数学高考导数难题导数零点问题导数整理

1、含参导函数零点问题的几种处理方法方法一：直接求出，代入应用对于导函数为二次函数问题，可以用二次函数零点的基本方法来求。(1)因式分解求零点1.1.例1讨论函数f(x)-ax(a-)x2x1(aR)的单调区间32解析：即求f'(x)的符号问题。由f'(x)ax2(2a1)x2(ax1)(x2)可以因式分方法二：猜出特值，证明唯一对于有些复杂的函数，有些零点可能是很难用方程求解的方法求出的,这时我们可以考虑用特殊值去猜出零点，再证明该函数的单调性而验证其唯一性。1Q1例4讨论函数f(x)(xa1)e-x-(a解析：f'(x)(xa)exx2(a1)xa(x是exx10的根，

2、不能解。1)x2ax,aR,的极值情况a)(exx1),只能解出f'(x)的一个零点为a,其它的零点就例5(2011高考浙江理科)设函数f(x)(xa)2Inx,aR(l)若xe为yf(x)的极值点，求实数a(n)求实数a的取值范围，使得对任意的x(0,3e,恒有f(x)4e2成立(注：e为自然对数)，方法三：锁定区间，设而不求对于例5,也可以直接设函数来求，当0x1时，对于任意的实数a,恒有f(x)024e成立当1x3e,由题意，首先有_、2_2f(3e)(3ea)ln(3e)4e，解得3e2e.ln(3e)c2e，、a3ej由f'(x).ln(3e),、一，a、，(xa)(

3、2lnx1一),但这时x会发现f'(x)0的解除了xa外还有21nx19=0的解，显然无法用特殊值猜出。xa0,h(a)2lna0,a、令h(x)2lnx1一，注意到h(1)1x3e且h(3e)2ln(3e)12ln(3e)13e2e.ln(3e)3e=2(ln3e13Jn(3e)>0OXo,则1Xoa。从故f'(x)0在(1,a)及(1,3e)至少还有一个零点，又h(x)在(0,+m)内单调递增，所以函数h(x)在(1,3e内有唯一零点，但此时无法求出此零点怎么办。我们可以采取设而不求的方法，记此零点为而，当x(0,Xo)时，f'(x)M0；当x(xo,a)时，

4、f'(x)"a；当x(a,)时，f'(x)0,即f(x)在(0,%)2内单倜递增，在(xo,a)内单调递减，在(a,)内单调递增。所以要使f(x)4e对x(1,3e恒成立，只要f(X0)(X0a)InX04e,(1)22成乂。f(3e)(3ea)ln(3e)4e,(2)a23h(x0)21nx01一0,知a2lnx0x0(3)将(3)代入(1)得4x0In%4e,又x0A1,汪息到函Xo数x21n3x在1,+8)内单调递增，故1yx0e。再由(3)以及函数2x1nxx在(1.+°°)内单调递增，可得1Ya3e。由(2)解得,2e3e,1n(3e)2

5、ea3e,1n(3e)。所以3e2e-1n(3e)a3e综上，a的取值范围为3e三a3e。1n(3e)已知函数f(x)axx1n|xb|是奇函数，且图像在(e,f(e)(e为自然对数的底数)处的切线斜率为3(1)求a,b的值(2)若kZ,且kf时对任意xx11恒成立，求k的最大值。(2009高考全国n理科)设函数2fxxaIn1x有两个极值点xx2,且x1x2(I)求a的取值范围，并讨论fx的单调性；(II)证明：fx2121n24方法四：避开求值，等价替换。对于有些函数的零点问题，可能用方法一、二、三都无法解决，这是我们可以考虑回避求其零点。避开方法：放缩不等式例8设函数f(x)ex1xax

6、2(i)若a0,求f(x)的单调区间(n)若当x0lf(x)0,求a的取值范围。与例8类似,卜面的2010高考全国n理科的最后一题，也是这样的处理方法。设函数fx1ex.x(I)证明：当x>-1时，fx；x1xax1(n)设当x0时，fx,求a的取值范围.例1、己知函数打“)二为市奴)是实数集R上的声由数.函数g(.T)=MG)+5工是区间-1,口上的减函数.耽的面(n-g(x)v1十力+1在x-1.1上但成立，-t的取值葩圉.no讨论关于x的万理l三力的根的个数，/(x)变式1、若g(工)=61nx+也问是否存在实数m,使得y=f(x)=7,+8x的图象与y=g(X)的图象可且只有两个

7、不同的交点？若存在，求出m的假；若不存在，说明理白.受式2、已知函数危尸一V-8*g(x)=6ltw-优(I)求人X电区间U+1)上的最大值和方(II)是否存在实数用.使更.1次0的图象与忏虱X)的图象有且只有三个不同的交点？若存在,求出川的取退范国”若不存在，说明理由，例2.已知函数ftx)=axM)x2-3x在x=±l处取得极值.(I)求函数Rx)的解析式:(II)求证：对于区间-1,1上任意两个自变量的值七，x2,都有1Hxi)岖2)三心(III)若过点A(1,m)(mx2)可作曲线产於)的三条切线，求实数m的取值范圉.变式4.已知函数/(x)=61nx-a/-8x十从“8为常

8、数)，且x=3为f(x)的一个极值点(I)求a；CH)求函数/(x)的就调区同：(HI)若y=/(x)的图象与x轴有且只有3个交点，求的取值范圉.例4.已知函数/(工)=ln.T<I)若尸(x)二八.一"(4gR),求尸(X)的极大值：X<11)若6(工)=/(X)一去在定义域内单调递荻.求满足此条件的实豢女的取值范围.变式5、已知两个二次函数：y=/(x)=ax2+)v+1与y=g(x)=a-bx+1(。>0).函数y=g<x)的田像与工箱有两个交点,其交点横坐标分别为怎,.0($<.)<1)试证：/=/(工)在(一1,1)上是单调函数(2)当。

9、>1时,设.q,X是方程小二十五丫+1=0的两实根.且试判断与，勺，天的大小关系变式6.设函数/(x)=e'f%其中加wR.(1)求函勃f(x)的最值：(2)判断，当加>1时，函数/(久)在区间(小2机)内是否存在零点©例1设函数/(.t)=(x-«)2lnt，求实数”的取值范围,使得对任意的口£。3日,恒有/W4e:成立.例2设函数/(；r)=e2,-nlnx.(1)讨论/(a)的导函数/。)的零点的个数;(2)证明：当a>0时./(x)2«+ulnj例3设函数/(“)=.*，.若当*时/口)？0.求”的取值范UXJ例4已知例

10、数/(x)=ln'(l+x)-rq,求函数算)的极值.例5已知酸山)=也芈(A泞常就0=2.71828-e是自然对数的底数)，曲线y=/W在点(1/3)处的切线与久轴平行.(1)求A的值；(2)求/(*)的单调区的;(3)设小)=，+»/1).其中/%)是/(X)的导数.证明：对任意%>0,g(4)<1+e".例6设函数/(x)=ln(x+l)+<r-r),其中aeR.讨论函数/极值点的个数.并说明理由.例】（2013年课标n理21）已知函数/（）="一】n（z+m）.（I）设工=0是外储的极值点，求加，并讨论八外的单调性；（口）当加42

11、时,证明：/（工）0.=jrliiz+ajc（aWR）.（I）若函数八）在区间1/，+8）上为增函数，求以的取值范围；（D）若对任意N0（1,+8）,/（»上（工一1）+"-2恒成立，求正整数左的值.例3（2014年新课标u文21）已知函数/（x）=y3n“+or+2,曲线）=/（X）在点（0,2）处的切线与x轴交点的横坐标为-2.（I）求外（H）证明：当4VI时，曲线y=/Gr）与直线一2只有一个交点.例4（2015年郑州模拟21）已知函数“为=Inrj-or2+#,aGR,（I）求函数/（Z）的单调区间；（E）是否存在实数%使得函数/Cr）的极值大于。，若存在，求a的取

12、值范围；若不存在，请说明理由.1,设函数八工)=/一ar2.,(I)求/(幻的单调区间,(口)若。=1，为帙数且当工>0时(了一幻/'(外+工+1>0,求k的最大值.2.已知函数/(G=六/+12+欢+1在M(-1,0)上有两个极值点©,耳，旦见<121(I)求实数。的取值范围,(U)证明J5)>总例5已知函数/(“)=e'-Q4-l,其中。为实数.当2/时,若关于之的不等式/(工)N0恒成立，试求Q的取值范围.例1(2007年安徽高考题)设常数a20,函数/(%)=x-ln2x+2alnx-1e(0.+8).(1)求证/(%)在(0.+8)上

13、是增函数;(2)求证:当力>1时，恒有x>n2x-2alnx+1.例2(2008年湖南高考题)已知函数/(x)=1/(1+%)-，一,求函数/(%)的单调区间.例3已知函数f(%)=ax2+2%(a/0),g(无)=ln“.是否存在实数a>0,使得方程殁2=广-(2“+1)在区间(十同内有且只有两个不相等的实数根?若存在,5R出。的取值范围?若不存在,请说明理由.例4已知函数/(切=父+字(awR),g(”)=Inx.若关于名的方程式d=/(«)-X2e(e为自然对数的底数)只有一个实数根，求。的值.例6(2010年海南与宁夏高考题)若V*20,e*>1+x+

14、a/,求a的取值他用.例1(2013年江苏省高考理科第20题第(II)题)设函数/(.r)=In.vax.g(x)=eax,其中“为实数.(1)若/(工)在(1+8)上是单网减函数|.g(i)在(1,+8)上彳j瓜小值.求a的取值范围;(11)若g(工)在(-1+8)上是单调增函数.试求/(X)的零点个数.并证明你的结论.例2(2013年陕西省高考理科第21题第(11)题)已知函数/(.r)=/.、GR.(I)若克线>=Av+1与/(x)的反函数的图象相切.求实数A的值;(11)设汇>0.讨论曲线y=/(x)与曲线y=公共点的个数.(III)设Vb.比较/(*/e)与川厂八公的大小

15、.并说明理由.h-a例3(2013年广东省高考理科第21题第(11)题)设函数/'(x)=(.V1)eJiGR.(I)q1k=1时.求函数f(x)的单调区间:(|)当A-e(!1.求函数/()在0.妇上的最大值时.例5(2013年安徽省高考理科第20题)设函数/“(.、.)=一1+x+*+$+步().GR,丘N"),证明:(1)对每个"GN”存在唯一的K"W11,满足fn(Xn)=0；(II)对任意N'.|1|(1)中n1构成的数列、>满足0V、“一V.例6(2013年天津市理科第20题第(11)、(III)题)已知函数/(二)=ln；v.(

16、1)求函数/(、)的单调区间：(11)证明:对任意的/>0.存在唯一的$使t=/($)(III)设(11)中所确定的s关卜/的函数为s=g.证明:当/>/时俏<hlj，J<.例7(2013年陕西省高考理科第21题第(H1)题改编)已知函数/(H)=ex.rGR.对于给定的/“<知存在£(6.使得八3)=考三俨<求证：3>用例3(2014年辽宁卷)已知函数人口二8(CO8x-)(1T+2«)-M(sin%+1).8(欠)=3(x-it)cob«-4(I+sin")In(3-j.求证:存在唯一与£(0,学)

17、，便/(4)=0；(2)存在唯一.e(作,廿)，使g(9)=0,且对(I)中的方+“1<e例4(2014年山东卷)设函数/(胃)=4%-.!+1114)(心为常数，©=2.71828是自然对数的底数).(1)当上W0时,求函数/(%)的单调区间;(2)若函数/(C)在(0,2)内存在两个极值点，求A的取值范围.例5(2012年山东卷)巳知函数/(%)二吗"(&为常数,。=2.71828是自然对e数的底数)，曲线y=/(x)在点(1J(D)处的切线与x轴平行.(1)求的值；(2)求/(”)的单询区间；(3)设g(4)=其中f'(%)为/(%)的导函数，证明：对任意4>0,8(%)<1