结构力学I第教学萧允徽　位移法学习教案

1、会计学1结构力学结构力学 I 第第 教学教学(jio xu) 萧允徽萧允徽 位位移法移法第一页，共110页。All Rights Reserved 本章(bn zhn)内容简介:8.1位移(wiy)法的基本概念8.2等截面(jimin)直杆的转角位移方程 8.3位移法的基本未知量 8.4位移法的基本结构及位移法方程8.5用典型方程法计算超静定结构在荷载作用下的内力8.6* 用典型方程法计算超静定结构在支座移动和温度变化时的内力第8章位移法第1页/共110页第二页，共110页。All Rights Reserved 本章(bn zhn)内容简介:8.7用直接平衡法计算(j sun)超静定结构的内

2、力8.8* 混合法第8章位移(wiy)法第2页/共110页第三页，共110页。All Rights Reserved8.1位移(wiy)法的基本概念对于线弹性结构，其内力与位移之间存在着一一对应的关系，确定的内力只与确定的位移相对应。因此，在分析超静定结构时，既可以先设法(shf)求出内力，然后再计算相应的位移这便是力法；也可以反过来，先确定某些结点位移，再据此推求内力，这便是位移法。 两种方法的基本区别之一，在于基本未知量的选取不同：力法是以多余未知力（支反力或内力）为基本未知量，而位移法则(fz)是以结点的独立位移（角位移或线位移）为基本未知量。 第3页/共110页第四页，共110页。Al

3、l Rights Reserved为了说明(shumng)位移法的概念，我们来分析图示刚架的位移。 由于结点A为刚结点，杆件AB、AC、AD在结点A处有相同的转角A。若略去受弯直杆的轴向变形，并不计由于弯曲而引起杆段两端的接近，则可认为三杆长度不变，因而结点A没有线位移，而只有角位移 。对整个结构来说，求解的关键就是(jish)如何确定基本未知量qA的值。 8.1位移(wiy)法的基本概念第4页/共110页第五页，共110页。All Rights ReservedAAAqBDCABAAAAACAADqA两种方法的基本区别之二，在于计算单元的选取(xunq)不同。力法一般把超静定结构拆成静定结构

4、；而位移法则是把结构拆成杆件（如图所示的三种基本超静定梁）。8.1位移(wiy)法的基本概念AAAqBDCABAAAAACAADqAAAAqBDCABAAAAACAADqA第5页/共110页第六页，共110页。All Rights Reserved从刚架中取出杆件AB进行(jnxng)分析8.1位移(wiy)法的基本概念第6页/共110页第七页，共110页。All Rights Reserved在位移(wiy)法分析中，需要解决以下三个问题： 第一，确定杆件的杆端内力与杆端位移及杆上荷载之间的函数关系（即杆件分析(fnx)或单元分析(fnx)）。 第二，选取结构(jigu)上哪些结点位移作为基

5、本未知量。第三，建立求解这些基本未知量的位移法方程（即整体分析）。这些问题将在以下各节中予以讨论。 8.1位移法的基本概念第7页/共110页第八页，共110页。All Rights Reserved8.2等截面(jimin)直杆的转角位移方程应用位移法需要(xyo)解决的第一个问题就是，要确定杆件的杆端内力与杆端位移及杆上荷载之间的函数关系（杆件的转角位移方程）。利用力法的计算结果，由叠加原理导出三种(sn zhn)常用等截面直杆的转角位移方程。杆端内力及杆端位移的正负号规定1. 杆端内力的正负号规定杆端弯矩对杆端而言，以顺时针方向为正，反之为负；对结点或支座而言，则以逆时针方向为正，反之为负

6、。杆端剪力和杆端轴力的正负号规定，仍与前面规定相同。第8页/共110页第九页，共110页。All Rights Reserved2. 杆端位移(wiy)的正负号规定ABABMMBAABEI, l弦转角BAB角位移以顺时针为正，反之(fnzh)为负。 线位移以杆的一端(ydun)相对于另一端(ydun)产生顺时针方向转动的线位移为正，反之为负。例如，图中，DAB为正。 8.2等截面直杆的转角位移方程第9页/共110页第十页，共110页。All Rights Reserved单跨超静定(jn dn)梁的形常数和载常数位移法中，常用到图示三种基本(jbn)的等截面单跨超静定梁，它们在荷载、支座移动或

7、温度变化作用下的内力可通过力法求得。 由杆端单位位移引起的杆端内力称为(chn wi)形常数，列入表8-1中。表中引入记号i=EI/l，称为(chn wi)杆件的线刚度。 8.2等截面直杆的转角位移方程a) 两端固定b) 一端固定一端铰支c) 一端固定一端定向支承第10页/共110页第十一页，共110页。All Rights Reserved由荷载或温度变化引起的杆端内力称为载常数。其中的杆端弯矩也常称为固端弯矩，用 和 表示；杆端剪力也常称为固端剪力，用 和 表示。常见荷载和温度作用下的载常数列入表8-2中。 FABMFBAMFABFQFBAFQ8.2等截面(jimin)直杆的转角位移方程a

8、) 两端固定b) 一端固定一端铰支c) 一端固定一端定向支承第11页/共110页第十二页，共110页。All Rights Reserved转角位移方程(fngchng)1. 两端(lin dun)固定梁 由叠加原理(yunl)可得8.2等截面直杆的转角位移方程426246FABABABFBAABBAMiiiMlMiiiMl（8-1）第12页/共110页第十三页，共110页。All Rights Reserved2. 一端(ydun)固定另一端(ydun)铰支梁 8.2等截面(jimin)直杆的转角位移方程330FABAABBAMiiMlM（8-2）第13页/共110页第十四页，共110页。A

9、ll Rights Reserved3. 一端(ydun)固定另一端(ydun)定向支承梁8.2等截面(jimin)直杆的转角位移方程FBABABAFABBAABMiiMMiiM（8-3）第14页/共110页第十五页，共110页。All Rights Reserved应用以上三组转角位移方程，即可求出三种基本的单跨超静定梁的杆端弯矩。至于(zhy)杆端剪力，则可根据平衡条件导出为 式中， 和 分别表示相当简支梁在荷载作用下的杆端弯矩。 0QABF0QBAF8.2等截面(jimin)直杆的转角位移方程对上述三种基本的单跨超静定梁的杆端剪力表达式，也可根据叠加原理(yunl)，写出如下：0QQ0Q

10、Q)()(BABAABBAABBAABABFlMMFFlMMF（8-4）第15页/共110页第十六页，共110页。All Rights Reserved1）两端(lin dun)固定梁2）一端(ydun)固定另一端(ydun)铰支梁3）一端(ydun)固定另一端(ydun)定向支承梁8.2等截面直杆的转角位移方程FBABABAFABBAABFlililiFFlililiFQ2QQ2Q12661266（8-5）FBAABAFABAABFliliFFliliFQ2QQ2Q3333（8-6）0QQQBAFABABFFF（8-7）第16页/共110页第十七页，共110页。All Rights Rese

11、rved8.3位移(wiy)法的基本未知量位移(wiy)法的基本未知量位移法选取结点的独立位移（包括结点的独立角位移和独立线位移）作为其基本(jbn)未知量，并用广义位移符号Zi表示。 确定位移法的基本未知量的数目1. 位移法基本未知量的总数目位移法基本未知量的总数目（记作n）等于结点的独立角位移数（记作ny）与独立线位移数（记作nl）之和，即 lynnn（8-8）第17页/共110页第十八页，共110页。All Rights Reserved2. 结点(ji din)独立角位移数结点独立角位移数（ny）一般等于刚结点数加上组合结点（半铰结点）数。但须注意当有阶形杆截面改变处的转角或抗转动弹性

12、支座的转角时，应一并计入(j r)在内。至于结构固定支座处，因其转角等于零或为已知的支座位移值；铰结点或铰支座处，因其转角不是独立的，所以，都不作为位移法的基本未知量。 8.3位移(wiy)法的基本未知量第18页/共110页第十九页，共110页。All Rights Reservedny = 4 8.3位移(wiy)法的基本未知量第19页/共110页第二十页，共110页。All Rights Reserved (1) 简化(jinhu)条件 3. 结点(ji din)独立线位移数不考虑由于轴向变形引起的杆件的伸缩（同力法），也不考虑由于弯曲变形而引起的杆件两端的接近。因此，可认为这样的受弯直杆

13、两端之间的距离在变形后仍保持不变，且结点线位移(wiy)的弧线可用垂直于杆件的切线来代替。 8.3位移法的基本未知量第20页/共110页第二十一页，共110页。All Rights Reservednl = 2 ny = 4 426ylnnn8.3位移(wiy)法的基本未知量第21页/共110页第二十二页，共110页。All Rights Reserved (2) 确定(qudng)方法铰化结点，增设链杆8.3位移(wiy)法的基本未知量426ylnnn2ZZ3Z1Z54Z6ZEDABFGCCBADEFGADEFGBC4Z“铰化结点”后的链杆体系“增设链杆”后的几何不变体系原刚架的基本未知量第

14、22页/共110页第二十三页，共110页。All Rights ReservedBACDEFGHIABFEDGHIABCFABFDGHIDEHGICEZ12Z4ZZ3Z56ZZ7Ca) 原结构b) “铰化结点”c) “增设链杆”d) 基本未知量n = ny+nl = 4+3 =7 8.3位移(wiy)法的基本未知量第23页/共110页第二十四页，共110页。All Rights Reserved4. 两点说明(shumng) (1) 当刚架中有需要考虑轴向变形（ ）的二力杆时，其两端距离就不能再看作不变。EA (2) 当刚架中有 EI = 的刚性(n xn)杆时（柱全部为竖直柱，与基础相连的刚

15、性(n xn)柱为固定支座）: 1）刚性杆两端的刚结点转角，一般可不作为(zuwi)基本未知量。因为如果该杆两端的线位移确定了，则杆端的转角也就随之确定了。 8.3位移法的基本未知量第24页/共110页第二十五页，共110页。All Rights Reserved2）刚性杆两端(lin dun)的线位移，仍取决于整个刚架的结点线位移。 3）刚性杆与基础固结处以及与其他刚性杆刚结处，在“铰化结点(ji din)”时均不改为铰结，以反映刚片无任何变形的特点。 综上所述，对于有刚性杆的刚架，ny等于全为弹性(tnxng)杆汇交的刚结点数与组合结点数之和；nl等于使仅将弹性(tnxng)杆端改为铰结的

16、体系成为几何不变所需增设的最少链杆数。 8.3位移法的基本未知量第25页/共110页第二十六页，共110页。All Rights Reservedn=2+1=32ZZ10=EIEI =0EI =00=EI3Z123465a) 原结构及其基本未知量b) “铰化结点，增设链杆”8.3位移(wiy)法的基本未知量第26页/共110页第二十七页，共110页。All Rights Reserved8.4位移(wiy)法的基本结构及位移(wiy)法方程位移(wiy)法的基本结构位移法的基本结构就是通过增加附加约束(yush)（包括附加刚臂和附加支座链杆）后，得到的三种基本超静定杆的综合体。 所谓附加刚臂，

17、就是在每个可能发生独立角位移的刚结点和组合结点上，人为地加上的一个能阻止其角位移(但并不阻止其线位移)的附加约束，用黑三角符号“ ”表示。 所谓附加支座链杆，就是在每个可能发生独立线位移的结点上沿线位移的方向，人为地加上的一个能阻止其线位移的附加约束。 第27页/共110页第二十八页，共110页。All Rights Reserveda) 原结构及其基本未知量b) 基本结构2ZZ41Z3Z3ZZ3ACFGDHEBFCADGHEB5Z6Z8.4位移法的基本(jbn)结构及位移法方程第28页/共110页第二十九页，共110页。All Rights Reserved位移法的基本(jbn)体系图a所示

18、刚架的基本未知量为结点A的转角Z1。在结点A加一附加刚臂，就得到位移法的基本结构（图b）。同力法一样，受荷载和基本未知量共同(gngtng)作用的基本结构，称为基本体系（图c）。 a) 原结构c) 基本体系b) 基本结构8.4位移法的基本结构(jigu)及位移法方程第29页/共110页第三十页，共110页。All Rights Reserved位移(wiy)法方程基本结构在结点(ji din)位移Z1和荷载共同作用下，刚臂上的反力矩F1必定为零（图c）。 d) 锁住结点e) 放松结点c) 基本体系0P1111FFF8.4位移(wiy)法的基本结构及位移(wiy)法方程第30页/共110页第三十

19、一页，共110页。All Rights Reserved式中，Fij表示附加约束中的反力矩（或反力），其中第一个下标表示该反力矩所属的附加约束，第二个下标表示引起反力矩的原因(yunyn)。设k11表示由单位位移Z1=1所引起的附加刚臂上的反力矩，则有 F11= k11Z1，代入上式，得0P1111FFF这就是求解基本(jbn)未知量Z1的位移法基本(jbn)方程，其实质是平衡条件 。为了求出系数k11和自由项F1P，可利用表8-2和表8-1，在基本结构上分别作出荷载作用下的弯矩图（MP图）和Z1=1引起的弯矩图（ 图）。 1M8.4位移(wiy)法的基本结构及位移(wiy)法方程01P111

20、 FZk（8-9）第31页/共110页第三十二页，共110页。All Rights Reserved 0AMik811在图 中取结点A为隔离体，由得，1M在MP图中取结点A为隔离体，由得， 0AMlFFP1P81（刚臂内之反力矩(l j)以顺时针为正 ）8.4位移法的基本(jbn)结构及位移法方程11kABCFPF1PPF l88lFPPF l88lFP1PFAABCZ1=14ii 2i 42ik11Ai 44i16lFPPF l64PF l1616lFP32lFP9BCAPM1M第32页/共110页第三十三页，共110页。All Rights Reserved01P111 FZk将k11和F

21、1P的值代入上式，解得 ilFkFZ64P111P1结果为正，表示(biosh)Z1的方向与所设相同。结构的最后弯矩可由叠加公式计算，即P11MZMM32/516/16/32/58/8/00642442PPPPPPPlFlFlFlFlFlFilFiiiiMMMMCAACABBA8.4位移法的基本(jbn)结构及位移法方程第33页/共110页第三十四页，共110页。All Rights Reserved32/516/16/32/58/8/00642442PPPPPPPlFlFlFlFlFlFilFiiiiMMMMCAACABBA8.4位移法的基本结构(jigu)及位移法方程11kABCFPF1P

22、PF l88lFPPF l88lFP1PFAABCZ1=14ii 2i 42ik11Ai 44i16lFPPF l64PF l1616lFP32lFP9BCAMP图 1M图M图第34页/共110页第三十五页，共110页。All Rights Reserved例如，图示刚架的基本未知量为结点C、D的水平线位移Z1。在结点D加一附加支座链杆，就得到基本结构。其相应(xingyng)的基本体系如图所示，它的变形和受力情况与原结构完全相同。 01P111 FZk位移(wiy)法方程 8.4位移法的基本结构(jigu)及位移法方程第35页/共110页第三十六页，共110页。All Rights Rese

23、rvedkN45045QQ1PFDBFCAFFF8.4位移(wiy)法的基本结构及位移(wiy)法方程CDABDBACDBAC(90)-90CDF1PQFFCA=0DBFFQ1PF72EICDk11EI72EI124512EIZ1=111k(90)225135a) MP图(kNm)b) 图 (1/m)c)M图(kNm)1M分别在MP图和 图中，截取两柱顶端以上部分为隔离体，如图所示。由剪力平衡条件 ，得 0 xF1M第36页/共110页第三十七页，共110页。All Rights Reserved36727211EIEIEIk将k11和F1P的值代入位移法方程式，解得EIZ16201结构的最后

24、弯矩图可由叠加公式 计算后绘制。 P11MZMM8.4位移(wiy)法的基本结构及位移(wiy)法方程CDABDBACDBAC(90)-90CDF1PQFFCA=0DBFFQ1PF72EICDk11EI72EI124512EIZ1=111k(90)225135a) MP图(kNm)b) 图 (1/m)c)M图(kNm)1M第37页/共110页第三十八页，共110页。All Rights Reserved典型(dinxng)方程法和直接平衡法关于(guny)如何建立位移法方程以求解基本未知量的问题，有两种途径可循。 一种途径，已如上所述，是通过选择基本结构(jigu)，并将原结构(jigu)与基

25、本体系比较，得出建立位移法方程的平衡条件（即Fi =0）。这种方法能以统一的、典型的形式给出位移法方程。因此，称为典型方程法。 另一种途径，则是将待分析结构先“拆散”为许多杆件单元，进行单元分析根据转角位移方程，逐杆写出杆端内力式子；再“组装”，进行整体分析直接利用结点平衡或截面平衡条件建立位移法方程。因此，称为直接平衡法。 8.4位移法的基本结构及位移法方程第38页/共110页第三十九页，共110页。All Rights Reserved8.5用典型方程法计算超静定(jn dn)结构在荷载作用下的内力典型(dinxng)方程的一般形式图a所示刚架，其基本未知量为刚结点B的转角Z1和结点B、C

26、的水平线位移(wiy)Z2。其基本体系如图b所示。由于基本体系的变形和受力情况与原结构完全相同，而原结构上并没有附加刚臂和附加支座链杆，因此，基本体系上附加刚臂的反力矩F1及附加支座链杆的反力F2都应等于零，即F1=0和F2=0。据此，可建立求解Z1和Z2的两个位移(wiy)法的典型方程。 qABDC2ZqlZ1l/2/2llABDCql=01FZ11ZqZ22ZZ22ZqF111Zql1PFABDCF2P1ZZ1BADC21FBCAD12F(a)qABDC2ZqlZ1l/2/2llABDCql=01FZ11ZqZ22ZZ22ZqF111Zql1PFABDCF2P1ZZ1BADC21FBCAD

27、12F(b) 基本体系第39页/共110页第四十页，共110页。All Rights Reserved设基本结构由于Z1、Z2及荷载单独作用(zuyng)，引起相应于Z1的附加刚臂的反力矩分别为F11、F12及F1P，引起相应于Z2的附加支座链杆的反力分别为F21、F22及F2P（图d、e、f）。根据叠加原理，可得qABDC2ZqlZ1l/2/2llABDCql=01FZ11ZqZ22ZZ22ZqF111Zql1PFABDCF2P1ZZ1BADC21FBCAD12F(d) 锁住结点B和C(e) 放松结点B(f) 放松结点C8.5用典型方程法计算超静定结构在荷载(hzi)作用下的内力002P22

28、2121P12111FFFFFFFF(a)第40页/共110页第四十一页，共110页。All Rights Reserved 又设单位(dnwi)位移Z1=1及Z2=1单独作用时，在基本结构附加刚臂上产生的反力矩分别为k11及k21，在附加支座链杆中产生的反力分别为k12及k22，则有 将式(b)代入式(a)，得002P222121P12111FFFFFFFF(a)22222121212121211111,ZkFZkFZkFZkF(b)上式称为(chn wi)位移法典型方程。 8.5用典型方程法计算超静定结构(jigu)在荷载作用下的内力002P2221211P212111FZkZkFZkZk

29、(c)第41页/共110页第四十二页，共110页。All Rights Reserved其物理意义是：基本体系每个附加约束中的反力矩和反力都应等于零。因此，它实质(shzh)上反映了原结构的静力平衡条件。位移法典型(dinxng)方程 8.5用典型(dinxng)方程法计算超静定结构在荷载作用下的内力002P2221211P212111FZkZkFZkZk(c)第42页/共110页第四十三页，共110页。All Rights Reserved对于具有n个独立结点位移的结构(jigu)，相应地在基本结构(jigu)中需加入n个附加约束，根据每个附加约束的反力矩或反力都应为零的平衡条件，同样可建立

30、n个方程如下： 上式即为典型方程的一般形式。式中，主斜线上的系数kii称为主系数；其他(qt)系数kij称为副系数；FiP称为自由项。 8.5用典型方程法计算超静定结构(jigu)在荷载作用下的内力000P22112P22221211P1212111nnnnnnnnnnFZkZkZkFZkZkZkFZkZkZk（8-11）第43页/共110页第四十四页，共110页。All Rights Reserved 系数和自由项的符号规定是：以与该附加约束所设位移方向一致者为正。主系数kii的方向总是与所设位移Zi的方向一致，故恒为正，且不会为零。副系数和自由项则可能为正、负或零。此外，根据反力互等定理(

31、dngl)可知，kij=kji。 8.5用典型方程法计算超静定结构(jigu)在荷载作用下的内力000P22112P22221211P1212111nnnnnnnnnnFZkZkZkFZkZkZkFZkZkZk（8-11）第44页/共110页第四十五页，共110页。All Rights Reserved系数(xsh)和自由项的计算方法iiik73411lik612088221PqlqlF8.5用典型方程法计算超静定结构在荷载(hzi)作用下的内力F1P=0ql8228ql28qlqlBACDq=11Z=711kii 43i2ik12=l6ii 6lli 6BADCBADC3ilq2ql0=2P

32、Fql26ilBC0k21=li 6BCCBli12223il215ilk22=Z2=121kF2P22kMP图图1M图2M第45页/共110页第四十六页，共110页。All Rights Reservedlik6212222215312lililik22PqlF8.5用典型方程法计算(j sun)超静定结构在荷载作用下的内力F1P=0ql8228ql28qlqlBACDq=11Z=711kii 43i2ik12=l6ii 6lli 6BADCBADC3ilq2ql0=2PFql26ilBC0k21=li 6BCCBli12223il215ilk22=Z2=121kF2P22kMP图图1M图2

33、M第46页/共110页第四十七页，共110页。All Rights Reserved将系数和自由(zyu)项代入典型方程，可得 02156006722121qlZliZliZliiZ联解以上两个(lin )方程求出Z1和Z2后，即可按叠加原理作出弯矩图 。 1）确定(qudng)基本未知量数目：n=ny+nl8.5用典型方程法计算超静定结构在荷载作用下的内力典型方程法的计算步骤第47页/共110页第四十八页，共110页。All Rights Reserved2）确定基本体系。加附加约束，锁住相关结点，使之不发生转动或移动，而得到一个由若干基本的单跨超静定梁组成的组合体作为基本结构（可不单独画出

34、）；使基本结构承受原来的荷载(hzi)，并令附加约束发生与原结构相同的位移，即可得到所选择的基本体系。 3）建立位移法的典型方程(fngchng)。根据附加约束上反力矩或反力等于零的平衡条件建立典型方程(fngchng)。 5）解方程，求基本(jbn)未知量（Zi）。 典型方程法的计算步骤8.5用典型方程法计算超静定结构在荷载作用下的内力4）求系数和自由项。在基本结构上分别作出各附加约束发生单位位移时的单位弯矩图 图和荷载作用下的荷载弯矩图MP图，由结点平衡和截面平衡即可求得。 1M第48页/共110页第四十九页，共110页。All Rights Reserved6）作最后内力图。按照叠加得出

35、最后弯矩图；根据弯矩图作出剪力图；利用剪力图根据结点平衡条件作出轴力图。 P2211MZMZMZMMnn7）校核。由于位移法在确定(qudng)基本未知量时已满足了变形协调条件，而位移法典型方程是静力平衡条件，故通常只需按平衡条件进行校核。可以看出，位移法（典型方程法）与力法在计算(j sun)步骤上是极其相似的，但二者的未知量却有所不同。 8.5用典型方程(fngchng)法计算超静定结构在荷载作用下的内力典型方程法的计算步骤第49页/共110页第五十页，共110页。All Rights Reserved【例8-1】试用典型方程法计算(j sun)图示结构，并作出弯矩图。设EI =常数。 解

36、：(1)确定(qudng)基本未知量数目:其基本未知量只有结点C的转角Z1。 8.5用典型方程法计算超静定结构在荷载作用(zuyng)下的内力ACEFBD3kN/m10kN4m3m4m4mAD12kN24kNm30kNm10kNCACD12kN24kNmi=111k=11Z342DBFECA24122424241263040ACBCBA1PF30kNmZ110kN30kNm=1ia) 原结构b) 简化后的结构第50页/共110页第五十一页，共110页。All Rights Reserved(2) 选取基本(jbn)体系，如图c所示。(3) 建立典型(dinxng)方程根据结点(ji din)C

37、附加刚臂上反力矩为零的平衡条件，有 01P111 FZkACEFBD3kN/m10kN4m3m4m4mAD12kN24kNm30kNm10kNCACD12kN24kNmi=111k=11Z342DBFECA24122424241263040ACBCBA1PF30kNmZ110kN30kNm=1i(c) 基本体系(b) 简化后的结构8.5用典型方程法计算超静定结构在荷载作用下的内力第51页/共110页第五十二页，共110页。All Rights Reserved(4) 求系数(xsh)和自由项设 ，作 图和MP图，如图d、e所示。取结点C为隔离体，应用力矩平衡条件，求得 14EIi1M711k4

38、21PF8.5用典型方程法计算超静定结构(jigu)在荷载作用下的内力ACEFBD3kN/m10kN4m3m4m4mAD12kN24kNm30kNm10kNCACD12kN24kNmi=111k=11Z342DBFECA24122424241263040ACBCBA1PF30kNmZ110kN30kNm=1id) 图1Me) MP图第52页/共110页第五十三页，共110页。All Rights Reserved(5) 解方程，求基本(jbn)未知量61Z(6) 作最后(zuhu)弯矩图P11MZMM8.5用典型方程法计算(j sun)超静定结构在荷载作用下的内力ACEFBD3kN/m10kN

39、4m3m4m4mAD12kN24kNm30kNm10kNCACD12kN24kNmi=111k=11Z342DBFECA24122424241263040ACBCBA1PF30kNmZ110kN30kNm=1if) M图(kNm)ACEFBD3kN/m10kN4m3m4m4mAD12kN24kNm30kNm10kNCACD12kN24kNmi=111k=11Z342DBFECA24122424241263040ACBCBA1PF30kNmZ110kN30kNm=1i第53页/共110页第五十四页，共110页。All Rights Reserved【例8-2】试用典型方程法计算(j sun)图示

40、结构，并作弯矩图。设EI=常数。 解： (1) 确定基本(jbn)未知量数目可以利用对称性取结构(jigu)的1/4部分进行计算，其基本未知量只有结点A的转角Z1。 8.5用典型方程法计算超静定结构在荷载作用下的内力第54页/共110页第五十五页，共110页。All Rights Reserved(2) 选择基本(jbn)体系 llqABCDEFEI=常数=常数EIlql/2G2BAiiql1Zqi 2iBAGk11Z1=1i 4i 2i 22iGABql122F1PGAB212qlql24236ql22ql362ql36ql92236ql2ql362ql1818ql22ql1818ql2AD

41、BEFC29ql28ql()(ql82)(ql8228ql()c) 基本体系(3) 建立典型(dinxng)方程 01P111 FZk(4) 求系数(xsh)和自由项 iiik6241121P121qlF(5)解方程，求得 iqlZ72218.5用典型方程法计算超静定结构在荷载作用下的内力llqABCDEFEI=常数=常数EIlql/2G2BAiiql1Zqi 2iBAGk11Z1=1i 4i 2i 22iGABql122F1PGAB212qlql24236ql22ql362ql36ql92236ql2ql362ql1818ql22ql1818ql2ADBEFC29ql28ql()(ql82)

42、(ql8228ql()d) 图e) MP图(kNm)1M第55页/共110页第五十六页，共110页。All Rights Reserved(6) 作最后(zuhu)弯矩图8.5用典型方程法计算超静定结构在荷载作用(zuyng)下的内力llqABCDEFEI=常数=常数EIlql/2G2BAiiql1Zqi 2iBAGk11Z1=1i 4i 2i 22iGABql122F1PGAB212qlql24236ql22ql362ql36ql92236ql2ql362ql1818ql22ql1818ql2ADBEFC29ql28ql()(ql82)(ql8228ql()f) M图(kNm)第56页/共1

43、10页第五十七页，共110页。All Rights Reserved【例8-3】试用(shyng)典型方程法计算图示连续梁，并作弯矩图。解： (1) 确定(qudng)基本未知量数目 基本(jbn)未知量为结点B的转角Z1和结点C的转角Z2。 8.5用典型方程法计算超静定结构在荷载作用下的内力A6mZ1BCDE8m6m2mEI2EIEI21i =1/6=1/4i23i =1/315kN/m40kNABDC15kN/m40kN80kNm164()=3213)=2(61144()=1)=0.52(41k21ABCDABCDABCDABCDE12kk22=1Z2142()=0.5)=13(31)=1

44、4(4123.7847.561PF80408037.84(120)77.30802ZF2P1Z =111k80a) 原结构b) 简化后的结构及其基本体系第57页/共110页第五十八页，共110页。All Rights Reserved(2) 确定基本(jbn)体系 (3) 建立(jinl)典型方程002P2221211P212111FZkZkFZkZk8.5用典型方程法计算超静定结构在荷载(hzi)作用下的内力A6mZ1BCDE8m6m2mEI2EIEI21i =1/6=1/4i23i =1/315kN/m40kNABDC15kN/m40kN80kNm164()=3213)=2(61144()

45、=1)=0.52(41k21ABCDABCDABCDABCDE12kk22=1Z2142()=0.5)=13(31)=14(4123.7847.561PF80408037.84(120)77.30802ZF2P1Z =111k80a) 原结构b) 简化后的结构及其基本体系第58页/共110页第五十九页，共110页。All Rights Reserved(4) 求系数(xsh)和自由项3513111k5 . 02112 kk801PF21122k12040802PF8.5用典型方程法计算超静定结构在荷载作用(zuyng)下的内力A6mZ1BCDE8m6m2mEI2EIEI21i =1/6=1/4

46、i23i =1/315kN/m40kNABDC15kN/m40kN80kNm164()=3213)=2(61144()=1)=0.52(41k21ABCDABCDABCDABCDE12kk22=1Z2142()=0.5)=13(31)=14(4123.7847.561PF80408037.84(120)77.30802ZF2P1Z =111k80A6mZ1BCDE8m6m2mEI2EIEI21i =1/6=1/4i23i =1/315kN/m40kNABDC15kN/m40kN80kNm164()=3213)=2(61144()=1)=0.52(41k21ABCDABCDABCDABCDE12

47、kk22=1Z2142()=0.5)=13(31)=14(4123.7847.561PF80408037.84(120)77.30802ZF2P1Z =111k80A6mZ1BCDE8m6m2mEI2EIEI21i =1/6=1/4i23i =1/315kN/m40kNABDC15kN/m40kN80kNm164()=3213)=2(61144()=1)=0.52(41k21ABCDABCDABCDABCDE12kk22=1Z2142()=0.5)=13(31)=14(4123.7847.561PF80408037.84(120)77.30802ZF2P1Z =111k80c) 图1Md) 图

48、2Me) MP图第59页/共110页第六十页，共110页。All Rights Reserved(5) 解方程，求基本(jbn)未知量Z1和Z2 将以上(yshng)各系数及自由项之值代入典型方程，解得171.35,Z 84.772Z(6) 作最后(zuhu)弯矩图A6mZ1BCDE8m6m2mEI2EIEI21i =1/6=1/4i23i =1/315kN/m40kNABDC15kN/m40kN80kNm164()=3213)=2(61144()=1)=0.52(41k21ABCDABCDABCDABCDE12kk22=1Z2142()=0.5)=13(31)=14(4123.7847.56

49、1PF80408037.84(120)77.30802ZF2P1Z =111k80f) M图(kNm) 8.5用典型方程法计算超静定结构在荷载作用下的内力第60页/共110页第六十一页，共110页。All Rights Reserved【例8-4】试用(shyng)典型方程法求图示结构，并作弯矩图。 解： (1) 确定(qudng)基本未知量数目：n=2。(2) 确定(qudng)基本体系 6m6m6m4kN/mEDACB10kNEIEI3EIEI2ZBACED4kN/mi3iii10kN1Z =111kiBADECi 94ii 2k2100BDi21k1Z基本体系 8.5用典型方程法计算超静

50、定结构在荷载作用下的内力第61页/共110页第六十二页，共110页。All Rights Reserved(3) 建立典型(dinxng)方程002P2221211P212111FZkZkFZkZk(4) 求系数(xsh)和自由项 iiiik14941121ki 8.5用典型方程法计算超静定结构(jigu)在荷载作用下的内力6m6m6m4kN/mEDACB10kNEIEI3EIEI2ZBACED4kN/mi3iii10kN1Z =111kiBADECi 94ii 2k2100BDi21k1Z图 1M第62页/共110页第六十三页，共110页。All Rights Reserved1218301

51、PFiiik12531222102PF12ki 8.5用典型方程法计算超静定结构在荷载作用(zuyng)下的内力=1Z2ABEDCk12ii2i22kD0B12i3iF2P10D00BABDEC93030181PFCDBAE(522)1332960552732456780k222PF图 2MMP图 第63页/共110页第六十四页，共110页。All Rights Reserved(5) 解方程，求基本(jbn)未知量Z1和Z2(6) 作最后(zuhu)弯矩图(7) 校核(xio h)8.5用典型方程法计算超静定结构在荷载作用下的内力1290912,2929ZZii1122PMM ZM ZM取结

52、点D为隔离体，满足0DM取横梁BD为隔离体，满足0 xF =1Z2ABEDCk12ii2i22kD0B12i3iF2P10D00BABDEC93030181PFCDBAE(522)1332960552732456780k222PFM图 (kNm) 1()29第64页/共110页第六十五页，共110页。All Rights Reserved【例8-5】试用典型方程(fngchng)法求图示结构，并作弯矩图，并勾绘变形曲线。 解: (1) 确定(qudng)基本未知量数目 此结构的基本(jbn)未知量为结点D的转角Z1和横梁BD的水平位移Z2。 (2) 确定基本体系 8.5用典型方程法计算超静定结

53、构在荷载作用下的内力ABDCEI2EI4m4mEICDBA4m3m1ZZ20.25ii0.50.2i1Z =1k21BDAC0.8ii0.42ii0.75i(等效)5kN5kNk11a)ABDCEI2EI4m4mEICDBA4m3m1ZZ20.25ii0.50.2i1Z =1k21BDAC0.8ii0.42ii0.75i(等效)5kN5kNk11b) 基本体系第65页/共110页第六十六页，共110页。All Rights Reserved(3) 建立(jinl)典型方程002P2221211P212111FZkZkFZkZk(4) 求系数(xsh)和自由项iiiik55. 38 . 0275

54、. 0118.5用典型方程法计算超静定(jn dn)结构在荷载作用下的内力ABDCEI2EI4m4mEICDBA4m3m1ZZ20.25ii0.50.2i1Z =1k21BDAC0.8ii0.42ii0.75i(等效)5kN5kNk11图 1Mc)第66页/共110页第六十七页，共110页。All Rights Reservediiik64. 038 . 045 . 122iiik35. 075. 04 . 0121563156 0.210.453CDDCCDCDMMilii 8.5用典型方程法计算超静定结构在荷载作用(zuyng)下的内力BCDA1CCD=35C2ABDC2Z =1k220.

55、75ii0.40.75i0.4i41.5ii0.8312kd) 变形图图 2Me)第67页/共110页第六十八页，共110页。All Rights Reserved由图f的整体平衡条件 ，可求得 0OMkN67. 63202PF8.5用典型(dinxng)方程法计算超静定结构在荷载作用下的内力01PFf) MP图第68页/共110页第六十九页，共110页。All Rights Reserved(5) 解方程，求基本(jbn)未知量Z1和Z2iZ083. 11iZ98.102(6) 作最后(zuhu)弯矩图 ABC5kNDBDCA(等效)2PF0.816.077.155.264.82O1PF =

56、0=0)(PM00FAyFCxg) M图(kNm)8.5用典型方程(fngchng)法计算超静定结构在荷载作用下的内力第69页/共110页第七十页，共110页。All Rights Reserved(7)勾绘(u hu)变形曲线 8.5用典型方程法计算超静定(jn dn)结构在荷载作用下的内力结点D转角和线位移的方向(fngxing)，可由Z1、Z2的正负号直接判定。 第70页/共110页第七十一页，共110页。All Rights Reserved【例8-6】试用(shyng)典型方程法计算图示等高排架。 解：(1)确定基本(jbn)未知量数目ABDCEFh1PF1EIEI2EA=EA2hh

57、3FPFPFPACBDEFACBDEFACBDEFZ1F1P=1Z111kh21EI1332EI22hh23EI33EI3k110001PF31EI13hh32EI23h33EI33b) 基本体系a) 原结构只有(zhyu)一个独立的结点线位移未知量，即A、C、E的水平位移Z1。 (2) 确定基本体系，如图b所示。 (3) 建立典型方程01P111 FZk8.5用典型方程法计算超静定结构在荷载作用下的内力第71页/共110页第七十二页，共110页。All Rights Reserved(4) 求系数(xsh)和自由项331211333311233333iiiEIEIEIEIkhhhh8.5用典

58、型方程法计算超静定结构在荷载(hzi)作用下的内力p1PFFABDCEFh1PF1EIEI2EA=EA2hh3FPFPFPACBDEFACBDEFACBDEFZ1F1P=1Z111kh21EI1332EI22hh23EI33EI3k110001PF31EI13hh32EI23h33EI33图 1Mc)d) MP图 第72页/共110页第七十三页，共110页。All Rights Reserved331211333311233333iiiEIEIEIEIkhhhhp1PFF(5) 解方程，求基本(jbn)未知量Z1。313P111P13iihEIFkFZ(6) 按叠加原理(yunl)即可作出弯矩

59、图。 8.5用典型(dinxng)方程法计算超静定结构在荷载作用下的内力第73页/共110页第七十四页，共110页。All Rights Reserved【讨论(toln)】若令 式中，gi为当排架柱顶发生单位侧移时，各柱柱顶产生的的剪力，它反映了各柱抵抗水平位移的能力(nngl)，称为排架柱的侧移刚度系数。 各柱顶的剪力为P1QFZFiiii8.5用典型方程法计算超静定结构(jigu)在荷载作用下的内力33iiihEI（8-12）第74页/共110页第七十五页，共110页。All Rights Reserved再令称为第i根柱的剪力分配(fnpi)系数，则各柱所分配(fnpi)得的柱顶剪力为

60、 以上分析表明，当等高排架仅在柱顶受水平集中力作用时，可首先求出各柱的剪力分配系数；然后由算出各柱顶剪力FQi；最后把每根柱视为悬臂梁绘出其弯矩图。这样就可不必(bb)建立典型方程而直接得到解答。这一方法称为剪力分配法，是计算等高排架很有效的方法。 8.5用典型方程法计算超静定结构在荷载(hzi)作用下的内力iii（8-13）PQFFii(i=1,2,3) （8-14）第75页/共110页第七十六页，共110页。All Rights Reserved须注意，当任意荷载作用(zuyng)于排架时，则不能直接应用上述剪力分配法。可首先在柱顶加水平附加支座链杆，并求出该附加反力(图b)为 )(831