(ppppetEEi 其中其中2/321)(rpiper 作作 业业 补补 充充 题题.)24(,3,)1 (/26/ )2(5/24/33/22/211xixixixixixieieeeee 描描写写同同一一状状态态？些些与与请请问问下下列列波波函函数数中中，哪哪1、波函数描写微观粒子的量子状态，表示粒、波函数描写微观粒子的量子状态，表示粒子出现的概率大小。而当一粒子处于一个已知子出现的概率大小。而当一粒子处于一个已知的量子状态时，粒子的力学量如坐标、

28、动量、的量子状态时，粒子的力学量如坐标、动量、角动量等将如何描述？它们的值怎么确定？角动量等将如何描述？它们的值怎么确定？一、引言一、引言2、微观粒子的波粒二象性决定了它们的描述、微观粒子的波粒二象性决定了它们的描述方式与经典力学中描述不一样（方式与经典力学中描述不一样（波函数的统计波函数的统计解释解释）。实际波粒二象性还通过另一个基本原）。实际波粒二象性还通过另一个基本原理理态叠加原理态叠加原理体现体现二、态叠加原理二、态叠加原理图2.4.1电子双缝衍射示意图2122221212122212212第三、四项为干涉项第三、四项为干涉项, ,衍射花样衍射花样的产生证实了干涉项的存在的产生证实了干

29、涉项的存在. . 21经典物理：经典物理： 描写光波、声波的描写光波、声波的状态函数都遵从叠状态函数都遵从叠加原理！加原理！ 量子物理：量子物理： 状态函数状态函数 是否是否也都遵从叠加原也都遵从叠加原理？理？ 21 ba ？22212 当粒子处于当粒子处于 和态和态 的线性叠加态的线性叠加态时，粒子是既处于态时，粒子是既处于态 又处于态又处于态 。 2 1 1 2 2 1 3 3、态迭加原理是与测量密切联系在一起的一、态迭加原理是与测量密切联系在一起的一个基本原理个基本原理. .1 1、几率幅（态函数）遵守叠加的规则、几率幅（态函数）遵守叠加的规则, ,而几而几率不遵从叠加的规则率不遵从叠加

30、的规则. .2 2、这里所谓干涉是一个电子的两个态之间、这里所谓干涉是一个电子的两个态之间的干涉的干涉, ,而不是两个电子之间的干涉而不是两个电子之间的干涉. . 1121niiniiic,c推广到更一般情况下：推广到更一般情况下：其中：系数可以为复数！其中：系数可以为复数！ )t , r()p()t , r(pp 2、按照态叠加原理，粒子处在、按照态叠加原理，粒子处在r处的状态应处的状态应该是各种动量该是各种动量p运动的状态的线性叠加：运动的状态的线性叠加：由于出射粒子出射动量连续变化则由于出射粒子出射动量连续变化则)Etrp(iexp)t , r(p2321）（ pdeptrrpi323)

31、()2(1),(1、电子在晶体表面反射后，可能以各种不同、电子在晶体表面反射后，可能以各种不同的动量运动（对应不同的出射角度）。以动的动量运动（对应不同的出射角度）。以动量量p运动的状态运动的状态pde )t ,p()()t ,r(rpi32321 xde )t ,r()()t ,p(rpi32321 说明：任何波函数说明：任何波函数 都可以看作是各种不同都可以看作是各种不同动量平面波的迭加动量平面波的迭加 )t ,r( )t ,r( )t ,p( pdnhdnnsinpn n 而沿而沿 出射波的波幅出射波的波幅 应该正比入射波中动量相应该正比入射波中动量相应分波的波幅应分波的波幅1)(32p

32、dp 当可能值为离散值时当可能值为离散值时: 一个物理量的平均值等于一个物理量的平均值等于物理量出现的各种可能值乘上相应的物理量出现的各种可能值乘上相应的几率求和；几率求和； 当可能值为连续取值时：当可能值为连续取值时：一个物理量出现的各种可一个物理量出现的各种可能值乘上相应的能值乘上相应的几率密度求积分。几率密度求积分。 1 1、坐标平均值：、坐标平均值：粒子处于状态粒子处于状态 (r,t)(r,t), ,不考虑时间不考虑时间t,t,则其位置坐标则其位置坐标r r处的几率密度为处的几率密度为| | (r)|(r)|2 2 . .这样这样, ,位位置坐标的平均值为置坐标的平均值为 dxxxxd

33、xxxxdx*x 密密度度坐坐标标变变量量所所对对应应的的几几率率坐坐标标变变量量 xdrrrxdrrrr33 2、动量平均值：、动量平均值： peirpxddpperpxdprpirpi233323332121d rprxdrirxdp33 rpierxdp3232 rpiepxdr 32123)()()(332ppppdpdppp引进坐标和动量算符引进坐标和动量算符 有经典对应的力学量有经典对应的力学量A A是是r r和和p p的函数的函数, ,只需把只需把A(r,p)A(r,p)的表达式中作替换的表达式中作替换: : pp, rr3、力学量算符、力学量算符 izkyjxi iprra.坐

34、标算符坐标算符b.动量算符动量算符c.动能算动能算符符mpT22 mpT22 则则动能平均值动能平均值所以所以动能算符动能算符在经典力学中，在经典力学中，rd)r(T)r(TT )xyyx(ip yp xL)zxxz(ip xp zL)yzzy(ip zp yLxyzzxyyzx 三三个个分分量量：d.角动量算符角动量算符),(3AxdAA 一般而言一般而言, ,任何一个力学量任何一个力学量A A的平均值可表示为的平均值可表示为四四章章中中讨讨论论。将将在在第第算算符符之之间间更更深深刻刻的的关关系系学学量量与与相相应应算算符符的的写写法法以以及及力力量量，对对于于有有经经典典对对应应的的力力

35、学学的的粒粒子子在在势势场场中中)r(Vm)r(VTHVTH)r(V 222 经典力学量子力学状态r, p(r,t)运动方程牛顿方程dp/dt=F(r,p)?) t , r (H) t , r ()r (Vm) t , r (ti222mpE22 Etrpitrkipeetr2/ 32/ 32121,222p,pi,Eti0)2()2(222mpEmti ipptiE推广到势场V(r)中运动的粒子 rVmpE22薛定谔方程是是量子力学的一个基本假定,并不能从什么更根本的假定来证明它,其正确性,归根到底只能靠实践来检验. ),(),()(2),(22trHtrrVmtrtiipptiE三、薛定谔

36、方程的写法三、薛定谔方程的写法1、写出体系对应在经典力学中的哈密顿量、写出体系对应在经典力学中的哈密顿量H(r,p,t)2、将经典哈密顿量中的力学量换为量子力、将经典哈密顿量中的力学量换为量子力学中的算符表示学中的算符表示3、将哈密顿算符作用在态函数上、将哈密顿算符作用在态函数上=能量能量E乘以态函数乘以态函数薛定谔方程只含对时间的一阶导数, 为何可以描述波动过程呢? 经典力学中, 波动方程 022uautt有周期性的解. 热传导方程 022uaut描述不可逆过程, 没有周期性的解.以余弦函数为例 trkcosAutrkcosAktrkcosAkutrkcosAtrksinAtuut22223

37、周期函数不可能满足热传导方程 薛定谔方程虽然只含对时间的一阶导数薛定谔方程虽然只含对时间的一阶导数, ,但在但在 t t他他前面出现前面出现 i=exp(i /2), , 正好使正好使两者相位一致两者相位一致, ,因而有周期性的解因而有周期性的解, ,而且薛而且薛定谔方程中定谔方程中i i因子的出现因子的出现, ,使得波函数一般使得波函数一般是复函数是复函数. .四、关于薛定谔方程的两点讨论四、关于薛定谔方程的两点讨论1. 1. 定域的几率守恒定域的几率守恒 , ) t , r (Vm) t , r (tiI222VVIII ）（ *)Vm(tiII* 222)II()I (*)*(m*)*(

38、m)*(ti222222),t , r () t , r (*)*(21*)*(2ppmmij* 22闭区域闭区域上找到粒上找到粒子的总几子的总几率在单位率在单位时间内的时间内的增量增量所以上式是几率（粒子数）守所以上式是几率（粒子数）守恒的积分表示式。恒的积分表示式。 0d)t ,r(dtd0 Jt其微分形式与其微分形式与流体力学中连流体力学中连续性方程的形续性方程的形式相同式相同 dJd )t ,r(dtd是是几几率率密密度度流流的的表表面面是是体体积积几几率率密密度度JS)t ,r(SdJd)t ,r(dtdS 使用使用 Gauss Gauss 定理定理单位时间内通过单位时间内通过的封闭

39、表面的封闭表面 S S 流入（面积分前面的负号）流入（面积分前面的负号）内内的几率的几率2 iJSdS 令上式令上式趋于趋于 ，即让积分对全空间进，即让积分对全空间进行，考虑到任何真实的波函数应该是平方行，考虑到任何真实的波函数应该是平方可积的，波函数在无穷远处为零，则式右可积的，波函数在无穷远处为零，则式右面积分趋于零面积分趋于零 0d)t ,r(dtd讨论：表明，波函数归一化不随表明，波函数归一化不随时间改变，其物理意义是时间改变，其物理意义是粒子既未产生也未消灭。粒子既未产生也未消灭。（1 1）这里的几率守恒具有定域性质，当空间某处几）这里的几率守恒具有定域性质，当空间某处几率减少了，必

40、然另外一些地方几率增加，使总几率率减少了，必然另外一些地方几率增加，使总几率不变，并伴随着某种流来实现这种变化。不变，并伴随着某种流来实现这种变化。（2 2） 以以乘连续性方乘连续性方程等号两边，得到：程等号两边，得到：0 Jt量子力学的质量量子力学的质量守恒定律守恒定律同理可得量子力学同理可得量子力学的电荷守恒定律：的电荷守恒定律：0 eeJt表明电荷总量表明电荷总量不随时间改变不随时间改变 )(iJJ| )t ,r(|22质量密度质量密度 和和 质量流密度矢量质量流密度矢量 )(ieJeJ| )t ,r(|eeee22电荷密度电荷密度 和和 电流密度矢量电流密度矢量2. 2.定态与能量本征

41、值方程定态与能量本征值方程 对不显含对不显含t t势场势场V(r)V(r),()(),(tfrtrErrVmrdtdftfi)()(2)(1)(122,Ei)t (flndtdEtiertr)(),( )()()(222rErrVmrH称为称为不含时间的薛定谔方程不含时间的薛定谔方程. .哈密顿算符的哈密顿算符的本征值方程本征值方程. . 定态定态: :具有确定能量值的状态具有确定能量值的状态 tiEnnnertr, tiEnnnnnnnerctrctr, 1. 1.有限性有限性. . 例如,设设r=rr=r0 0是是 (r)(r)的一个孤立奇点的一个孤立奇点,C,C是包围是包围r r0 0的任意小体的任意小体积积, ,按统计诠释按统计诠释, ,只要只要 ,xdr有限值320如取如取r r0 00 0, ,采用球坐标采用球坐标, ,则此条件相当于要求（注意：则此条件相当于要求（注意：0 00,0,显然要求积分值显然要求积分值00）0023)r(r,r 2. 2.可积