整理函数的凸凹性与拐点

1、5 5 函数的凸性与拐点教学目的与要求：掌握凸函数凹函数的定义掌握可导函数为凸函数的充要条件掌握拐点的定义掌握判断函数拐点的必要条件和充分条件教学重点，难点：可导函数为凸函数的充要条件拐点的判别方法教学内容：作函数的图形时，仅知道函数单调性是不够的，还应知道其曲线弯曲的情形，即曲线凹凸的概念, ,读者已经熟悉函数f（x）=x2和f（x）=、厚的图象。它们不同的特点是：曲线y=x2上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方；而曲线y=则相反，任意两点间的弧段总在这两点连线的上方，我们把具有前一种特性的曲线称为凸的，相应的函数称为凸函数：后一种曲线称为凹的，相应的函数称为凹函数。定义 1 1 设f为定

2、义在区间 I I 上的函数，若对 I I 上的任意两点x1,x2和任意实数（0，（0,1）总有f（儿xi+（1九）x2）M九f（xi）+（1-?.）f（x2）,（1 1）则称f为 I I 上的凸函数.反之，如果总有f（九x1+（1-？Jx2）之九f（xj+（1-九）f仪2，（2）则称f为 I I 上的凹函数。如果（1 1）、（2 2）中的不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函图 6-126-12 中的（a a）和（b b）分别是凸函数和凹函数的几何形状，其中x=，凶+(1九)x2,A=f(x1),B=f(x2),C=ZA+(1，JB。容易证明：若-f为区间 I I 上的凸函

3、数，则f为区间 I I 上的凹函数，因此今后只需讨论凸函数的性质即可。引理f为I上的凸函数的充要条件是：对于 I I 上的任意三点x1x2x3，总有f(x2)-f(xi),f(x3)-f(x2)x2-xix3-x2(析)必耍性要证式成立，需证(x3-x2)f(x2)(x2-xi)f(x2)-(x3-x2)f(xi)(x2-xi)f(x3)即.(x3xjf(x2)M(x3一x2)f(xj(x2一x1)f(x3),、一xo-x0记九=,则x2=Zxi+(i九)x3,由f的凸性易知上式x3-xi成立.充分性在 I I 上任取两点x1，x3(x1x3),在rx3-x2一，rx2=儿xi+(1K)x3,

4、九w(0,1),即人=-一2,由必要性的推导逆过程，可证得x3-xif(xi(11)x3)三f(xi)(1-1)f(x3), ,故f为I上的凸函数。口注同理可证，f为I上的凸函数的充要条件是：对于I上任意三点x1x2x3,有f(x2)f(xi)f(Xi)+f(X1)(X2-Xi)(5)(析)(1丁2)要证f为 I I 上的递增函数，只需任取I上两点Xi,X2(XiX2)及充分小的正数h,证明f(Xi)-f(Xi-h)f(X2h)-f(X2)成乂,hh由f是可导函数，令hT0+时便可彳导结论导结论. .由于Xi-hXiX2X2+h,根据f的凸性及引理有f(Xi)-f(Xi-h),f(X2)-f(

5、Xi),f(X2h)-f(X2)hX2-xih(2“T3)在以Xi,X2(XiCX2)为端点的区间上，应用拉格朗日中值定理和f递增条件，有f(X2)-f(Xi)=f()(X2-Xi)-f(Xi)(X2-Xi)移项后即得(5)式成立，且当X1AX2时仍可得到相同结论(3i)设以Xi,X2为 I I 上任意两点，X3=%+(i-九)X2,0(九i。由3；并利用Xi-X3=(i-&(Xi-X2)与X2-X3=%(X2-Xi),f(Xi)占f(X3)+f(x3)(Xi-X3)=f(x3)+(i-%)f(x3)(XiX2),f(X2)-f(X3)f(X3)(X2-X3)=f(X3)f(X3)(X

6、2-Xi)分别用九和i-九乘上列两式并相加，便得f(x1)(1-)f(x2),f(x3)-f(-X1(1-)x2)从而f为 I I 上的凸函数。注 1 1 论断3二的几何意义是：曲线y=f（x）总是在它的任一切线的上方（图 6-146-14）。这是可导凸函数的几何特征。对于凹函数，同样有类似于定理 6.136.13 的结论。定理 6.146.14 设f为区间 I I 上的二阶可导函数，则在 I I 上f为凸（凹）函数的充要条件是f（x）_0（f（x）0(i=1,2,，n),%=1,有i4/nnfZ九iXi卜九if(x).(6)IJii证应用数学归纳法，当n=2时，由定义 1 1 命题显然成立，

7、设n=k时命题成立，即对任意X1,X2，Xkwa,b及k%0,i=1,2,，k,%=1,i1都有fiXi二if(Xi).i1i1现设x1,x2J,xk,xk噌wa,b及k1i0(i=1,2,k1)：i=1i1,k令四=一:,i=1,2，匕则%=1由数学归纳法假设可推得1一k1i1f(11XI12X2kXkk1Xk1)_i,.,/-iX-1+7.2X2+,JL+/-kXk= =T(IAk卅):十k,xk书1，-k用/-(1-1k1)T(-：1X1-二2X2”,二kXk),k1T(Xk1)三(1-k1)IT(Xi)二2T(X2)：；+：kT(Xk)kif(Xk1)=(1限)1rT(X1)+T(X2

8、)+-+T(Xk)J九k书1一*-k书1一标中k1+1k+T(Xk+)=EAT(X)。i1这就证明了对任何正整数n(之2),凸函数T总有不等式(8)成立。口a：b：C例 4 4 证明不等式(abc)30.由T(X)的一阶和二阶导数一一.1T(x)=lnx1,T(x)=-x可见，T(x)=xlnx,x0.时为严格凸函数，依詹森不等式有Q+b+c、1Tbj-(T(a)+T(b)+T(c),333从而abcabc1-In-一-(alnablnbclnc),abca+b+cajceabc3)又因 3,3,晶 wWlc,wWlc,所以a-bc(abc)3aabbcco口例 5 5 设f为开区间 I I

9、内的凸(凹)函数，证明f在 I I 内任一点X0都存在左、右导数。证下面只证凸函数f在x0存在右导数，同理可证也存在左导数和f为凹函数的情形。设0chih2,则对x0 x0+h1cx0+h2(这里取充分小的h2,使x0+h2wI),由引理中的(4)式有f(xhi)-f(x0)二f(x0h2)-f(x0)hih2令F(h)=f(x0+h)-f(Xo),故由上式可见 F F 为增函数，任取xwI且x0,只要x0+hwI,也有f(x0)-f(x),f(xh)-f(x)；u=F(h)x0-xh由于上式左端是一个定数， 因而函数F(h)在h0上有下界。 根据定理 3.103.10 极限F(h)存在， 即

10、f+(x0)存在。注由例 5 5 易知开区间 I I 内的凸(凹)函数一定处处连续从几何上看，研究曲线的形态变化时，其函数凹、凸区间的分界点十分重要，我们称之为拐点，下面给出拐点的精确定义.定义 2 2 设曲线y=f(x)在点(x0,f(x。)处有穿过曲线的切线，且在切点近旁，曲线在切线的两侧分别是严格凸和严格凹的，这时称点(x0,f(x0)为曲线y=f(x)的拐点。由定义可见，拐点正是凸和凹曲线的分界点，如图 6-156-15 中的点 M M例 1 1 中的点(0,0)0,0)为y=arctanx的拐点。容易验证：正弦曲线y=sinx有拐点(kn,0),k为整数。读者容易证明下述两个有关拐点

11、的定理。弦曲线y=sinx有拐点(k%0),k为整数。读者容易证明下述两个有关拐点的定理。定理 6.156.15 若f在Xo二阶可导，则(Xo,f(Xo)为曲线y=f(x)的拐点的必要条件是f(X0)=0定理 6.166.16 设f在x0可导，在某邻域Uo(x0)内二阶可导.若在U；(x0)和U：(x0)上f“(X)的符号相反，则(x0,f(x。)为曲线y=f(x)的拐点.注1右(x0,f(xO)是曲线y=f(x)的一个拐点，y=f(x)在X0的导数不一定存在.请考察函数y=3/x在X=0的情况.注 2 2 与函数的极值点不同，拐点是从几何角度定义的，是平面上的点，必须用两个坐标来表示，定义

12、2 2 设曲线y=f(X)在点(x,f(x)处有穿过曲线的切线，且在切点近旁，曲线在切线的两侧分别是严格凸和严格凹的，这时称点(x0,f(x0)为曲线y=f(X)的拐点。由定义可见，拐点正是凸和凹曲线的分界点，如图 6-156-15 中的点 M M例 1 1 中的点(0,0)0,0)为y=arctanx的拐点。容易验证：正注 3 3 曲线的拐点就是凹凸区间的分界点应的曲线上的点中找拐点，注 4 4 设f在X0的某邻域内有三阶连续导数(X0,f(X0)是曲线y=f(x)的拐点.从几何上看，研究曲线的形态变化时，其函数凹、点，下面给出拐点的精确定义.,因此应在使得y=0和二阶不可导点所对且f(x0

13、)=f(x)=0,f北x0)=0,则凸区间的分界点十分重要，我们称之为拐4mfi15定理 6.156.15 若f在Xo二阶可导，则(Xo,f(Xo)为曲线y=f(x)的拐点的必要条件是f(X0)=0定理 6.166.16 设f在x0可导，在某邻域Uo(x0)内二阶可导.若在U：(x0)和U：(x0)上f“(X)的符号相反，则(x0,f(x。)为曲线y=f(x)的拐点.注 1 1 若(X0,f(X0)是曲线y=f(x)的一个拐点，y=f(x)在X0的导数不一定存在.请考察函数y=Vx在x=0的情况.注 2 2 与函数的极值点不同，拐点是从几何角度定义的，是平面上的点，必须用两个坐标来表示注 3

14、3 曲线的拐点就是凹凸区间的分界点，因此应在使得 y y“=0=0 和二阶不可导点所对应的曲线上的点中找拐点，注 4 4 设f在X0的某邻域内有三阶连续导数，且f(x0)=f(x0)=0,fw(x0)#0,则(X0,f(x)是曲线y=f(x)的拐点从几何上看，研究曲线的形态变化时，其函数凹、凸区间的分界点十分重要，我们称之为拐点，下面给出拐点的精确定义. .定义 2 2 设曲线y=f(x)在点(X0,f(x0)处有穿过曲线的切线，且在切点近旁，曲线在切线的两侧分别是严格凸和严格凹的，这时称点(x0,f(x0)为曲线y=f(x)的拐点。由定义可见，拐点正是凸和凹曲线的分界点，如图 6-156-15 中的点 M M例 1 1 中的点(0,0)0,0)为y=arctanx的拐点。容易验证：正弦曲线y=sinx有拐点(k%0),k为整数。1读者容易证明下述两个有关拐点的定理。定理 6.156.15 若f在X0二阶可导，则(X0,f(X0)为曲线y=f(x)的拐点的必要条件是f(x0)=0定理 6.166.16 设f在x0可导，在某邻域Uo(x0)内二阶可导.若在U：(x0)和U：(x0)上f”(x)的符号相反，则(x0,f(x。)为曲线y=f(x)的拐点.注 1 1 若(x0,f(x0)是曲线y=f(x)的一个拐点，y=f(x)在x0的导数不一定存在.请考察