数学建模初步

1、Experiments in Mathematics2.1 什么是数学建模什么是数学建模2.2 数学建模实例数学建模实例2.3 数学建模的基本方法步骤和重要意义数学建模的基本方法步骤和重要意义实验实验2 数学建模初步数学建模初步姜启源等编著姜启源等编著 清华大学出版社清华大学出版社 第第2版版玩具、照片、飞机、火箭模型玩具、照片、飞机、火箭模型 实物模型实物模型水箱中的舰艇、风洞中的飞机水箱中的舰艇、风洞中的飞机 物理模型物理模型地图、电路图、分子结构图地图、电路图、分子结构图 符号模型符号模型模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象

2、、提炼出来的抽象、提炼出来的原型原型的替代物。的替代物。模型模型集中反映了集中反映了原型原型中人们需要的那一部分特征。中人们需要的那一部分特征。 2.1 什么是数学建模什么是数学建模. 人们常见的模型：人们常见的模型：司机（方向盘）、钳工（工件）司机（方向盘）、钳工（工件） 思维模型思维模型你碰到过的数学模型你碰到过的数学模型“航行问题航行问题”用用 x 表示船速，表示船速，y 表示水速，列出方程：表示水速，列出方程：75050)(75030)(yxyx答：船速每小时答：船速每小时20千米千米/ /小时小时. .甲乙两地相距甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需千米，船从甲到乙顺水航行需

3、30小时，小时，从乙到甲逆水航行需从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少小时，问船的速度是多少?x = 20 y = 5求解求解航行问题航行问题建立数学模型的基本步骤建立数学模型的基本步骤 作出简化假设（船速、水速为常数）；作出简化假设（船速、水速为常数）； 用符号表示有关量（用符号表示有关量（x船速船速, y水速）；水速）； 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）；时间）列出数学式子（二元一次方程）； 求解得到数学解答（求解得到数学解答（ x = 20, y = 5）；）； 回答原问题（船速每小时回答原问题（船速

4、每小时20千米千米/小时）。小时）。数学模型数学模型 (Mathematical Model) 和和数学建模（数学建模（Mathematical Modeling)对于一个对于一个现实对象现实对象，为了一个，为了一个特定目的特定目的，作出必要的作出必要的简化假设简化假设，根据其，根据其内在规律内在规律，运用适当的运用适当的数学工具数学工具，得到的一个，得到的一个数学结构数学结构。现实对象的信息现实对象的信息数学模型数学模型:数学建模数学建模的全过程的全过程数学模型数学模型表述表述现实对象的解答现实对象的解答数学模型的解答数学模型的解答解释解释求解求解验证验证（归纳）（归纳）（演绎）（演绎）数学

5、建模的全过程数学建模的全过程现实对象的信息现实对象的信息数学模型数学模型现实对象的解答现实对象的解答数学模型的解答数学模型的解答表述表述求解求解解释解释验证验证(归纳)(演绎)表述表述求解求解解释解释验证验证根据建模目的和信息将实际问题根据建模目的和信息将实际问题“翻译翻译”成数学问成数学问题题选择适当的数学方法求得数学模型的解答选择适当的数学方法求得数学模型的解答将数学语言表述的解答将数学语言表述的解答“翻译翻译”回实际对象回实际对象用现实对象的信息检验得到的解答用现实对象的信息检验得到的解答实践现现实实世世界界数数学学世世界界理论实践 2 . 2 数 学 建 模 实 例数 学 建 模 实

6、例 本节介绍几个数学建模实例本节介绍几个数学建模实例问问题题在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4450，问剩下的一段还能否录下，问剩下的一段还能否录下1小时的节目？小时的节目？要求要求不仅回答问题，而且建立计数器读数与不仅回答问题，而且建立计数器读数与录像带转过时间的关系。录像带转过时间的关系。思考思考计数器读数是均匀增长的吗？计数器读数是均匀增长的吗？经试验，一盘标明经试验，一盘标明180分钟的录像带分钟的录像带从头走到尾，时间用了从头走到尾，时间用了184分，计数分，计数器读数从器读数从0000变到变到6061。2.2.1 录像机计数器

7、的用途录像机计数器的用途录像机计数器的工作原理录像机计数器的工作原理主动轮主动轮压轮压轮0000左轮盘左轮盘右轮盘右轮盘磁头磁头计数器计数器录像带录像带录像带运动方向录像带运动方向录像带运动录像带运动右轮盘半径增大右轮盘半径增大右轮转速不是常数右轮转速不是常数录像带运动速度是常数录像带运动速度是常数计数器读数增长变慢计数器读数增长变慢问题分析问题分析观察观察 计数器读数增长越来越慢！计数器读数增长越来越慢！模型假设模型假设 录像带的运动速度是常数录像带的运动速度是常数 v ； 计数器读数计数器读数 n与右轮转数与右轮转数 m成正比，记成正比，记 m=kn； 录像带厚度（加两圈间空隙）为常数录像

8、带厚度（加两圈间空隙）为常数 w； 空右轮盘半径记作空右轮盘半径记作 r ； 时间时间 t=0 时读数时读数 n=0 .建模目的建模目的建立建立时间时间t与读数与读数n之间的关系之间的关系（设（设v, ,k, ,w , ,r为已知参数）为已知参数）模型建立模型建立建立建立t与与n的函数关系有多种方法的函数关系有多种方法1. 右轮盘转第右轮盘转第 i 圈的半径为圈的半径为r+wi, m圈的总长度圈的总长度等于录像带在时间等于录像带在时间t内移动的长度内移动的长度vt, 所以所以knm nvrknvwkt222mivtwir1)(22. 考察右轮盘面积的考察右轮盘面积的变化，等于录像带厚度变化，等

9、于录像带厚度乘以转过的长度，即乘以转过的长度，即wvtrwknr)(22nvrknvwkt2223. 考察考察t到到t+dt录像带在录像带在右轮盘缠绕的长度，有右轮盘缠绕的长度，有vdtkdnwknr2)(模型建立模型建立思思 考考nvrknvwkt2223 3种建模方法得到同一结果种建模方法得到同一结果但仔细推算会发现稍有差别，请解释。但仔细推算会发现稍有差别，请解释。模型中有待定参数模型中有待定参数,kvwr一种确定参数的办法是测量或调查，请设计测量方法。一种确定参数的办法是测量或调查，请设计测量方法。mivtwir1)(2wvtrwknr)(22vdtkdnwknr2)(思思 考考参数估

10、计参数估计另一种确定参数的方法另一种确定参数的方法测试分析测试分析将模型改记作将模型改记作,2bnant只需估计只需估计 a,b理论上，已知理论上，已知t=184, n=6061, 再有一组再有一组(t, n)数据即可数据即可实际上，由于测试有误差，最好用足够多的数据作拟合实际上，由于测试有误差，最好用足够多的数据作拟合现有一批测试数据：现有一批测试数据： t 0 20 40 60 80n 0000 1141 2019 2760 3413 t 100 120 140 160 184n 4004 4545 5051 5525 6061用最小二乘法可得用最小二乘法可得.1045.1,1061.22

11、6ba模模 型型 检检 验验应该另外测试一批数据检验模型：应该另外测试一批数据检验模型：bnant2)1045.1,1061.2(26ba模模 型型 应应 用用回答提出的问题：由模型算得回答提出的问题：由模型算得 n = 4450 时时 t = 116.4分，分，剩下的录像带能录剩下的录像带能录 184-116.4= 67.6分钟的节目。分钟的节目。揭示了揭示了“t 与与 n 之间呈二次函数关系之间呈二次函数关系”这一普遍规律，这一普遍规律，当录像带的状态改变时，只需重新估计当录像带的状态改变时，只需重新估计 a,b 即可。即可。问问 题题配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设配件厂

12、为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。已知某产品日需求量已知某产品日需求量100件，生产准备费件，生产准备费5000元，贮存费元，贮存费每日每件每日每件1元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。要要 求求不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与不只是回答问题，而且要建立生产

13、周期、产量与需求量、准备费、贮存费之间的关系。需求量、准备费、贮存费之间的关系。2.2.2 生产计划的安排生产计划的安排问题分析与思考问题分析与思考 每天生产一次每天生产一次，每次，每次100件，无贮存费，准备费件，无贮存费，准备费5000元。元。日需求日需求100件，准备费件，准备费5000元，贮存费每日每件元，贮存费每日每件1元。元。 10天生产一次天生产一次，每次，每次1000件，贮存费件，贮存费900+800+100 =4500元，准备费元，准备费5000元，总计元，总计9500元。元。 50天生产一次天生产一次，每次，每次5000件，贮存费件，贮存费4900+4800+100 =12

14、2500元，准备费元，准备费5000元，总计元，总计127500元。元。平均每天费用平均每天费用950元元平均每天费用平均每天费用2550元元1010天生产一次平均每天费用最小吗天生产一次平均每天费用最小吗? ?每天费用每天费用5000元元 这是一个优化问题，关键在建立目标函数。这是一个优化问题，关键在建立目标函数。显然不能用一个周期的总费用作为目标函数显然不能用一个周期的总费用作为目标函数目标函数目标函数每天总费用的平均值每天总费用的平均值 周期短，产量小周期短，产量小 周期长，产量大周期长，产量大问题分析与思考问题分析与思考贮存费少，准备费多贮存费少，准备费多准备费少，贮存费多准备费少，贮

15、存费多存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小模模 型型 假假 设设1. 产品每天的需求量为常数产品每天的需求量为常数 r；2. 每次生产准备费为每次生产准备费为 c1, 每天每件产品贮存费为每天每件产品贮存费为 c2；3. T天生产一次（周期）天生产一次（周期）, 每次生产每次生产Q件，当贮存量件，当贮存量 为零时，为零时，Q件产品立即到来（生产时间不计）；件产品立即到来（生产时间不计）；建建 模模 目目 的的设设 r, c1, c2 已知，求已知，求T, Q 使每天总费用的平均值最小。使每天总费用的平均值最小。4. 为方便起见，时间和产量

16、都作为连续量处理。为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。模模 型型 建建 立立0tq贮存量表示为时间的函数贮存量表示为时间的函数 q(t)TQrt=0生产生产Q件，件，q(0)=Q, q(t)以以需求速率需求速率r递减，递减，q(T)=0.一周期一周期总费用总费用TQccC221每天总费用平均每天总费用平均值（目标函数）值（目标函数）2)(21rTcTcTCTC离散问题连续化离散问题连续化AcdttqcT202)(一周期贮存费为一周期贮存费为A=QT/22221rTcc rTQ 模型求解模型求解Min2)(21rTcTcTC求求 T 使使0dTdC212crcrTQ212rccT 模型分析模

17、型分析QTc,1QTc,2QTr,模型应用模型应用c1=5000, c2=1，r=100T=10(天天), Q=1000(件件), C=1000(元元) 回答问题回答问题 经济批量订货公式经济批量订货公式（EOQ公式公式）212rccT 212crcrTQ每天需求量每天需求量 r，每次订货费，每次订货费 c1,每天每件贮存费每天每件贮存费 c2 ，用于订货、供应、存贮情形用于订货、供应、存贮情形上面其实是上面其实是不允许缺货不允许缺货的存贮模型的存贮模型T天订货一次天订货一次(周期周期), 每次订货每次订货Q件，当贮存量降到件，当贮存量降到零时，零时，Q件立即到货。件立即到货。2.2.3 一年

18、生植物的繁殖一年生植物的繁殖 一年生植物春季发芽，夏天开花，秋季产种。没有腐一年生植物春季发芽，夏天开花，秋季产种。没有腐烂、风干、被人为掠去的那些种子可以活过冬天，其中的烂、风干、被人为掠去的那些种子可以活过冬天，其中的一部分能在第二年春季发芽，然后开花、产种，其中的另一部分能在第二年春季发芽，然后开花、产种，其中的另一部分虽未能发芽，但如又能活过一个冬天，则其中一部一部分虽未能发芽，但如又能活过一个冬天，则其中一部分可在第三年春季发芽，然后开花、产种，如此继续。分可在第三年春季发芽，然后开花、产种，如此继续。 一年生植物只能活一年，且近似地认为，种子最一年生植物只能活一年，且近似地认为，种

19、子最多可以活过两个冬天。多可以活过两个冬天。建立数学模型研究植物数量的变化规律建立数学模型研究植物数量的变化规律及它能够一直繁殖下去的条件及它能够一直繁殖下去的条件。 设设一棵植物平均产种数为一棵植物平均产种数为 c, 种子能够活过冬天的比种子能够活过冬天的比例为例为 b, 活过冬天的那些种子在来年春季发芽的比例为活过冬天的那些种子在来年春季发芽的比例为 a1，未能发芽的那些种子又活过一个冬天的比例仍为未能发芽的那些种子又活过一个冬天的比例仍为 b, 在下在下一年春季发芽的比例为一年春季发芽的比例为 a2。xk 第第 k 年的植物数量年的植物数量设今年种下设今年种下(并成活并成活)的数量为的数

20、量为 x0 x1 = a1bc x0 xk = a1bc xk1 + a2b( 1 a1) bc xk2， k = 2, 3, . 记记 p = a1bc，q = a2b( 1 a1)bc x1 + p x0 = 0，xk + p xk1 + q xk2 = 0，k = 2, 3, . 设设 c = 10, a1 = 0.5, a2 = 0.25, x0 = 100寻找形如寻找形如 xk = k 的解：的解：差分方程差分方程 xk + p xk1 + q xk2 = 0 的的取取 b = 0.18, 0.19, 0.20, 由由Matlab得右图得右图特征方程：特征方程： 2 + p + q

21、= 0 (2.11)特征根：特征根： 1,2 = 242qpp 差分方程的解差分方程的解 xk = c1 1k + c2 2k，k = 0, 1, 2, . b2305 b = 0.18时时 xk = 95.64(0.943)k + 4.36(-0.0430)k，k = 0, 1, 2, . b = 0.20时时 xk = 95.64(1.048)k + 4.36(-0.0477)k，k = 0, 1, 2, . | 1,2 | 1 时，时，xk 植物能够一直繁殖下去的植物能够一直繁殖下去的(xk)条件是条件是 b 1.91背景背景 年年 1625 1830 1930 1960 1974 19

22、87 1999人口人口(亿亿) 5 10 20 30 40 50 60世界人口增长概况世界人口增长概况中国人口增长概况中国人口增长概况 年年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000人口人口(亿亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 12.95研究人口变化规律研究人口变化规律控制人口过快增长控制人口过快增长2.2.4 人口预报人口预报年份1790179018001800181018101820182018301830184018401850185018601860187018701880188018901890人口（百万）3.9

23、3.95.35.37.27.29.69.612.912.917.117.123.223.231.431.438.638.650.250.262.962.9年份1810181018201820183018301840184018501850186018601870187018801880189018901900190019101910人口（百万）7.27.29.69.612.912.917.117.123.223.231.431.438.638.650.250.262.962.9767692.292.2美国人口统计数据美国人口统计数据指数增长模型指数增长模型马尔萨斯马尔萨斯1798年提出年提出常

24、用的计算公式常用的计算公式x( t ) 时刻时刻 t 的的人口人口基本假设基本假设 : 人口人口(相对相对)增长率增长率 r 是常数是常数trtxtxttx)()()(今年人口今年人口 x0, 年增长率年增长率 rk 年后人口年后人口 xk = x0 ( 1 + r )k0)0(,xxrxdtdx随着时间增加，人口按指数规律随着时间增加，人口按指数规律x( t ) = x0 e r tx( t ) = x0 (e r) t x0 ( 1 + r )t参数估计参数估计 ( r, x0 )利用利用 Matlab, Excel, 软件软件 以以17901900的数据拟合得的数据拟合得 r = 0.2

25、743/10年年, x0 = 4.1884 以以17902000的数据拟合得的数据拟合得 r = 0.2022/10年年, x0 = 6.0450指数增长模型指数增长模型y = r t + a, 这里这里 y = ln x, a = ln x0 x( t ) = x0 e r t专家估计；利用实际数据作拟合专家估计；利用实际数据作拟合对对 x( t ) = x0 e r t 两边取对数，得两边取对数，得结果分析结果分析020406080100024681012实际计算101002003004005000510152025实际计算201002003004005000510152025实际计算1计

26、算20100200300400500实际计算1计算2计算3计算计算1: 用用17901900的数据拟合的数据拟合计算计算2: 用用17902000的数据拟合的数据拟合计算计算3: 用用19002000的数据拟合的数据拟合指数增长模型结果分析指数增长模型结果分析 与与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 适用于适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 可用于短期人口增长预测可用于短期人口增长预测 不符合不符合19世纪后美国及其它地区人口增长规律世纪后美国及其它地区人口增长规律 不能预测较长期的人口增长过程不能预测较长期的人口增

27、长过程人口增长到一定数量后，增长率人口增长到一定数量后，增长率 r 逐渐下降逐渐下降阻滞增长模型阻滞增长模型( (Logistic模型模型) )人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大且阻滞作用随人口数量增加而变大假设假设) 0,()(srsxrxrr 固有增长率固有增长率(x很小时很小时)xm 人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）)1 ()(mxxrxrr 是是 x 的减函数的减函数mxrs 0)(mxrrxdt

28、dx)1 ()(mxxrxxxrdtdxdx/dtx0 xmxm/2xmx txxxemmrt( )()110tx0 x(t) S形曲线形曲线, x 增加先快后慢增加先快后慢x0 xm/2阻滞增长模型阻滞增长模型( (Logistic模型模型) )利用统计数据用线性最小二乘法作拟合利用统计数据用线性最小二乘法作拟合例：美国人口例：美国人口1790至至1990数据（单位数据（单位百万）百万）阻滞增长模型阻滞增长模型参数估计参数估计 ( r, x0 )r = 0.2557/10年年xm= 392.0886)1 ()(mxxxrxxrdtdxmxrsxsrxdtdx,/人口增长率人口增长率 1900

29、 2000美国人口统计数据美国人口统计数据)(dd)(txtxtr xk k 年的人口数年的人口数 年份年份1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000人口人口/百万百万 76.092.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4 281.4人口相对增长率为人口相对增长率为 ，表示每年人口增长的比例，表示每年人口增长的比例. 以以 k = 0, 1, ., 11 分别表示分别表示 1900, 1910, ., 2000 年年rk k 年的年增长率年的年增长率 h = 10,9.

30、, 2, 1,2011 kxxxrkkkk101098021002034,2043xxxxrxxxxrn 年份年份1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000r / %2.20 1.66 1.46 1.02 1.04 1.58 1.49 1.16 1.05 1.09 1.16 模型检验模型检验用模型计算用模型计算 2000 年美国人口，与实际数据比较年美国人口，与实际数据比较实际为实际为281.4 (百万百万)模型应用模型应用预报美国预报美国 2010 年的人口年的人口加入加入 2000 年人口数据后重新估计模型参数年人口数据后重

31、新估计模型参数Logistic 模型在经济领域中的应用模型在经济领域中的应用( (如耐用消费品的售量如耐用消费品的售量) )r = 0.2490, xm= 434.0 x(2010) = 306.0 x(2000) = x(1990) + x = x(1990) + r x(1990)1 x(1990)/xm x(2000) = 274.5 2.3.1 2.3.1数学建模的基本方法数学建模的基本方法机理分析机理分析测试分析测试分析根据对客观事物特性的认识，根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律找出反映内部机理的数量规律将对象看作将对象看作“黑箱黑箱”,通过对量测数据的通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型统计分析，找出与数据拟合最好的模型机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究 (Case Studies)来学习。以下建模主要指机理分析。来学习。以下建模主要指机理分析。二者结合二者结合用机理分析建立模型结构用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数用测试分析确定模型参数2.3 数学建模的方法和步骤数学建模的方法和步骤 2.3.2 2.3.2数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤模型准备模型准备模型假设模型假设模型构成模型构成模型求解模型求解模型分析模型分析模型检验模型检验模型应用模型应