圆锥曲线的光学性质(2015)

1、圆锥曲线光学性质的证明及应用初探源于课本一份阅读材料的探究反思 内蒙古巴彦淖尔市奋斗中学 :王珏 指导教师 :张红学习完圆锥曲线的方程和性质后 ,课本上有一则阅读材料引起了同 学们的兴趣 , 在老师的指导下 ,我们不仅了解了圆锥曲线的光学性质这一 常见现象 ,而且进一步对 它进行了证明和探究 ,并对它在 数学解题和生产 科技等方面的应用有了一定的认 识。课后我经过反思与整理 ,写成此文。 一、 圆锥曲线的光学性质1. 1 椭圆的光学性质 :从椭圆一个焦点发出的光 ,经过椭圆反射后 ,反 射光线都汇 聚到椭圆的另一个焦点上 ; （见图 1.1椭圆的这种光学特性 ,常被用来设计一些照明设备或聚热装

2、置 .例如在 F 1处放 置一个热源 ,那么红外线也能聚焦于 F 2处,对 F 2处的物体加热 . 1. 2双曲线的光学 性质 :从双曲线一个焦点发出的光 ,经过双曲线反射 后,反射光线的反向延长线都汇 聚到双曲线的另一个焦点上 ; （见图 1.2 . 双曲线这种反向虚聚焦性质 , 在天文望远镜 的设计等方面 , 也能找到实 际应用.1. 3 抛物线的光学性质 :从抛物线的焦点发出的光 ,经过抛物线反射 后,反射光 线都平行于抛物线的轴 （如图 1.3抛物线这种聚焦特性 ,成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择 .例 如探照灯、 汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线 ,把光源置于它的焦点 处,经镜

3、面反射后能成 为平行光束 ,使照射距离加大 ,并可通过转动抛物 线的对称轴方向 ,控制照射方向 .卫 星通讯像碗一样接收或发射天线 ,一12般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的 ,把接收器置于其焦点 ,抛物线的对 称轴跟 踪对准卫星 ,这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线 ,最大限 度地集中到接收器 上,保证接收效果 ;反之,把发射装置安装在焦点 ,把 对称轴跟踪对准卫星 ,则可以使发 射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星 的接收装置 ,同样保证接收效果 .最常见的太 阳能热水器 ,它也是以抛物 线镜面聚集太阳光 ,以加热焦点处的贮水器的 .要探究圆锥曲线的光学性质 ,首先必须将这样一个光学实际问

4、题 ,转 化为数学问 题 ,进行解释论证。 二、问题转化及证明2. 1圆锥曲线的切线与法线的定义设直线 l 与曲线 c 交于 P , Q 两点,当直线 l 连续变动时, P , Q 两点沿 着曲线渐 渐靠近, 一直到 P , Q 重合为一点 M , 此时直线 l 称为曲线 c 在点 M 处的切线 ,过 M 与直线 l 垂直的直线称为曲线 c 在点 M 处的法线。 此时,我们可以借助圆锥曲线的 切线和法线 ,对这一问题进行转化 : 2.2 圆锥曲线光学性质的证明预备定理 1.若点 00(, P x y 是椭圆 22221x y a b+=上任一点 , 则椭圆过该点的切线方程为:00221x x

5、y ya b图 1.3图 1.2 图 1.13 证明 :由 22221y x b a=-? 2222(1 x y b a=-, 1当 xa 时,过点 P 的切线斜率 k 一定存在 ,且 0 |x xk y =对式求导 :20222 b yy x a220 |x x b x k y a y =-=切线方程为 200020( b x y y x x a y -=- , 点 00(, P x y 在椭圆 22221x y a b+=上,故 2200221x y a b+= 代入 得 00221x x y y a b +=, 而当 xa =时, 00y = 切线方程为 x a = ,也满足式故 002

6、21x x y ya b+=是椭圆过点 00(, P x y 的切线方程 . 预备定理 2. 若点 00(, P x y 是双曲线 22 221x y a b-=上任一点 ,则双曲线过该点的切线方程为 :00221x x y y证明:由 22221y x b a =-? 2222(1 xy b a=-, 1当 x a 时,过点 P 的切线斜率 k 一定存在,且 0|x x k y =对式求导 :20222 b yy x a= 02020 |x x b x k y a y = 切线方程为 200020( b x y y x x a y -=- , 点 00(, P x y 在双曲线 22221x

7、 y a b-=上,4 故 22221x y a b-= 代入得 00221x x y y a b -=, 而当 x a = 时,00y = 切线方程为 xa = ,也满足 式故 00221x x y ya b-=是双曲线过点 00(, P x y 的切线方程 . 预备定理 3.若点 00(, P x y 是抛物线 22y px =上任一点, 则抛物线过该点的 切线方程是 00( y yp x x =+证明:由 22y px =,对 x 求导得:02 2 |x x pyy p k y y =? = 当 00y 时 ,切线方程为 00( py y x x y -=- 即 2000y y y px

8、 px -=-而 200002( y px y y p x x =? =+, 而当 000, 0y x =时,切线方程为 00x =也满足 式 故抛物线在该点的切线方程 是 00( y yp x x =+.定理 1. 椭圆上一个点 P 的两条焦半径的夹角被椭圆在点 P 处的法线平分 (图 2.1已知:如图,椭圆 C 的方程为 22221x y a b+=, 12, F F 分别是其左、右焦点 , l 是过椭圆上一点 00(, P x y 的切线, l 为垂直于 l 且过点 P 的椭圆的法线 , 交 x 轴于 D设 21, F PD F PD = =,求证: =.证法一 :在 2222:1x y

9、 C a b+=上,00(, P x y C ,则过点 P 的切线方程为 :00221x x y y+= l 是通过点 P 且与切线 l 垂直的法线 ,L5 则0000222211:( ( y x l x x y b a b a -=-法线 l 与 x 轴交于 20( ,0 cD x a 22102022|,|c c F D x c F D c x a a=+=- 201220|a cx F D F D a cx +=- 又由焦半径公式得 :1020|,|PF a ex PF a ex =+=- 1122|F D PF F D PF = PD 是 12F PF 的平分线 = ? =+=+90,

10、 故可得 ? = 证法二 :由证法一得切线 l 的斜率 02020 |x x b x k y a y =-=, 而 1PF 的斜率 010y k x c =+, 2 PF 的斜率 020yk x c l 到 1PF 所成的角 满足2002222220000012222001000200tan 1( 1( y b x x c a y a y b x b cx k kb x y kk a b x y a cy x c a y-=+-+-+ + 00(, P x y 在椭圆 2222:1x y C a b+=上tan b cy=同理, 2PF 到 l 所成的角 满足 2220tan 1k k b k

11、k cy -= + tan tan 而 , (0=, 2 =证法三 :如图, 作点 3F , 使点 3F 与 2F 关于切线 l 对称, 连结 1F , 3F 交椭圆 C 于 点 P6下面只需证明点 P 与 P 重合即可一方面 ,点 P 是切线 l 与椭圆 C 的唯一交点 ,则 12|2PF PF a +=是, l 上的点 到两 焦点距离之和的最小值 (这是因为 l 上的其它点均在椭圆外 另一方面 ,在直线 l 上任 取另一点 P 12131312| | | | | | |P F P F P F P F F F P F P F +=+=+即 P 也是直线 AB 上到两焦点的距离这和最小的唯一点

12、 ,从而 P 与 P 重合 即 而=得证定理 2 双曲线上一个点 P 的两条焦半径的夹角被双曲线在点 P 处的切线 平分（图 2.2;已知:如图, 双曲线 C 的方程为 22221x y a b-=, 1F , 2F 分别是其左、 右焦点, l 是 =, 2F PD过双曲线 C 上的一点 00(, P x y 的切线, 交 x 轴于点 D , 设 1F P D = 求证: =证明:2222:1x y C a b两焦点为 1(,0 F c -, 2(,0 F c (222b a c +=00(, P x y 在双曲线上则过点 P 的切线00221x x y ya b-= 切线 l 与 x 轴交于

13、 2(,0 a D x 。由双曲线的焦半径公式得1020|,|c cPF x a PF x a a a=+=- 双曲线的两焦点坐标为 0, (c F , 0, (c F -图 2.27 故 011102000220|,|,|cx a PF DF a c a c DF x a DF x a x a x a PF DF x a a+=+=-=- 故 ? = =, 切线 l 为 F FP 之角分线。定理 3 抛物线上一个点 P 的焦半径与过点 P 且平行于轴的直线的夹角被 抛物 线在点 P 处法线平分 (图 2.3。 已知:如图,抛物线 C 的方程为为 24y cx =, 直线 l 是过 抛物线上一

14、点 00(, P x y 的切线 , 交 x 轴于 D , , DPF PDF =, 反射线 PQ 与 l 所成角记为 ,求 证 : =证明: 如图 ,抛物线 C 的方程为2:4C y cx =,点 00(, P x y 在该抛物线上 ,则过点 P 的切线为 00( y y p x x =+ 切线 l 与 x 轴交于 0(,0 D x - 焦点为 0, (c F , =同 (位角 00|,|PF x c DF x c =+=+ |PF DF = ?= =通过以上问题转化可知 ,圆锥曲线的光学性质是可以用我们学过的知识证 明 的。那么它在解题和生产生活中有何应用呢 ? 三、圆锥曲线的光学性质的应

15、用 3. 1 解决入射与反射问题例 1. 设抛物线 2:C y x =,一光线从点 A(5, 2 射出,平行 C 的对称轴 ,射图 2.38在 C 上的 P 点, 经过反射后 , 又射到 C 上的 Q 点, 则 P 点的坐标为 , Q 点的坐标为 。解:如图,直线 AP 平行于对称轴且 A(5, 2 ,则 P 点的坐标为 (4, 2 反射线 PQ 过点 1(,0 4F 设 2(, Q t t ,则 2281115- 解得 :18t =- 11(, 648Q - 例 2. 已知椭圆方程为 252x +162y = 1,若有光束自焦点 A (3, 0 射出,经二次反射回到 A 点,设二次 反射点为

16、 B , C ,如图 3.1.2所示,则 ABC 的 周长为 。解:椭圆方程为 252x +162y = 1 中 , 225169c =-= A (3, 0 为该椭圆的一个焦点自 A (3, 0 射出的光线 AB 反射后,反射光线 AC 定过另一个焦点 A (-3, 0故 ABC 的周长为 44520AB BA A C CA a += ? =例 3. 双曲线 22:188x y C -=,又 A C ,已知 A (4,22 , F (4, 0 ,若由 F 射至 A 的光线被双曲 线 C 反射 , 反射光通过 P (8, k , 则图图 3.1.2图3.1.39 =。解:入射线 FA 反射后得到

17、的光线 AP 的反向延长线定过双曲线的另一 个焦 点 (4,0 F -128k k =?=3. 2 解决一类“距离之和”的最值问题张奠宙教授说“在一般情况下 ,光线在传播过程中 ,总是选择最近的路线从一点 传播到另一点。这虽然还只是一种停留 “经验、感觉”层面上的结论,但却为我们研 究一类“距离之和”取 值范围问题时指明了思考的 方向,从而解决了一个从“想不到 到“想得到”的关键问题。如果再辅 以严格的数学证明 ,这种“经验、感觉”依然是很 有价值的、不可替代的。 ”我 读了他的文章 ,深受启发 ,并用圆锥曲线的光学性质解 决了我们经常见到而又觉得复杂的一类最值问题。例 4. 已知椭圆 C :

18、221259x y +=, F 1、 F 2为分别是其左右焦点 ,点 Q(2, 1 , P是 C 上的动点,求 |MF1|+|MQ|的取值范围。(一分析猜想 :(1 经计算, Q (2, 2 点在椭圆内 , 由于椭圆是封闭图形 , 因此 |MF1|+|MQ|应该有 一个封闭的取值范围 ,既有最小值也有最大值。（2同样根据光线的 “最近传播法则 ”结 , 合椭圆的光学性质 ,可得:从 F 1射出被椭 圆反射后经过点 Q 的光线所经过的路程往往是最短的。这种 情况又分为两类 ,一是 被上半椭圆反射 （如图 3.2.1,光线从F 1P 1Q 二, 是被下半椭圆反射 （如图 3.2.2,光线从 F 1

19、P 2F 2Q究 ,竟 哪种情况 距离之和更小呢 ?显然,根据椭圆定义 ,图 3.2.1中的 |P1F 1|+|P1Q|2a可, 见图 3.2.1 所示的情 况距离之和更小。10 但是,最大值又是多少呢 ?图 3.2.2所示的光线又有什么特点呢 ? 将图 3.2.1. 和 图 3.2.2中的光线反射路线合并图 3.2.3,由于 |P2Q| +|P2F 1|+|P1Q|+|P1F 1是|定值 4a（a 为椭圆长半轴长 ,而 |P1Q|+|P1F 1由| 前面 知最小,由此猜测 |P2Q| +|P2F 1可| 能就是最 大值。（二证明 |P1F 1|+|P1Q是| 最小值。 如图 3.2.2,连接

20、 Q F 2,延长交椭圆于 P 2,在椭 圆上另取一点 2P ,由椭 圆定义知:|P2Q|-|QF2| +|PF1| = |2P F 1| +|2P F 2|（*因 ,为 |2P F 2| |2P Q|-|QF2|代, 入（*式得 |P2Q|-|QF2| +|P2F 1| |2P F 1| +|2-|PQ FQ2|所 以, |P2Q| +|P2F 1| |2P F 1|P + |Q2|。猜想得证。（三计算:综上所述 ,只需求出 2|F Q =可得最小值为 22|10a F Q -=-最大值为 22|10a F Q +=+例 5. 已知双曲线 C :213y x -=, F1、 、 F 2为分别

21、是其左右焦点 , 点 9（4, 2Q ,M 是 C 上的动点 ,求 |MF2|+|MQ|的取值范围。分析猜想 :经计算, Q 点在双曲线右支开口内部。由于双曲线是不封闭 曲线,显 然 |MF2|+|MQ|可以无限大 ,故要求 |MF2|+|MQ| 的取值范围 ,关键是 求出 |MF2|+|MQ| 的最小值。根据光线的 “最近传播 ”特点,我们猜想 :从 F 1射出经双曲线反射后经过 点 Q 的光线所经过的路程往往是最短的 , 再结合 双曲线的光学性质 （从一个焦点射 出的光线经椭圆周反射 ,反射光线的反 向延长线经过另一个焦点 , 可作出从 F 1射 出被双曲线反射后经过点 Q 的光 线:连接

22、 F 1Q ,与双曲线的交点即为使得 |MF2|+|MQ|最小的点 ,设为 P 点, 光线从 F 2P Q。 （见图 2（二证明:如图 2:按猜想作出点 P ,由于所求点 P 显然不在双曲线 的左支上 （此时 显然距离之和不会最小 ,故在右支上另取一点 P ,由双曲 线定义知 :|PF1|-|PF2| = |P F 1| -|P F 2|即, |PF1|+|P F 2| = |P F 1| +|PF2|因, 为 |PF1|+|PQ| |P Q| +|P F两 1边|, 同加 |PF2|得:所以 |PF1|+|PQ| +|PF2| |P Q| +|P F 1|+ |PF2|=|P Q| +|PF

23、1|+故|P F 2|, |PQ|+|PF2| |P Q|+F| P2 |,猜想得证。 （三计算:由题意知 19（2,0, （4, 2 2112|PQ PF FQ F P PF +=-+=112|（|FQ F P PF - =1|2FQ A -= 11 2 例 6已知抛物线 C： y 2 4x ， F 是其焦点，点 Q（2,1 ， M 是 C 上的 动点，求 |MF|+|MQ|的取值范围。 。 分析：由于抛物线不是封闭曲线，显然没有 最 大值，因此关键是求最小值。根据抛物线光学 性质（从焦点射出的光线经抛物 线反射，反射 光线与对称轴平行，反之也成立） ，结合光线 的“最近传播 ”特点， 我们

24、猜想：过 Q 与对称 轴平行的直线与抛物线的交点可能就是使距 离之和最小的 点，设为 P 点（见图 3.2.6） 。可 由抛物线的定义证明猜想是正确的。且 |PF|+|PQ| 3 3 圆锥曲线光学性质在解决与 “切线”相关问题时起简捷作用。 光 线反射总是满足反射定律（入射角等于反射角） ，光线被曲线反射也 不例外，此 时的法线就是过反射点的曲线的切线的垂线。可见，曲线的切 线和与曲线有关的 反射问题有着密切联系。 以椭圆为例：如图 3.3.1，l 是过椭圆周上一点 P 的椭圆 的切线， m 是 P 点处的法线，光线从 F1（F2）射出被椭圆反射经过 F2（F1） ， 满足1=2，且3=4。 l 2 P 1 2 3 4 5 F1 O m -2 F2 图 3.3.1 图 3.3.2 例 7已知 l 是过椭圆 C： x2 y