2.4离散傅里叶变换ppt课件

1、2.4离散傅里叶变换2.4.1 数字信号、模数字信号、模/数数(A/D)转换和数转换和数/模模(D/A)转换转换 若信号幅值和独立变量均离散，并且用二进制数来表示信号的幅值，若信号幅值和独立变量均离散，并且用二进制数来表示信号的幅值，则该信号为数字信号。则该信号为数字信号。 在工程测试中，数字信号一般来自于模拟信号，因此需要将模拟信号在工程测试中，数字信号一般来自于模拟信号，因此需要将模拟信号转换为数字信号，然后进行必要的数据处理，处理后的数字信号常需要还转换为数字信号，然后进行必要的数据处理，处理后的数字信号常需要还原成模拟信号。原成模拟信号。 模拟信号到数字信号、数字信号到模拟信号的转换分

2、别称为信号的模模拟信号到数字信号、数字信号到模拟信号的转换分别称为信号的模/数数(A/D)转换和数转换和数/模模(D/A)转换转换其中其中A：Analog ；D：Digitalv采样：将模拟信号变为离散时间信号，在各离散时刻上得到采样：将模拟信号变为离散时间信号，在各离散时刻上得到连续信号的样值。连续信号的样值。2.4离散傅里叶变换 axt假设假设 为采样器的输入，则输出为为采样器的输入，则输出为 为采样时为采样时间间隔，常称为采样间隔或采样周期。间间隔，常称为采样间隔或采样周期。 , assxnTx nTv量化：将离散时间连续幅值的信号量化：将离散时间连续幅值的信号 变为离散时间离散幅变为离

3、散时间离散幅值的数字信号值的数字信号 。 x n qxn 和量化器的输出和量化器的输出 之间的插值称为量化误差。之间的插值称为量化误差。 x n qxnv编码：将每一个量化值编码：将每一个量化值 用用 b 位二进制序列表示，便于位二进制序列表示，便于数据处理。数据处理。 qxn2.4离散傅里叶变换图图2.38分别绘出了模拟信号、离散时间信号和数字信号的例子分别绘出了模拟信号、离散时间信号和数字信号的例子 D/A转换是对数字信号进行某种内插方转换是对数字信号进行某种内插方式的处理以连接逐个样值的端点，从而得到式的处理以连接逐个样值的端点，从而得到近似的模拟信号，近似的程度取决于所采用近似的模拟信

4、号，近似的程度取决于所采用的内插方式。图的内插方式。图2.39表示一种简单的内插方表示一种简单的内插方式，称为零阶保持或阶梯近似。式，称为零阶保持或阶梯近似。2.4离散傅里叶变换2.4.2 离散傅里叶变换的图解表示离散傅里叶变换的图解表示v时域采样时域采样v 模拟信号的采样有多种方法，以周期或均匀采样的方法应用最模拟信号的采样有多种方法，以周期或均匀采样的方法应用最多，表示为多，表示为 v 式中：式中： 为采样后的离散时间信号或采样信号，是对模拟信为采样后的离散时间信号或采样信号，是对模拟信号号 v 每隔每隔 秒采样得到，该过程如图秒采样得到，该过程如图2.40所示。所示。 对模拟信号进行离散

5、傅里叶变换对模拟信号进行离散傅里叶变换Discrete Fourier Transform, DFT）,一般可概括为三个步骤：时域采样、时域截断一般可概括为三个步骤：时域采样、时域截断和频域采样。和频域采样。 ()asx nx nT x n axtsT 然而，由于量化是非可逆的或单项的处理，会引起信号的失真，然而，由于量化是非可逆的或单项的处理，会引起信号的失真，失真的大小取决于失真的大小取决于A/D转换器的精度。在实际中影响进度选择的因转换器的精度。在实际中影响进度选择的因素是成本和采样速度，通常成本是随着精度和采样速度的提高而增素是成本和采样速度，通常成本是随着精度和采样速度的提高而增加的

6、。加的。2.4离散傅里叶变换 axt asx nxnT1ssTf图2.40 模拟信号的周期采样 为采样周期， 称为采样速度(每隔采样次数)或采样频率(单位为Hz)。sT1SsTf 采样过程可以看作用等间隔的单位脉冲序列去乘模拟信号。采样过程可以看作用等间隔的单位脉冲序列去乘模拟信号。这样，各采样点上的信号大小就变成脉冲序列的权值，这些权值这样，各采样点上的信号大小就变成脉冲序列的权值，这些权值将被量化成相应的二进制编码。将被量化成相应的二进制编码。 在数学上，时域采样表示为间隔为在数学上，时域采样表示为间隔为 的周期脉冲序列的周期脉冲序列 乘乘模拟信号模拟信号 即即 sT g t x t 0,

7、 1, 2,sng ttnTn 由由函数的筛选特性式函数的筛选特性式(2-66)可知：可知：采样信号采样信号 在各采样时刻在各采样时刻 的幅值的幅值 。信号的时域采样如图。信号的时域采样如图2.41所所示。示。 () 0, 1, 2,sssx tg tx tt nT dtx nTn ssxnTsnTsx tnT2.4离散傅里叶变换其中其中g(t)为采样函数。为采样函数。Ts称为采样间隔，或采样周期，称为采样间隔，或采样周期，1/Ts=fs称为采样频率。称为采样频率。 在时域采样中，采样函数在时域采样中，采样函数 的傅里叶变换如图的傅里叶变换如图2.41b所示。所示。由信号的频域卷积特性可知，模

8、拟信号由信号的频域卷积特性可知，模拟信号 乘以采样函数乘以采样函数 后的后的采样函数采样函数 的傅里叶变换，等于的傅里叶变换，等于 的频谱的频谱 和和 的频谱的频谱 的的 卷积，即卷积，即由由函数与其它函数卷积的特性，采样信号函数与其它函数卷积的特性，采样信号 的频谱可表示为的频谱可表示为如图如图2.41c所示。所示。 g t x t g tssxnT x tXjf g tG jf ssxnTx tg tXjfG jfssxnT)(tx)( jfX)()()(tgtxnTxss)()(*)()(*)(nssnssnffXfnfffjfXjfGjfX2.4离散傅里叶变换nsnTttg)()(ss

9、fT1)()(1)(nssnssnfffTnfTjfGv时域截断时域截断v 采样信号采样信号 理论上为时间无限长的离散序列，即理论上为时间无限长的离散序列，即 而实际而实际上为了存储、分析和处理的方便，只是取有限长度的采样序列，所以必须从采样上为了存储、分析和处理的方便，只是取有限长度的采样序列，所以必须从采样信号的时间序列截取有限长的一段来处理，其余部分视为零而不予考虑。这相当信号的时间序列截取有限长的一段来处理，其余部分视为零而不予考虑。这相当于把采样信号于把采样信号 乘以一个矩形窗函数乘以一个矩形窗函数 ，如图，如图2.43a所示。所示。2.4离散傅里叶变换0,1,2,3,n ssxnT

10、 RwtssxnT窗宽为窗宽为T，所截取的时间序列点数为，所截取的时间序列点数为N=T/TS，N称为序列长度。称为序列长度。采样信号采样信号xs(nTs)被截取后的信号被截取后的信号xsw(nTs)表示为表示为由信号的频域卷积特性可知由信号的频域卷积特性可知xsw(nTs)的频谱为的频谱为窗函数窗函数wR(t)的幅频谱的幅频谱WR(jf)为为2.4离散傅里叶变换图图2.43 窗函数及其频谱窗函数及其频谱图图2.44 时域采样截断后的信号及其频谱时域采样截断后的信号及其频谱sincv频域采样频域采样v 经过时域采样和截断处理，模拟信号经过时域采样和截断处理，模拟信号x(t)变成了有限长的离散变成

11、了有限长的离散时间序列时间序列xsw(nTs), n=1,2,N。而从频域上看，。而从频域上看，xsw(nTs)的频谱的频谱Xsw(jf)仍为周期性连续频谱。但计算机或数字信号处理仪只能处理仍为周期性连续频谱。但计算机或数字信号处理仪只能处理离散数据，因此，需要对离散数据，因此，需要对Xsw(jf)进行频域采样。进行频域采样。v 频域采样在理论上是对周期性连续频谱频域采样在理论上是对周期性连续频谱Xsw(jf)乘以周期序列乘以周期序列脉冲函数脉冲函数如图如图2.45b 2.4离散傅里叶变换图图2.45 2.45 频域采样函数及其时域函数频域采样函数及其时域函数2.4离散傅里叶变换由信号的卷积特

12、征可知，与由信号的卷积特征可知，与Xsw(jf)p相对应的时域信号相对应的时域信号xsw(t)p为为频域采样形成频域采样形成Xsw(jf)频域的频域的离散化，相应的离散化，相应的把时域信号周期把时域信号周期化了，因而化了，因而xsw(t)p是一个是一个周期信号，如图周期信号，如图2.46所示。所示。其时域表示为其时域表示为如图如图2.45aXsw(jf)频域采样后的实际输出频域采样后的实际输出Xsw(jf)p为为图图2.46 Xsw(jf)2.46 Xsw(jf)频域采样后的时域和频域表示频域采样后的时域和频域表示2.4离散傅里叶变换 上述图解表示过程解释了离散傅里叶变换的演变过程。从最后上述

13、图解表示过程解释了离散傅里叶变换的演变过程。从最后的结果可以看出，信号时域、频域的离散化导致了对时域和频域的的结果可以看出，信号时域、频域的离散化导致了对时域和频域的周期化处理。周期化处理。DFT实际上是把一个有限长序列做周期序列的一个周实际上是把一个有限长序列做周期序列的一个周期来处理。期来处理。 从以上过程可以看出，原来希望获得模拟信号的频谱，但由于从以上过程可以看出，原来希望获得模拟信号的频谱，但由于计算机的数据是序列长度为计算机的数据是序列长度为N的离散时间信号的离散时间信号xsw(nTs), 计算机输出计算机输出的是的是Xsw(jf)p,而不是而不是X(jf)，用，用Xsw(jf)p

14、来近似来近似X(jf)。处理过程中的。处理过程中的每一个步骤每一个步骤采样、截断、采样、截断、DFT计算都会引起失真或误差。计算都会引起失真或误差。2.4离散傅里叶变换2.4.3 频率混叠和采样定理频率混叠和采样定理 采样间隔的选择是一个重要的问题。采样间隔太小(采样频率高)，则对定长的时间记录来说其数字序列就很长(即采样点数多)，使计算工作量增大；如果数字序列长度一定，则只能处理很短的时间历程，可能产生很大的误差。 若采样间隔太大(采样频率低)，则可能丢失有用的信息。【例【例2.10】对模拟信号】对模拟信号x1(t)=10sin(210t)和和x2(t)=10sin(250t)进行采样处进行

15、采样处理理 ，采样间隔，采样间隔Ts=1/40，即采样频率，即采样频率fs=40Hz。试比较两信号采样后的离散时间。试比较两信号采样后的离散时间信号的状态。信号的状态。解：因采样频率解：因采样频率fs=40Hz,那么那么stnT因此因此v频率混叠频率混叠v 由图由图2.42可知，设模拟信号可知，设模拟信号x(t)为带限信号，如果采样间隔为带限信号，如果采样间隔Ts太大，即采样频率太低，频率平移距离太大，即采样频率太低，频率平移距离fs过小，则过小，则x(t)的频谱的频谱X(jf)移移至至nfs，n=0,1,2，处的频谱处的频谱fs X(jf)就会有一部分相互交叠，就会有一部分相互交叠，使新合成

16、的使新合成的X(jf)* G(jf)图形与图形与fs X(jf)不一致，这种现象称为混叠。不一致，这种现象称为混叠。发生混叠后，改变了原来频谱的部分幅值，这样就不可能准确地从发生混叠后，改变了原来频谱的部分幅值，这样就不可能准确地从采样信号中恢复原来的模拟信号了。采样信号中恢复原来的模拟信号了。2.4离散傅里叶变换 也就是说，不通频率的模拟信号在采样频率也就是说，不通频率的模拟信号在采样频率fs=40Hzfs=40Hz的采样情的采样情况下，得到了没有区别的离散时间信号，即产生了信号的不确定性。况下，得到了没有区别的离散时间信号，即产生了信号的不确定性。这样，从时域的角度来看便造成了这样，从时域

17、的角度来看便造成了“频率混叠频率混叠景象。景象。2.4离散傅里叶变换 设带限信号设带限信号x(t)的最高频率的最高频率fc为有限值，以采样频率为有限值，以采样频率fs=1/Ts2fc进行采样，那进行采样，那么采样信号么采样信号xs(t)的频谱的频谱Xs(jf)=X(jf)*G(jf)就不会发生混叠，如图就不会发生混叠，如图2.48所示，其中所示，其中fs/2称为折叠频率。如果将该频谱通过一个中心频率为零称为折叠频率。如果将该频谱通过一个中心频率为零(f=0)，带宽为，带宽为 fs/2的的理想低通滤波器，就可以把原信号完整的频谱取出来，才有可能从采样信号中准理想低通滤波器，就可以把原信号完整的频

18、谱取出来，才有可能从采样信号中准确的恢复原信号的波形。确的恢复原信号的波形。 如果模拟信号如果模拟信号x(t)为无限带宽信号，即信号的最高频率为无限带宽信号，即信号的最高频率fc max，则无论采，则无论采样频率样频率fs多大，采样信号多大，采样信号xs(t)的频谱的频谱Xs(jf)都会出现混叠。都会出现混叠。 Xs(jf)中凡超过折叠频中凡超过折叠频率率fs/2的频谱部分都将每隔的频谱部分都将每隔fs叠加在一起，出现混叠。叠加在一起，出现混叠。v采样定理采样定理v 2.4离散傅里叶变换如果确知测试信号中的高频成分是由噪声干扰引起的，为满足采如果确知测试信号中的高频成分是由噪声干扰引起的，为满

19、足采样定理并不使数据过长，常在信号采样前使用低通滤波器先进行滤样定理并不使数据过长，常在信号采样前使用低通滤波器先进行滤波预处理，人为降低信号中的最高频率，这种滤波器称为抗混滤波波预处理，人为降低信号中的最高频率，这种滤波器称为抗混滤波器。而如果只对某一频带感兴趣，那么可用低通滤波器或带通滤波器。而如果只对某一频带感兴趣，那么可用低通滤波器或带通滤波器滤掉其它频率成分，这样就可以避免混叠并减少信号中其它成分器滤掉其它频率成分，这样就可以避免混叠并减少信号中其它成分的干扰。的干扰。csff2v模拟信号经采样后在时间上已离散，但其幅值仍为连续的模拟电模拟信号经采样后在时间上已离散，但其幅值仍为连续

20、的模拟电压值。量化是对信号的幅值量化，就是将模拟信号压值。量化是对信号的幅值量化，就是将模拟信号x(t)在在nTs时刻采时刻采样的电压幅值样的电压幅值x(t=nTs)变成为离散的二进制数码，其二进制数码只变成为离散的二进制数码，其二进制数码只能表达有限个相应的离散电平称之为量化电平）。能表达有限个相应的离散电平称之为量化电平）。v把采样信号把采样信号x(nTs)经过舍入或者截尾的方法变为只有有限个有效经过舍入或者截尾的方法变为只有有限个有效数字的数，这一过程称为量化。若信号数字的数，这一过程称为量化。若信号x(t)可能出现的最大值为可能出现的最大值为A，令其分为令其分为D个间隔，则每个间隔的长

21、度为个间隔，则每个间隔的长度为R=A/D，R称为量化增长称为量化增长或量化步长。当采样信号或量化步长。当采样信号x(nTs)落在某一小间隔内，经过舍入或截落在某一小间隔内，经过舍入或截尾的方法而变为有限值时，则产生量化误差。尾的方法而变为有限值时，则产生量化误差。v一般又把量化误差看成模拟信号作数字处理时的可加噪声，故而一般又把量化误差看成模拟信号作数字处理时的可加噪声，故而又称之为舍入噪声或截尾噪声。量化增量又称之为舍入噪声或截尾噪声。量化增量R越大，则量化误差越大，越大，则量化误差越大，量化增量大小，一般取决于计算机量化增量大小，一般取决于计算机A/D转换卡的位数。转换卡的位数。2.4.4

22、 量化和量化误差量化和量化误差2.4离散傅里叶变换v截断、泄露和窗函数截断、泄露和窗函数v 信号的长度可能很长甚至是无限的，而计算机处理的数据长度是有限的，因信号的长度可能很长甚至是无限的，而计算机处理的数据长度是有限的，因此只能从信号中提取其中一段来考察分析，并以此来考察整个信号历程，这称为此只能从信号中提取其中一段来考察分析，并以此来考察整个信号历程，这称为时域截断或时域截断或“加窗加窗”。“窗的意思是指透过窗的意思是指透过“窗口可以窗口可以“看到外景原始看到外景原始信号的一部分，而把信号的一部分，而把“窗口以外的信号均视为零。窗口以外的信号均视为零。2.4离散傅里叶变换2.4.5 截断、

23、泄露和窗函数截断、泄露和窗函数X(t)X(t)WR(t)X(t)WR(t)g(t)2.4离散傅里叶变换频谱能量泄露：频谱能量泄露：把原来集中的能把原来集中的能量分散到附近的量分散到附近的频带范围的现象。频带范围的现象。)(tWR0212t矩形窗函数矩形窗函数 -10 -9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910-0.500.51tmm窗 函 数 频 谱 图 (T=1)主瓣主瓣 旁瓣旁瓣 2.4离散傅里叶变换-10 -9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910-10123tmm(a)窗 函 数 频 谱 图 (T=3)-10 -9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910-0.500.51tmm(b)窗 函 数 频 谱 图 (T=1)旁瓣旁瓣 旁瓣旁瓣 2.4离散傅里叶变换2.4离散傅里叶变换-10 -9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910-0.500.51tmm窗 函 数 频 谱 图 (T=1)主瓣主瓣 旁瓣旁瓣 v频率分辨率、栅栏效应和整周期截取频率分辨率、栅栏效应和整周期截取v 频率采样间隔频率采样间隔f是频率分辨力的指标。间隔越小，频率是频率分辨力的指标。间隔越小，频率分辨力越高。分辨