第一部分函数与极限学习教案

1、会计学1第一部分第一部分(b fen)函数与极限函数与极限第一页，共83页。第1页/共82页第二页，共83页。BA AB 1.集合(jh):具有某种特定(tdng)性质的事物的全体.组成(z chn)这个集合的事物称为该集合的元素.,.,21naaaA 所所具具有有的的特特征征xxM ,Ma ,Ma 记记为为的的子子集集是是集集合合则则称称集集合合的的元元素素的的每每个个元元素素都都是是集集合合若若集集合合,BABABA 或B是A的真子集：第2页/共82页第三页，共83页。数集分类(fn li):N-自然数集Z-整数(zhngsh)集Q-有理数集R-实数(shsh)集关系:RQQZZN ,相等

2、相等与与就称集合就称集合且且若若BAABBA BA 即即,2 , 1 A例如,0232 xxxCCA 则则不含任何元素的集合称为空集.)(记作记作例如,01 2 xRxx且且规定 空集为任何集合的子集.第3页/共82页第四页，共83页。集合(jh)的运算设BA,是两个(lin )集合定义(dngy)BA与与的并集 BA|BxAxx 或或BA与与的交集 BA|BxAxx 且且BA与与的差集 BA|BxAxx 且且BA与与的直积或笛卡儿乘积 BA| ),(ByAxyx 且且第4页/共82页第五页，共83页。例如(lr) RR| ),(RyRxyx 且且即:xoy面上的全体(qunt)点的集合,即:

3、整个(zhngg)xoy平面通常记2RRR 研究某个问题一般是限定在一个大的集合中进行的,这个大的集合称为全集,记为I设IA 称AI 为集合A的余集或补集,记为cA即AIAc 例如，, 60| xxA AI RI 60| xxx或或则第5页/共82页第六页，共83页。2.区间(q jin):是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做(jiozu)区间的端点.,baRba 且且bxax ),(babxax ,babxax bxax ),ba ,(ba),axxa ),(bxxb 有限(yuxin)区间无限区间第6页/共82页第七页，共83页。3.邻域(ln y):0, 且且是两个实数是两个

4、实数与与设设a),(0 aU记记作作,叫做这个邻域的中心叫做这个邻域的中心点点a.叫叫做做这这个个邻邻域域的的半半径径 ),( axaxaUxa a a,邻邻域域的的去去心心点点 a, 邻域邻域的的称为点称为点数集数集 aaxx 0),(0 axxaU记为),( aU，即（）),(),( aaaa第7页/共82页第八页，共83页。4.常量(chngling)与变量: 在某过程(guchng)中数值保持不变的量称为常量,注意(zh y)常量与变量是相对于“过程”而言的.通常用字母 a,b,c, a, b, ca等表示常量;而数值变化的量称为变量.常量与变量的表示方法： 用字母 x, y,z, t

5、 ,u,v 等表示变量.第8页/共82页第九页，共83页。5.绝对值: 0,0,aaaaa0 a显然显然性质(xngzh): baab baba bababa )0( aaxaxa )0( aaxaxax 或或绝对值不等式:第9页/共82页第十页，共83页。1. 映射(yngsh)的概念定义(dngy) 设YX,是两个非空集合,如果存在一个法则f,使得对于X中每个元素x,按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应,则称f为从X到Y的映射,记为:fYX y称为元素x(在映射f下)的像,并记为)(xf,即)(xfy 元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像.集合X称为映射f的定义域,记为fD即XD

6、f 第10页/共82页第十一页，共83页。X中所有元素的像所组成(z chn)的集合称为映射f的值域记为)( XfRf或或,即fR )(Xf | )(Xxxf 注意(zh y):(1) 构成(guchng)映射的三要素:集合X,即定义域fD X集合Y,值域fR Y对应法则f,对每个Xx 有唯一确定的y)(xf 与它对应第11页/共82页第十二页，共83页。(2)对每个Xx ,元素(yun s)x的像是唯一(wi y)的.y但是(dnsh),对每个fRy ,元素y的原像却不一定是唯一的.例1设,:RRf对每个,Rx 2)(xxf 显然,f是映射.它的定义域fD R它的值域fR 0| yRy对于值

7、域fR中的元素y,若, 0 y则其原像不唯一.例如:fR 66的原像是:6 ,6 两个第12页/共82页第十三页，共83页。例2设1| ),(22 yxyxX1| )0 ,( xxY:fYX 对每个,),(Xyx 有唯一(wi y)确定的Yx )0 ,(与它对应(duyng).显然(xinrn),f是映射.它的定义域fD X它的值域fR Yxyo),(yx)0 ,(x-11第13页/共82页第十四页，共83页。例3设 1 , 12,2 : f对每个,2,2 xxxfsin)( 按定义(dngy),f是映射(yngsh).它的定义域fD 2,2 它的值域fR 1 , 1 第14页/共82页第十五

8、页，共83页。定义(dngy)设f是从集合(jh)X到集合(jh)Y的映射,若fR Y,则称f为满射(或到上的).若对X中任意两个不同元素21xx ,它们的像)()(21xfxf ,则称f为单射.若映射f既是单射,又是满射,则称f为一一映射(或双射)例1中,f不是单射,不是满射例2中,f不是单射,是满射例3中,f是单射,是满射f是一一映射第15页/共82页第十六页，共83页。2. 逆映射与复合(fh)映射设f是从集合(jh)X到集合(jh)Y的单射,则根据定义,对每个fRy 有唯一的Xx 满足yxf )(这样,我们就得到一个新的映射:gXRf对每个fRy 有唯一的 满足yxf )(的Xx 与它

9、对应我们称这个映射g为映射f的逆映射,记为1 f显然,其定义域ffRD 1其 值域XRf 1第16页/共82页第十七页，共83页。按上述(shngsh)定义,可知:只有(zhyu)单射才有逆映射因此(ync),在例1,例2,例3中,只有例3的f有逆映射:1 f2,2 1 , 1 对每个 1 , 1 y,有唯一的满足yx sin的2,2 x与它对应. )(1xfxarcsin(反正弦函数)其定义域 1 , 11 fD其值域2,21 fR第17页/共82页第十八页，共83页。设有两个(lin )映射1:YXgZYf2:且21YY 即1YXg2Y Zf这样(zhyng)对于(duy)每个x Xg)(

10、xgf)(xgf即x X)(xgf这是一个从X到Z的映射,我们称它为映射fg和和构成的复合映射,记为, gf 即ZXgf: Xxxgfxgf , )()(第18页/共82页第十九页，共83页。注意(zh y)(1)映射(yngsh)fg和和能构成复合(fh)映射的条件是：gR fD否则，fg和和不能构成复合映射.例如:映射 1 , 1: Rg,sin)(xxg 对每个Rx 映射 1 , 0 1 , 0 :f,)(uuf 对每个 1 , 0 ufg和和不能构成复合映射.gR fD(2)映射fg和和的复合是有顺序的,即一般地有:gf fg 第19页/共82页第二十页，共83页。例4映射(yngsh

11、) 1 , 1: Rg,sin)(xxg 对每个Rx 映射(yngsh) 1 , 0 1 , 1 : f,1)(2uuf 对每个1 , 1 u显然(xinrn),gR fD映射fg和和构成复合映射gf : 1 , 0R)(xgf 对每个Rx , )(xgf )(sin xf x2sin1 |cos|x第20页/共82页第二十一页，共83页。三.函数(hnsh)1.函数(hnsh)的概念定义(dngy)设数集,RD 则称映射RDf:为定义在D上的函数,记为)(xfy ,Dx x称为自变量y称为因变量D称为定义域记为fD即fD Dx Dfy1称这个值y为函数f在x处的函数值记为)(xf,即)(xf

12、y 第21页/共82页第二十二页，共83页。函数(hnsh)值)(xf的全体(qunt)所构成的集合称为函数f的值域，记为)( DfRf或或，即fR ),(|Dxxfyy 注意(zh y)f与)(xf的区别f对应法则)(xf函数在x处的函数值习惯上，也用 ),( Dxxf 或 ),( Dxxfy 来表示定义在D上的函数。第22页/共82页第二十三页，共83页。对应(duyng)法则也可用 ,Fg等表示(biosh)函数(hnsh)可记为),(xgy ),(xFy )(xy 有时，也直接用因变量的记号来表示函数，将y是x的函数，记为)(xyy 构成函数的二要素：（1）定义域fD（2）对应法则f如

13、果两个函数的定义域和对应法则都相同则这两个函数相等。否则，就不相等。第23页/共82页第二十四页，共83页。函数(hnsh)的定义域的求法：（1）有实际背景(bijng)的函数根据实际(shj)背景中变量的实际(shj)意义来求自由落体运动中位置函数与时间的函数关系为221gts 比如，开始下落的时刻为0 t落地的时刻为Tt 0 tt sTt 它的定义域是什么？, 0T第24页/共82页第二十五页，共83页。（2）抽象地用算式(sunsh)表达的函数约定(yudng)：这种函数的定义域是使得算式有意义的一切(yqi)实数所组成的集合这样的定义域称为自然定义域。在这一约定下，一般的用算式表达的函

14、数可用 )( xfy 表达，不必再写为, )( fDxxfy 例如函数21xy 的定义域是1 , 1 函数211xy 的定义域是)1 , 1( 第25页/共82页第二十六页，共83页。在函数(hnsh)的定义中，对每个Dx 对应(duyng)的函数值y总是(zn sh)唯一的，这样的函数称为单值函数。如果给定一个对应法则，按照这个法则，对每个Dx ，总有确定的y值与它对应，但这个y的个数不总是唯一的，则称这种法则确定了一个多值函数。第26页/共82页第二十七页，共83页。例如(lr)：设变量(binling)x和y之间的对应法则(fz)由方程222ryx 给出.对每个,rrx ,由方程222r

15、yx 可确定出对应的y值:22xry 当时，时，或或rrx 对应于0 y(一个值)当时，时，) , (rrx 对应于2222,xryxry (两个值)这是一个多值函数.可化为单值函数来研究.第27页/共82页第二十八页，共83页。若附加条件:0 y则得到(d do)22xry 若附加条件:0 y则得到(d do)22xry 单值分支(单值函数(hnsh)(单值函数)函数的表示法:(1)表格法(2)图形法(3)解析法xyoxy),(yx DfR)(xfy 第28页/共82页第二十九页，共83页。 (1) 符号(fho)函数 0 10 00 1sgnxxxxy当当当当当当几个特殊(tsh)的函数举

16、例1-1xyoxxx sgn 易知易知),(D 1, 0 , 1 fR第29页/共82页第三十页，共83页。(2) 取整函数 y=x x表示(biosh)不超过 x 的最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 3 2 1 -1-3xyo阶梯(jit)曲线易知:1 , xxxx 有有对任意实数对任意实数第30页/共82页第三十一页，共83页。 是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxDy,0,1)(3) 狄利克雷(Dirichlet)函数(hnsh)xyo1有理数有理数无理数无理数第31页/共82页第三十二页，共83页。(4) 取最值函数(hnsh)(),(ma

17、xxgxfy )(),(minxgxfy yxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg第32页/共82页第三十三页，共83页。作业(zuy):P21,习题(xt)1-11,3-6第33页/共82页第三十四页，共83页。(5) 绝对值函数(hnsh)| xy 0,0 , xxxx定义域 D),(值域 fR), 0 它的图形(txng)：xyo| xy 第34页/共82页第三十五页，共83页。 0, 10, 12)(,2xxxxxf例如例如12 xy12 xy在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.第35页/共82页第三十六页，共83页。例1脉冲发生器产生一个单

18、三角脉冲,其波形如图所示,写出电压U与时间 的函数关系式.)0( tt解UtoE),2(E )0 ,( 2 ,2, 0时时当当 ttEU2 ;2tE 单三角脉冲信号(xnho)的电压,2(时时当当 t),(200 tEU)(2 tEU即即第36页/共82页第三十七页，共83页。,),(时时当当 t. 0 U其表达式为其表达式为是一个分段函数是一个分段函数,)(tUU ),(, 0,2(),(22, 0,2)(tttEttEtUUtoE),2(E )0 ,( 2 第37页/共82页第三十八页，共83页。例2.)3(,212101)(的定义域的定义域求函数求函数设设 xfxxxf解 2312130

19、1)3(xxxf 212101)( xxxf 122231xx 1, 3 fD故第38页/共82页第三十九页，共83页。(1)函数(hnsh)的有界性:设函数(hnsh)(xf的定义域为D，数集DX 如果存在数1K，使得1 )(Kxf 对每个Xx 都成立，则称函数)(xf在X上有上界.) (2K) (2K (有下界)如果存在正数M，使得Mxf | )(| 对每个Xx 都成立，则称函数)(xf在X上有界.如果这样的M不存在则称函数)(xf在X上无界.第39页/共82页第四十页，共83页。函数(hnsh)(xf在X上无界,即:如果对于任意(rny)正数M,总存在(cnzi)Xx 1,使Mxf |

20、)(|1成立.例如:函数xxfsin)( ,在),( 内显然,xxfsin)( 1 , 对每个),( x都成立.xxfsin)( 在),( 内有上界.又易知,xxfsin)( 1 , 对每个),( x都成立.xxfsin)( 在),( 内有下界.还可知道:|sin| )(|xxf 1 , 对每个),( x都成立.xxfsin)( 在),( 内有界.第40页/共82页第四十一页，共83页。又例如(lr):函数(hnsh)xxf1)( ,在) 1 , 0(内有xxf1)( 0 xxf1)( 在) 1 , 0(内有下界(xi ji).但是,它在) 1 , 0(内没有上界,它在) 1 , 0(内是无界

21、的.不存在这样一个正数M,使Mx |1|对每个) 1 , 0( x都成立.第41页/共82页第四十二页，共83页。(2) 函数(hnsh)的单调性:,)(DIDxf 区间区间的定义域为的定义域为设函数设函数, )(2121时时当当及及上任意两点上任意两点如果对于区间如果对于区间xxxxIi .)(上上是是单单调调增增加加的的在在区区间间则则称称函函数数Ixf )()( 21xfxf恒恒有有)(xfy )(1xf)(2xfxyoI第42页/共82页第四十三页，共83页。)(xfy )(1xf)(2xfxyoI.)(上是单调减少的上是单调减少的在区间在区间则称函数则称函数Ixf, )(2121时时

22、当当及及上上任任意意两两点点如如果果对对于于区区间间xxxxIii )()(21xfxf 恒恒有有第43页/共82页第四十四页，共83页。(3) 函数(hnsh)的奇偶性:偶函数都有都有对于任意对于任意如果如果关于原点对称关于原点对称设定义域设定义域,DxD )()(xfxf yx)( xf )(xfy ox-x)(xf.)(,为偶函数为偶函数则称则称成立成立xf第44页/共82页第四十五页，共83页。都有都有如果对于任意如果对于任意关于原点对称关于原点对称设定义域设定义域, , DxD )()(xfxf .)(为奇函数为奇函数成立，则称成立，则称xf奇函数)( xf yx)(xfox-x)(

23、xfy 第45页/共82页第四十六页，共83页。(4) 函数(hnsh)的周期性:（通常(tngchng)说周期函数的周期是指其最小正周期）.2l 2l23l 23l.)( ,)( ,)()( , , )( 的的周周期期为为称称为为周周期期函函数数则则称称恒恒成成立立且且都都有有使使得得对对于于任任意意如如果果存存在在一一个个正正数数的的定定义义域域为为设设函函数数xflxfxflxfDlxDxlDxf 第46页/共82页第四十七页，共83页。反函数是逆映射的一种(y zhn)特例.定义(dngy)设函数)(:DfDf是单射,则存在逆映射DDff )(:1称此映射1 f为函数f的反函数.按定义

24、,对每个)(Dfy 有唯一的Dx 满足yxf )(即即xyf )(1 这表明:反函数1 f的对应法则完全由函数f的对应法则确定.第47页/共82页第四十八页，共83页。例如(lr)Rxxy ,3是单射,所以(suy),它的反函数存在,反函数为:Ryyx ,31对调(dudio)yx,得Rxxy ,31一般地，将函数)(xfy 的反函数记为)(1xfy 第48页/共82页第四十九页，共83页。定理(dngl)若函数(hnsh)(:DfDf是D上的单调(dndio)函数，则它的反函数DDff )(:1一定存在，并且1 f也是)(Df上的单调函数（其单调性与函数f的单调性相同）（自证）相对于反函数)

25、(1xfy 原来的函数)(xfy 称为直接函数.反函数的图形与直接函数的图形的关系:关于直线xy 对称.第49页/共82页第五十页，共83页。)(xfy 直直接接函函数数xyo),(abQ),(baP)( xy 反反函函数数第50页/共82页第五十一页，共83页。复合函数(hnsh)是复合映射的一种特例.定义(dngy)设函数(hnsh)(ufy 的定义域为1D,函数)(xgu 在D上有定义,且1)(DDg 则由下式表示的函数Dxxgfy ),(称为由函数)(xgu 与函数)(ufy 构成的复合函数.它的定义域为D,变量u称为中间变量.函数g与函数f的复合函数通常记为gf ,即)()(xgfx

26、gf 第51页/共82页第五十二页，共83页。与复合(fh)映射一样,函数(hnsh)g与函数(hnsh)f能构成复合函数的条件是:fgDR 否则,不能构成复合函数.例如:uufyarcsin)( xxgusin)( 函数g与函数f能构成复合函数xysinarcsin fgDR 第52页/共82页第五十三页，共83页。又如:uufyarcsin)( 212)(xxgu 函数(hnsh)g与函数(hnsh)f不能构成复合(fh)函数 1 ,2323, 1 fgDR 2 , 0 gR 1 , 1 fD，但是，若将函数g限制在它的定义域的一个子集 D上，令Dxxxg ,12)(2*，那么，fgDR

27、1 , 0*因而，*g与f能构成复合函数Dxxxgf ,12arcsin)(2*，习惯上，为了简便起见，仍称函数212arcsinx 是由函数212xu uyarcsin 与的复合函数。这里212xu 的定义域应理解成：Dx 第53页/共82页第五十四页，共83页。xuuytan 与与以后我们(w men)采取这种习惯说法 。能构成复合(fh)函数 tan xy ，它的定义域,2|Zkkxkx D一般(ybn)地，)( )(xguufy 与与能构成复合函数 , )(xgfy 其定义域 D)( |fgDxgDxx 且且 22 arcsinxuuy 与与不能构成复合函数。1 ln xuuy与与能构

28、成复合函数 )1ln( xy，它的定义域1| xx D第54页/共82页第五十五页，共83页。两个以上函数也能构成(guchng)复合函数，只要它们顺次满足构成复合(fh)函数的条件。例 ,)12(2|Zkkxkx 2 , cot , xvvuuy 能构成(guchng)复合函数 2cotxy 它的定义域 D第55页/共82页第五十六页，共83页。例3解,0,1)( QxQxxD设设.)(),(),21(),57(的性质的性质并讨论并讨论求求xDxDDDD , 1)57( D, 0)21( D, 1)( xDD是有界函数(hnsh),是偶函数,是周期函数(zhu q hn sh)不是单调(dn

29、dio)函数,)(xD：(但无最小正周期)第56页/共82页第五十七页，共83页。例4).(,0, 10, 2)(,1,1,)(2xfxxxxxxxxexfx 求求设设解 1)(),(1)(,)()(xxxexfx,1)(10时时当当 x, 0 x或或, 12)( xx;20 x, 0 x或或, 11)(2 xx; 1 x第57页/共82页第五十八页，共83页。,1)(20时时当当 x, 0 x或或, 12)( xx;2 x, 0 x或或, 11)(2 xx; 01 x综上所述.2, 120011, 2,)(2122 xxxxxexexfxx 第58页/共82页第五十九页，共83页。4、函数(

30、hnsh)的运算设函数(hnsh)(),(xgxf的定义域分别(fnbi)为21,DD且 21DD 则可定义两个函数的下列运算:和( 差 ):gf )()()(xgxfxgf 21,DDx 积:gf )()()(xgxfxgf 21,DDx 商:gf)()()(xgxfxgf 0)(|)(,21 xgxDDx例设函数)(xf的定义域为),(ll ,证明:必存在),(ll 上的偶函数)(xg和奇函数)(xh,使得)()()(xhxgxf (P16,例11自己看)第59页/共82页第六十页，共83页。5、初等(chdng)函数(1) 基本初等(chdng)函数i).幂函数)( 是是常常数数 xyo

31、xy)1 , 1(112xy xy xy1 xy 第60页/共82页第六十一页，共83页。ii).指数函数(zh sh hn sh)1, 0( aaayxxay xay)1( )1( a)1 , 0( xey 第61页/共82页第六十二页，共83页。iii).对数函数(du sh hn sh)1, 0(log aaxyaxyln xyalog xya1log )1( a)0 , 1( 第62页/共82页第六十三页，共83页。iv).三角函数(snjihnsh)正弦(zhngxin)函数xysin xysin 1 |sin| x对任意实数, x有| |sin|xx 第63页/共82页第六十四页，

32、共83页。xycos xycos 余弦(yxin)函数1 |cos| x对任意实数, x有第64页/共82页第六十五页，共83页。正切(zhngqi)函数xytan xytan 第65页/共82页第六十六页，共83页。xycot 余切(yqi)函数xycot 第66页/共82页第六十七页，共83页。正割(zhngg)函数xysec xysec 第67页/共82页第六十八页，共83页。xycsc 余割(yg)函数xycsc 第68页/共82页第六十九页，共83页。v).反三角函数(snjihnsh)xyarcsin xyarcsin 反反正正弦弦函函数数2 arcsin2 x第69页/共82页第七十页，共83页。xyarccos xyarccos 反余弦函数反余弦函数 arccos0 x第70页/共82页第七十一页，共83页。xyarctan xyarctan 反反正正切切函函数数2 arctan2 x第71页/共82页第七十二页，共83页。 幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等(chdng)函数.xycot 反反余余切切函函数数arcxycot arc cot0 xarc第72页/共82页第七十三页，共83页。2.