第3章 电路的暂态分析

1、3-1第第3 3章章 电路的暂态分析电路的暂态分析* *3.3 3.3 RC电路的暂态过程电路的暂态过程* *3.4 3.4 一阶线性电路暂态分析的三要素法一阶线性电路暂态分析的三要素法* *3.5 3.5 RL电路的暂态过程电路的暂态过程* *3.2 3.2 换路定则及初始值的确定换路定则及初始值的确定3.1 3.1 储能元件储能元件3-21.电感电感 L（单位单位：H, mH, H）单位电流产生的磁链单位电流产生的磁链线圈线圈匝数匝数磁磁通通理想电感元件：理想电感元件：ui 即即：L i = N iNL 3.1 3.1 储能元件储能元件3-3lSNL2线圈线圈面积面积线圈线圈长度长度导磁率

2、导磁率电感和电感和结构结构参数的关系参数的关系线性电感线性电感:L=Const (如如:空心电感空心电感 不变不变)非线性电感非线性电感 : L = Const (如如:铁心电感铁心电感 不为常数不为常数)ui 线圈线圈匝数匝数3-4电感中的感应电动势电感中的感应电动势eLui eLeL 的方向的方向：与电流方向一致与电流方向一致与磁通符合右螺旋法则与磁通符合右螺旋法则eL 的大小的大小：dtdiLdtdNeL3-5电感中电流、电压的关系电感中电流、电压的关系当当 Ii (直流直流) 时时,0dtdi0u所以所以,在直流电路中电感相当于短路在直流电路中电感相当于短路.ueLiLdtdiLdtd

3、NeLLeudtdiLu udtLi1直流电直流电路中，路中，电感中电感中的电流的电流是否为是否为0？3-6电感是一种电感是一种储能元件储能元件, 储存的储存的磁场磁场能量为：能量为：电感的储能电感的储能dtdiLu 20021LiLidiuidtWtiL 221LiWL ？电感中的电流是直流时电感中的电流是直流时, 储储存的磁场能量是否为存的磁场能量是否为0？否！否！221LIWL 3-7电容器电容器在外电源作用下在外电源作用下，两极板上分别带上等量异两极板上分别带上等量异号电荷，撤去电源，板上电荷仍可长久地集号电荷，撤去电源，板上电荷仍可长久地集聚下去，是一种储存电能的部件。聚下去，是一种

4、储存电能的部件。2.电容电容 C表征电路元器件存储电荷特性的理想元件。表征电路元器件存储电荷特性的理想元件。（单位单位：F, F, pF）_q+q dsC极板极板面积面积板间板间距离距离介电介电常数常数线性电容线性电容:C=Const ( 不变不变)非线性电容非线性电容:C = Const ( 不为常数不为常数)3-8ui电容符号电容符号有极性有极性无极性无极性+q = CuuqC 电容元件电容元件3-9dtduCdtdqi电容上电流、电压的关系电容上电流、电压的关系当当 Uu (直流直流) 时时,0dtdu0i所以所以,在直流电路中电容相当于开路。在直流电路中电容相当于开路。uiCq = C

5、udtduCi idtCu1直流电直流电路中，路中，电容两电容两端的电端的电压是否压是否为为0？3-10 电容元件有记忆电流的作用，故称电容为记忆元件电容元件有记忆电流的作用，故称电容为记忆元件（1 1）当）当 u，i为非关联方向时，上述微分和积分表达为非关联方向时，上述微分和积分表达式前要冠以负号式前要冠以负号 ; ;（2 2）上式中）上式中u(t0)称为电容电压的初始值，它反映电称为电容电压的初始值，它反映电容初始时刻的储能状况，也称为初始状态。容初始时刻的储能状况，也称为初始状态。 ) 0(0d1001d1d 1)( tttttiCuidtCtiCtiCtu表明表明注意注意！3-11电容

6、是一种电容是一种储能元件储能元件, 储存的储存的电场电场能量为：能量为：电容的储能电容的储能dtduCi 20021CuCuduuidtWtuC 221CuWC ？电容两端的电压是直流时电容两端的电压是直流时, 储存的电场能量是否为储存的电场能量是否为0？否！否！221CUWC 3-12无源元件小结无源元件小结 LCRu，I关关 系系能量能量储放储放dtduCi dtdiLu iRu=221CuWC 221LiWL tuidtW03-13tECu稳态稳态暂态暂态旧稳态旧稳态 新稳态新稳态 过渡过程过渡过程C电路处于旧稳态电路处于旧稳态SRE+_Cu开关开关S S闭合闭合电路处于新稳态电路处于新

7、稳态RE+_Cu一、电路的暂态过程一、电路的暂态过程1. 1. 暂态过程暂态过程3.2 3.2 换路定则及初始值的确定换路定则及初始值的确定3-14研究暂态过程的基本依据：研究暂态过程的基本依据：（1）元件的性质）元件的性质电容：电容：dtduCiCC ，当，当0dtduC ，电容相当于开路。，电容相当于开路。电感：电感：dtdiLuLL ，当，当0dtdiL ，电感相当于短路。，电感相当于短路。（2）欧姆定律、基尔霍夫定律）欧姆定律、基尔霍夫定律（3）换路定则）换路定则3-15 2. 2. 暂态过程产生的条件和原因暂态过程产生的条件和原因电路有换路存在电路有换路存在（如：电源的接通、断开、短

8、路、（如：电源的接通、断开、短路、 电路参数改变等所有电路状态的改变）电路参数改变等所有电路状态的改变） (2) (2) 电路中电路中存在储能元件存在储能元件（L或或C）条件条件3-16因为能量的存储和释放需要一个过程，因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有所以有电容的电路存在过渡过程。电容的电路存在过渡过程。EtCu 电容为储能元件，它储存的能量为电场能量电容为储能元件，它储存的能量为电场能量 ，其，其大小为：大小为： 2021CuidtuWtC储能元件储能元件ESR+_CuC电容电路电容电路3-17tLi储能元件储能元件电感电路电感电路电感为储能元件，它储存的能量为磁场能量，电感为储能元

9、件，它储存的能量为磁场能量，其大小为：其大小为：2021LidtuiWtL因为能量的存储和释放需要一个过程，因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有所以有电感的电路存在过渡过程。电感的电路存在过渡过程。SRE+_t=0iL3-18 储能元件储能元件（L、C）的能量不能突变；的能量不能突变；p = ， p不能等于不能等于 ，dwdt能量能量w不能突变不能突变。电感电感 L 储存的磁场能量储存的磁场能量）（221LLLiW LW不能突变不能突变Li不能突变不能突变CW不能突变不能突变Cu不能突变不能突变电容电容C C存储的电场能量存储的电场能量）（221CuCWC 原因原因3-19若若cu发生突变

10、，发生突变， Lu不可能不可能！所以电容电压不能突变所以电容电压不能突变从电压电流关系分析从电压电流关系分析SRE+_CiuCCCCudtduRCuiRE S S 闭合后，列回路电压方程：闭合后，列回路电压方程：dtduCCi diLuLdtL 同理，因为同理，因为所以电感电流不能突变所以电感电流不能突变 dtduc则则不满足不满足KVL,KVL,3-20( (换路换路: : 电路状态的改变。电路状态的改变。) )在换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突变在换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突变设：设：t=0时换路时换路0- - 换路前瞬间换路前瞬间0+- 换路后瞬间换路后瞬间)0(

11、)0(-+ CCuu)0()0(-+ LLii则：则：二、换路定则二、换路定则3-21求解依据求解依据初始值初始值t=0+ 时时电路中的各电流、电压值电路中的各电流、电压值三、初始电压、电流的确定三、初始电压、电流的确定)0()0(-+ CCuu)0()0(-+ LLii求解步骤求解步骤1 1）求）求 t = 0- 时（电路处于原稳态）的时（电路处于原稳态）的uC(0-), iL(0-)；2 2）根据换路定则确定）根据换路定则确定uC和和 iL的初始值；的初始值；uC(0+)= uC(0-)，iL(0+)= iL(0-)；3 3）画出）画出t t=0=0+（换路后换路后）的等效电路：）的等效电

12、路： 将电容作为恒压源处理，其大小和方向取决于将电容作为恒压源处理，其大小和方向取决于u uC C(0(0+) ) ； 将电感作为恒流源处理，其大小和方向取决于将电感作为恒流源处理，其大小和方向取决于i iL L(0(0+) )； 然后，利用该电路确定其它电量的初始值然后，利用该电路确定其它电量的初始值。3-22换路瞬间，换路瞬间，uC，iL不能突变。其它电量均可能突变，不能突变。其它电量均可能突变，变不变由计算结果决定；变不变由计算结果决定；2. 2. 换路瞬间，换路瞬间， uC(0-)=U0 0，电容相当于恒压源，电容相当于恒压源， 其值等于其值等于U0 ， uC(0-)=0，电容相当于短

13、路；电容相当于短路；3. 3. 换路瞬间，换路瞬间， iL(0-)=I0 0，电感相电感相 当于恒流源，其值等于当于恒流源，其值等于I0，iL(0-)=0， 电感相当于开路。电感相当于开路。3-23根据电路的定律列写电压、电流的微分方程，根据电路的定律列写电压、电流的微分方程，求解电路中电压、电流随时间的变化规律。求解电路中电压、电流随时间的变化规律。经典法经典法: :1. RC电路的零输入响应电路的零输入响应换路后的电路中无电源激励。即输入信号为换路后的电路中无电源激励。即输入信号为0时，仅由初始时，仅由初始储能作用于电路产生的响应。储能作用于电路产生的响应。SRU+_CCuit = 0uC

14、(0+)=uC(0-) =U列换路后电路的列换路后电路的KVL方程：方程：CCudtduRC CuRi0 3.33.3 RC电路的暂态过程电路的暂态过程 3-24CCudtduRC =0一阶常系数齐次微分方程一阶常系数齐次微分方程其通解为指数函数：其通解为指数函数：ptCAeu A：待定系数：待定系数P：特征根：特征根01 RCPRCP1 故故：特征方程特征方程：Ctu )(tAe RC代入初始条件代入初始条件：uC (0+)=UA=UCu )(0 0Ae RC =UCtu )(tUe RC得：得：3-25分析：分析：1）电容上电压随时间按指数规律变化；）电容上电压随时间按指数规律变化；2）变

15、化的起点是初始值）变化的起点是初始值U，变化的终点是稳态值，变化的终点是稳态值0 ；3）变化的速度取决于时间常数）变化的速度取决于时间常数 ；称为称为时间常数时间常数定义定义：RC=单位单位R: : 欧姆欧姆C：法拉法拉 ：秒秒Ctu )(tUe RCCCudtduRC =0解解的物理意义的物理意义: : 决定电路决定电路 过渡过程变化的快慢。过渡过程变化的快慢。 CutU )( u3-26实际上当实际上当 t=5 时，过渡过程基本结束，时，过渡过程基本结束，uC达到稳态值。达到稳态值。0.368)( Uu 当当 t = 时时: :CutU )( uCuU0.368U0.135U0.049U

16、0.018U0.007U0.002Ut0 2 3 45 6 Ctu )(tUe RC理论上当理论上当 t 时，过渡过程结束，时，过渡过程结束，uC达到稳态值；达到稳态值；0.368U3-27tU0.368U123 越大越大，过渡过程曲线变化越慢，过渡过程曲线变化越慢，uC达到稳态所需要的时间越长。达到稳态所需要的时间越长。123321Ctu )(tUe RC3-28Ctu)(tUe RCuR iR iRR tUe RCRCuRuRiU-Ut4）电路中其它物理量也随时间按指数规律变化；）电路中其它物理量也随时间按指数规律变化；且为一个时间常数且为一个时间常数Ctu )(tUe RCSRU+_CC

17、uit = 03-29SRU+_CCui换路后换路后KVLKVL电压方程：电压方程：CCCudtduRCuRiU 即初始状态为即初始状态为0 0时，在电路中产生的响应。时，在电路中产生的响应。uC（0+） = uC（0-）= 02. 2. RC电路的零状态响应电路的零状态响应UudtduRCCC 一阶常系数非齐次一阶常系数非齐次线性微分方程线性微分方程由数学分析知此种微分方程的解由两部分组成：由数学分析知此种微分方程的解由两部分组成：CCCuutu)( Cu方程的特解方程的特解对应齐次方程的通解（补函数）对应齐次方程的通解（补函数）Cu3-30UutuCC )()(UKdtdKRC UK （常

18、数常数）KuC Cu和外加激励信号具有相同的形式。令和外加激励信号具有相同的形式。令代入方程代入方程 , 得得： 在电路中，通常取在电路中，通常取换路后的新换路后的新稳态值稳态值 记做：记做：uC( )作特解作特解，故此特解也称为故此特解也称为稳态分量稳态分量或或强制强制分量分量。所以该电路的特解为：。所以该电路的特解为： 求特解求特解 - CuCu求对应齐次方程的通解求对应齐次方程的通解 -0 CCudtduRC通解即通解即：的解的解Cu RCtAe Cu随时间变化，故通常称为随时间变化，故通常称为自由分量自由分量或或暂态分量暂态分量。3-31RCtAeU cCCCuuutuRCtAe )(

19、)(UudtduRCCC 因此该微分方程的解为：因此该微分方程的解为：代入该电路的初始条件：代入该电路的初始条件：0)0()0( CCuu得得: :0)()0(00 AeUAeuuCCu UuA )()0(所以所以故得方程的全解为故得方程的全解为 ： CCCuutu )(RCtCCCeuuu )()0 ()(RCtUeU U（1-RCte ）3-32RCtUeU CCCuutu )(RCtCCCeuuu )()0 ()(故得方程的全解为故得方程的全解为 ： U（1-RCte ）RC tCuU3-33当当 t = 5 时，过渡过程基本结束，时，过渡过程基本结束，可以近似认为可以近似认为uC达到稳

20、态值。达到稳态值。 tCUeUtu )(t当当 时时:CutU t02456Cu00.632U0.865U0.950U 0.982U0.993U0.998U 3002 .63)( Uu RC )( u0.632U3-34换路后的换路后的KVL电压方程电压方程：换路后的电路中有电源激励。换路后的电路中有电源激励。uC（0+） =uC（0-）= UO 0U0+_SRCCuit = 0U+_3. RC电路的全响应电路的全响应CCCudtduRCuRiU+=+=UudtduRCCC=+3-35RCtcCCCAeUuuutu RCtAe )()(该微分方程的解为：该微分方程的解为：代入该电路的起始条件代

21、入该电路的起始条件UO)0()0( CCuu得得: :UO0 AeU)0( uC所以所以UA UOUudtduRCCC=+3-36CCCuutu )(URCte U )(UO故得方程的全解为故得方程的全解为 ： U（1-RCte ）RCte =UO稳态分量稳态分量暂态分量暂态分量全响应全响应RC tCuU0UtCuUU0U0 UU0 U零状态响应零状态响应零输入响应零输入响应3-37初始值初始值新稳态值新稳态值表达式表达式零输入零输入响应响应U00零状态零状态响应响应0U全响应全响应U0URCt0CeUu )e1(UuRCtC RCt0Ce )UU(Uu 电容电压电容电压3-38根据经典法推导

22、的结果：根据经典法推导的结果： teftf ff )()0()()(可得一阶电路微分方程解的通用表达式：可得一阶电路微分方程解的通用表达式：3.4 3.4 一阶线性电路暂态分析的三要素法一阶线性电路暂态分析的三要素法电路中只含一个储能元件或可等效为只有一个电路中只含一个储能元件或可等效为只有一个储能元件的线性电路。其微分方程是一阶的。储能元件的线性电路。其微分方程是一阶的。稳态稳态分量分量暂态暂态分量分量一阶线性电路：一阶线性电路： fft)( t)(f t)(= f +Ae-t/ （ ）ff )()0(3-39利用求三要素的方法求解过渡过程，称为暂态分析的三要利用求三要素的方法求解过渡过程，

23、称为暂态分析的三要素法。只要是一阶线性电路，就可以用三要素法。素法。只要是一阶线性电路，就可以用三要素法。三要素三要素: : )( f稳态值稳态值 -初始值初始值 -)0( f时间常数时间常数- )：(tf代表一阶电路中任一电压、电流函数。代表一阶电路中任一电压、电流函数。1 1）一阶线性电路暂态分析的三要素法）一阶线性电路暂态分析的三要素法一般表达式：一般表达式： teftf ff )()0()()(3-402 2）三要素法进行暂态分析的步骤：）三要素法进行暂态分析的步骤：分别求初始值、稳态值、时间常数；分别求初始值、稳态值、时间常数；将以上结果代入过渡过程通用表达式；将以上结果代入过渡过程

24、通用表达式； 画出过渡过程曲线（画出过渡过程曲线（由初始值由初始值稳态值，指数规律稳态值，指数规律）三要素的计算三要素的计算求初始值求初始值f f（0 0+ +）：）：(1)(1)求换路前的求换路前的)0-(Li)0-(Cu，(2)(2)根据换路定则得出：根据换路定则得出：)0()0( LLii)0-()0( CCuu(3)(3)根据换路后的等效电路，求未知的根据换路后的等效电路，求未知的 ，)0 ( u)0 ( i3-41 (2) (2) 根据电路的解题规律，根据电路的解题规律， 求换路后所求未知数的稳态值求换路后所求未知数的稳态值求稳态值求稳态值f f（ ）：）：(1) (1) 画出换路后

25、的等效电路画出换路后的等效电路 （注意（注意: :在直流激励的情况在直流激励的情况 下下, ,令令C开路开路, , L短路短路）；）；例例求图（求图（a）的）的uC（ ），图（，图（b）的）的iL（ ）。）。+-t=0C10V4 k3k4kuc（a）t =0L2 3 3 4mALi（b）V634/4310)( CumA23334)( Li3-42原则原则: : 要由要由换路后换路后的电路结构和参数计算。的电路结构和参数计算。同一电路中各物理量的同一电路中各物理量的 是一样的。是一样的。求时间常数求时间常数R0是换路后的电路中，从是换路后的电路中，从C两端看进去的无源二两端看进去的无源二端网络（

26、理想电压源短路、理想电流源开路）的端网络（理想电压源短路、理想电流源开路）的等效内阻等效内阻 。步骤步骤: : (1) (1) 对于一阶对于一阶RC电路，电路， = =R0C ；R0是换路后的电路中，从是换路后的电路中，从L两端看进去的无源二两端看进去的无源二端网络（理想电压源短路、理想电流源开路）的端网络（理想电压源短路、理想电流源开路）的等效内阻等效内阻 。 (2) (2) 对于一阶对于一阶RL电路，电路， = =L/R0 ；3-433.5 3.5 RL电路的暂态过程电路的暂态过程根据电路的定律列写电压、电流的微分方程，根据电路的定律列写电压、电流的微分方程，求解电路中电压、电流随时间的变

27、化规律。求解电路中电压、电流随时间的变化规律。经典法经典法: :3.5.1 3.5.1 RL电路的零输入响应电路的零输入响应iL（0+）=iL（0 -）=U/R列换路后电路的列换路后电路的KVL方程：方程：SRU+_LLuiLt = 0LLRidtdiL =03-44LLRidtdiL =0一阶常系数齐次微分方程一阶常系数齐次微分方程其通解为指数函数：其通解为指数函数：ptLAei A：待定系数：待定系数P：特征根：特征根0R LP LPR 故故：特征方程特征方程：Lti )(tAe L/R代入初始条件代入初始条件：iL （0+）=I0A= I0Li )(00Ae L/R =I0Lti )(t

28、I0 e L/R得：得：3-45分析：分析：1 1）电感上电流随时间按指数规律变化；）电感上电流随时间按指数规律变化；2）变化的起点是初始值）变化的起点是初始值I0，变化的终点是稳态值，变化的终点是稳态值0 ；3 3）变化的速度取决于时间常数）变化的速度取决于时间常数 ；L/R 单位：单位：R： ；L：H； ：S解解LitI0 )( iLLRidtdiL =0Lti )(tI0 e L/R0.368I0实际上当实际上当 t=5 时，过渡过程基本结束，时，过渡过程基本结束， iL达到稳态值。达到稳态值。理论上当理论上当 t 时，过渡过程结束，时，过渡过程结束，iL达到稳态值；达到稳态值；3-46LiI0Lu-RI0t4 4）电路中其它物理量也随时间按指数