数学分析复习提纲全部版

1、R为实（比数学分析（4）复习提纲第一部分实数理论§1实数的完备性公理一、实数的定义在集合R内定义加法运算和乘法运算，并定义顺序关系，满足下面三条公理，则称数域或实数空间。（1）域公理：（2）全序公理：（3）连续性公理（Dedekind分割原理）：设R的两个子集A,A满足：1 A,A2 AAR3 °xA,xAxx则或A中有最大元而A中无最小元，或A中无最大元而A中有最小元。评注域公理和全序公理都是我们熟悉的，连续性公理也称完备性公理有许多等价形式如确界原理），它是区别于有理数域的根本标志，它对实数的描述没有借助其它概念而非常易于接受，故大多数教科把它作为实数理论起步的公理。二

2、、实数的连续性（完备性）公理实数的连续性（完备性公理）有许多等价形式，它们在使用起来方便程度不同，这些公理是本章学习的重点。主要有如下几个公理：确界原理：单调有界定理：区间套定理：有限覆盖定理：（Heine-Borel）聚点定理：（Weierstrass）致密性定理：（Bolzano-Weierstrass）柯西收敛准则：（Cauchy）习题1证明Dedekind分割原理与确界原理的等价性。习题2用区间套定理证明有限覆盖定理。习题3用有限覆盖定理证明聚点定理。评注以上定理哪些能够推广到欧氏空间Rn?如何叙述？§2闭区间上连续函数的性质有界性定理：上册P168;下册P102,Th16.

3、8;下册P312,Th23.4最值定理：上册P169;下册下册P102,Th16.8介值定理与零点存在定理：上册P169;下册P103,Th16.10一致连续性定理（Cantor定理）：上册P171;下册P103,Th16.9;下册P312,Th23.7习题4用有限覆盖定理证明有界性定理习题5用致密性定理证明一致连续性定理§3数列的上（下）极限三种等价定义：（1）确界定义；（2）聚点定义；（3）N定义评注确界定义易于理解；聚点定义易于计算；N定义易于理论证明习题6用区间套定理证明有界数列最大（小）聚点的存在性。（P173）习题7证明上面三种定义的等价性。第二部分级数理论§1

4、数项级数前言级数理论是极限理论的直接延伸，但又有自身独特的问题、特点和研究方法。上（下）极限是研究级数的一个有力工具。对于数项级数，可看作有限个数求和的推广，自然要考虑如何定义其和，两个级数的和与积，结合律、交换律是否还成立等问题。级数的收敛性与无穷积分有着极大的相似性，学习时要注意二者的比较。一、Cauchy收敛准则UnU1U2n1几个概念部分和？收敛？发散？绝对收敛？条件收敛？收敛的必要条件un收敛un0n1评注此结论由UnSnSn1两边取极限即得证，也可由下面的Cauchy收敛准则得到。要注意此性质与无穷积分有较大差另J。对于收敛的无穷积分f(x)dx即使f(x)0也不a能推出f(x)0

5、(x)(参见反常积分)Cauchy收敛准则un收敛0,N,nN,p,有n1SnpShun1un2unp思考正面叙述级数发散的Cauchy准则。加括号对于收敛的级数可以任意加括号，新的级数仍收敛且其和不变。也就是说收敛的级数满足结合律。评注只要认识到加括号后级数的部分和是原级数部分和的子列即可得到这一结论。我们常常利用这一点证明一个级数的发散性，即先证明加括号的发散，从而推出原级数(去括号的)也发散。二、正项级数正项级数的特点是部分和数列是单调递增的，由此得：基本结论正项级数收敛其部分和有上界。比较判别法：比较判别法的极限形式：评注对于比较判别法，主要考虑n充分大以后(nn0)un与vn的大小关

6、系，因此极限形式更方便。如果lim巴l(0lVn),要认识到，当n充分大时，Un与vn是“等价”的，即大小“差不多”，确切地说当n0时，存在正常数。和C2使GVnUnC?Vn,由此GUnVnc2un。如果,它们的“大小”关系如何?根式判别法n设limUn1时，Un收敛；当l1时，Un发散。比式判别法q1,则un收敛;习题Un1limUnUn发散。证明上面根式判别法习题证明lim1limnUnlimnUnUn-Un1八lim(Un0)Un推论：lim%1llimnUnl评注由习题2知，用比式判别法能判别的,用根式判别法一定能判别，但反之不然。也就Un是说根式判别法比比式判别法更有效。换言之，凡根

7、式法无能为力时，比式法一定也无能为力。但是，它们在判别发散时，却没有谁比谁有优势可言，都是用一般项不趋于零来推断的。这一点要特别注意，我们在讨论哥级数的收敛半径时就要用到此结论。什一，1习题3考虑级数一2322333,说明根式法比比式法更有效。评注无论是比式判别法还是根式判别法，其实质都与等比级数cqn比较的，对于p级。如果与p一1数必然失效。(这种级数的通项比等比级数的通项收敛于零的速度要慢)np级数比较还可以得到更细致的一些判别法，拉贝判别法就是其中之一。积分判别法:拉贝判别法的极限形式(2n1)111，(2n)!2n1习题4P17,11(1)用拉贝法判别级数(1)一的收敛性，并说明比式法

8、与根式法都无效。般项级数评注对一般项级数un（有无穷多个正项，且有无穷多个负项），一般首先要考虑绝对收敛性（即Un是否收敛），如果是绝对收敛，当然原级也收敛，如果是用根式或比式判别法得到Un发散，则Un必发散（这在前面的评注中已经说过了）。Leibniz判别法：Able引理：Uk,Vk,k1,2,n是两数组，Uk单调，k必Vk,则nUkVkA（Ui2Un），其中kAk1对于形如anbn的级数，设an单调，把Able引理用于nP2M(am2anpakbkkn1其中M满足：S?再结合CaUchy准则,nbkk1附加适当的条件使Pbk1q(b)Q(b)SnpSn2M(%2anp2M）能充分小，便可得

9、到Able和Dirichlet判别法D判别法：（1）an单调；（2）an0；(3)bn有界，则anbn收敛。A判别法：（1）an单调；（2）an有界；（3）bn收敛，则anbn收敛。评注记住A和D判别法的关键是记住Able引理。这两个判别法在函数项级数以及反常积分中还有不同的表现。习题5用D判别法直接证明Leibniz判别法和Able判别法。11习题6讨论级数1123提示：分0,01,1情况讨论。R）的收敛性。答案:1时，收敛，其它发散。习题7利用级数收敛性，证明数列Xn1.，-、，一lnn的极限存在。（注：此极限称为Euler常数0.577216)提示：把Xn看成某数列的部分和。即aiX1,

10、anXnXni(n2,3,）,等价地要证明1.一1、an收敛，an-ln(1-)nn11n2n2,1、ro(F)n,1、0(2)n四、绝对收敛与条件收敛级数的性质重排定理：设un绝对收敛，其和为S,则任意重排后得到的新级数也绝对收敛且其和不变。Riemann定理：设un条件收敛，又,则一定存在un的重排级数un,使其部分和Sn满足：limSn,limSn也就是说一个条件收敛的级数，适当重排后可收敛到任意指定的数，也可按任意指定的方式发散。柯西定理：设un和vn都绝对收敛，unA,vnB,则对所有乘积项uivj按任意顺序排列得到的新级数也绝对收敛且其和等于AB。评注两个级数的乘积最常用的是对角线

11、排列，即Cnu°Vn5Vn1UnV0cn也称un和vn的柯西乘积。§2函数项级数前言函数列是数列的推广，由函数列的收敛又可定义函数项级数的收敛。数列的极限（或数项级数的和）定义了一个数，而函数列的极限函数（或函数项级数的和函数）就定义了一个函数，这样定义的函数往往不是初等函数。我们关心的是极限函数（或和函数）的分析性质（连续性、可微性、可积性）能否保留下来，实质是运算次序是否可交换的问题。一、函数列（函数项级数）的一致收敛几个概念对于函数列：逐点收敛（也称点态收敛）？收敛域？极限函数？一致收敛？对于函数项级数如何叙述以上概念？评注逐点收敛是局部性质，完全就是数列的收敛问题。

12、而一致收敛是整体性质，是我们研究的重点。思考正面叙述不一致收敛。用范数定义一致收敛记|f|supf(x)(称为f的一致范数或无穷大范数)，xD如果|fnf|SUpfKx)f(x)0(n0),则称3(刈在D上一致收敛于f(X)。xD评注|fg|就是两个函数的距离。定义的等价性是显然的(见P29,Th13.2)。这个定义往往使用起来更方便(参见P30,例3)。二、函数项级数一致收敛的判别法Cauchy准则:必要条件：un(x)一致收敛Un(x)0(一致)M判别法(控制收敛判别法)：Able与Dirichlet判别法:习题8设un(x)Ca,b,(n1,2,),u0(x)在(a,b)上一致收敛，证明

13、：(1) un(a),un(b)收敛(2) un(x)在a,b上一致收敛。提示：用Cauchy准则。评注第一结论的逆否命题是判别不一致收敛的一个常用结论。即设un(x)Ca,b,而un(a)发散，则un(x)在(a,a)必不一致收敛。习题9判别下面级数的一致收敛性(1) ln(1一巳)，xan2nlnn/c、sinxsinnx一f,0xn1nx(3) x(x2nn)n,x0,1n1n提示：(1)考虑用M判别法(2)考虑用D判别法(3)考虑用A判别法ancosnx在(0,2)内习题10(参见P34,例7)若数列an单调趋于零，证明级数闭一致收敛，举列说明在（0,2）不一致收敛。11提不：前半部分

14、即书上例题，后半部分例如取an，对Icosnx应用习题8的结论。nn三、一致收敛函数列（函数项级数）的性质连续性（逐项求极限）：可积性（逐项求积）：可微性（逐项求导）：评注容易举例说明没有一致收敛的保证，上述三个性质都不能保证。同时，又可举例说明，上述所附加的条件只是充分条件而非必要条件。要记清楚每个定理的条件尤其是可微性的条件。1C习题11证明f（x）（x-）n在（1,1）连续。n1n提示：该级数在（1,1）并不是一致收敛（为什么？），不能直接用连续性定理。但可以证明在（1,1）上是内闭一致收敛的，这对连续性就够了。评注连续性与可微性都是对点而言的，在应用这两个定理时，不必要求在整个区间上一

15、致收敛，只要内闭一致收敛就够了。习题12设函数项级数nenx,x（0,）n1（1）证明此级数在（0,）收敛但不一致收敛。（2）求此级数的和函数提示：（1）对于不一致可用习题8的结论，也可证明通项不一致趋于零。建议两种方法都试一试。（2）证明内闭一致收敛，再用逐项微分法。习题13求证“、xnxsin/小八（1） tsinTttdtdt（0x1）n0001tx（2） °tnsinutdt在x0,1上一致收敛1n（3） tsinTttdt0n01sin40tdt提示：上述3条结论后者要借用前者，每上步的依据一定要说清楚。评注该题启示我们：如果在闭区间能直接用逐项积分当然更好，否则先缩小区间

16、在小区间上用，然后再利用连续性把结论扩大到整个区间上。§3哥级数前言哥级数是最简单同时又有很大应用性的级数，不仅在数学分析而且在复变函数论中有重要应用。学习的重点是求收敛半径和收敛域；求和函数；哥级数展开。、收敛半径考虑anxnCauchy-Hadamard定理R(R可以是0和)limnan则上面哥级数在xR绝对收敛，在xR发散。几个概念收敛半径？收敛区间？收敛域？习题14证明Cauchy-Hadamard定理。二、哥级数的性质内闭一致敛性哥级数在其收敛域上内闭一致收敛。也就是说在收敛区间上内闭一致收敛，如果级数在端点的收敛，则内闭区间可扩大到端点。与分析运算可交换性和函数在收域内连

17、续；在收敛区间可逐项积分与逐项求导，而且逐项积分与逐项求导后的级数其收敛半径不变。习题15(P51,3)证明：设f(x)anxn在xR内收敛，若一an-Rn1也收敛,n1R则0f(x)dx评注这是一个很有用的结论，哥级数通过逐项积分后其收敛域可能扩大到端点。注意这里不要求anxn在xR收敛。例如f(x)是发散的，但逐项积分后x在x1是收敛的,由该结论ln(123xxx)x一231,1,从而ln2习题16求哥级数的收敛域。(1)2nxF(P51,1(8)2n(2)3(1)nn,八n(x1)(P51,7(1)有所改动)答案:(1)1,1；(2)三、骞级数展开常用的哥数展开ln(1x)?arctan

18、x?x_._e?sinx?cosx?(1x)?欧拉公式eixcosxisinx习题17求f(x)arctan-12x-一3在x0的哥级数展开x提示：f习题182，(1)求ln(1x)在x0的哥级数展开上(11n1n12一)的和提示：(1)考虑级数的柯西乘积。(2)利用(1)的结论。c(1)n11答案：(1)2x2(1(11)xn1,x1；nln22n1n1'2第三部分反常积分§1(不含参量的)反常积分前言：Riemann积分的定义要求积分区间有限，被积函数有界，如果这两有一条不满足，则称为反常积分。不含参量的反常积分大部分内容已经学过，这里再复习一下，它也是含参量反常积分的基

19、础。、无穷积分定义f(x)在a,)有定义，对ua,f在a,u可积deff(x)dxa类似地,bdeff(x)dxdeff(x)dx评注f(x)dxlimuuuf(x)dx。x例如2dx按两种7E义结果如何?1x2绝对收敛与条件收敛如果又ua,f在a,u可积，且af(x)dx收敛，称为绝对收敛；如果f(x)dx收敛，而f(x)dx不收敛，称为条件收敛。aa评注积分绝对收敛的定义与级数绝对收敛的定义有点不同。对于级数，un收敛就称绝对收敛，而对于积分一定要有“对ua,f在a,u可积”这个条件。否则绝对收敛一1/x2.xQu自身不一7E收敛，例如：f(x),fdx收敛，但fdx不存在。1/x2,xQ

20、11以后“对ua,f在a,u可积”这个条件作为默认，不再明确指出。审敛法1 .柯西准则2 .绝对收敛与条件的关系3 .比较判别法及其极限形式4 .柯西判别法及其极限形式5 .Able与Dirichlet判别法评注比较判别法只适于判别正值函数或绝对收敛，而柯西判别法是与p积分比较而得到的比较判别法。A,D判别法是借助于积分第二中值定理证明的，而积分第二中值定理我们作为已知结论。对于A,D判别法要理解其证明的思想以例把它平移到含参量的一致收性判别，再与级数的这两个方法比较，它们的本质是差不多的。常用结论（它们收敛情况如何？）积分（a0)1)dxax(lnx)p2.cosax,sinax,2x3.s

21、inx2dx,4.xsinxdx二、瑕积分请对照无穷积分写出有关定义的结论评注瑕积分都可转化为无穷积分an举例说明：在a,）上的连续函数f(x)0或f(x)0,f(x)dx收敛,a但limf(x)0x习题2（上册P276,9)f在a,）上一致连续f(x)dx收敛，贝Ulimf(x)0ax习题（上册P274,例3）讨论1cosax,dx，xsnaxdx(p0)的收敛性px习题讨论1sinxarctanxdx（p0）的收敛性提示利用上题结论。答案p1时绝对收敛；0P1时条件收敛习题讨论0xs1exlnxtdx的收敛性答案s0,t1时收敛，其它发散习题1dd讨论(p,q)0xp(1x)qdx的收敛性

22、§2含参量反常积分说明主要以无穷积分为主进行讨论一、一致收敛定义Cauchy准则M-判别法Able与Dirichlet判别法习题7(P189,1(3)习题8(P180,例1)习题9(P183,例3)习题10(P183,例4)二、含参量反常积分的性质连续性可积性可微性习题11(P189,2)习题12(P189,3)习题13(P189,4(1)(2)(3)三、欧拉积分习题14证明欧拉积分(两个)在其定义域上内闭一致收敛习题15计算下面各题/.、1dX，22nx2,(1),;=2=Ptanxdx；(3)xedx0、；1x1/4050第四部分向量函数§1欧氏空间Rn一、欧氏空间Rn

23、线性空间：Rn首先作为线性空间(向量空间)有如下概念：线性表示(组合)，线性相关(线性无关)，子空间，基，维数等概念。欧氏空间：Rn作为欧氏空间有如下概念：内积，正交，范数，距离等概念。注意我们都是使用约定的内积，范数，距离。当然还要了解公理化定义的这三个概念。比如，(x,x)AxTAx(A是对称正定矩阵)也是一种内积，而xaxTAx就这个内积导出的范数。二、点集拓扑有了距离的概念可导出Rn上的拓扑。搞清下列概念：邻域：内点、外点、边界点：(内部，边界)聚点、孤立点、外点：开集、闭集：S开SC闭(P93,9)区域：有界集、无界集：(直径)习题1(P92,3)习题2(P313,2)三、完备性点列

24、的极限：x(k)(x1(k),x2k),xnk)TRn,如果x尸xi(k),i1,2,n,则称*")的极限是x(x1，x2,xn)T,|imx(k)x|im|x(k)x0Cauchy准则：x(k)收敛0,K,kK,p,有(x(kp),x(k)x(kp)x(k)聚点定理：有限覆盖定理：§2向量函数一、线性映射(函数)映射：单射，满射，一一对应，逆映射，复合映射等。它们是如何定义的？线性映射：(定义是什么？)RnRm的线性映射全体记为L(Rn,Rm),而RnRn的线性映射又称线性变换，其全体记为L(Rn)。在L(Rn,Rm)中，可定义线性映射的加法、数乘(如何定义的？)，使得L

25、(Rn,Rm)又成为一个线性空间，还可定义乘法即复合线性映射(如何定义的？)。线性映射的表示矩阵：在选定Rn与Rm的基之后，L(Rn,Rm)就与Rmn建立了一一对应关系。设AL(Rn,Rm)与之对应的矩阵A就称为线性映射A的表示矩阵。当都选定自然基时，A(x)Ax。在这种约定下，线性映射也说成一个矩阵，以后不再写粗体，要注意区分。L(R,R)中定义算子范数如下:算子范数：线性映射也称为算子，在A可以证明这样定义的算子范数满足：(1)IA0且IA0A0n,Rm(2) kA|k|A,kR(3) |AB|A|同，A,B(4) |BA|BIA,AL(Rn,Rm),BL(Rm,Rr)上面算子范数也可看成矩阵范数。有了范数，L(Rn,Rm)就成为线性赋范空间。二、连续函数(映射)连续和一致连续的定义：有界闭集上连续函数的性质：P312,Th23.4.5.6习题3设f(x)是Rn上的实值连续函数，并满足：(1)x0,f(x)0；(2)x,c0,f(cx)cf(x),证明c1,c20使g|x|f(x)c2|x|提示：单位球面DxRn|x|1是有界闭集(为什么？)，f在D取到最大值与最小值，记为c2和c1。评注由该题知，Rn中所有范数(满足