函数的单调性与导数(第一课时)

1、导数的几何意义是什么？导数的几何意义是什么？函数函数f(xf(x) )在在x=xx=x1 1的导数就是在该点处切线的导数就是在该点处切线的斜率的斜率. . 如图表示在某次跳水过程中的高度如图表示在某次跳水过程中的高度h h随随 时间时间t t变化的函数变化的函数h(th(t)=-)=-4.9t4.9t2 2+6.5t+10+6.5t+10的图象的图象htot1b t0t2请分析曲线请分析曲线h(th(t) )在在t t0 0,t,t1 1,t,t2 2附近附近的变化情况的变化情况. 观察下面一些函数的图象观察下面一些函数的图象, , 探讨函数的单调性与其探讨函数的单调性与其导函数正负的关系导函

2、数正负的关系. .yOy = xxxyOy = x2y = x3yOxxyOxy1 观察下面一些函数的图象观察下面一些函数的图象, , 探讨函数的单调性与其探讨函数的单调性与其导函数正负的关系导函数正负的关系. .yOy = xxxyOy = x2y = 1yOxy =2 xyOx 观察下面一些函数的图象观察下面一些函数的图象, , 探讨函数的单调性与其探讨函数的单调性与其导函数导函数正负正负的关系的关系. .y = 2x2y = x3yOxxyOxy121xyxyOyOxa b( , )在在某某个个区区间间内内, ,注：应正确理解注：应正确理解 “ 某个区间某个区间 ” 的含义的含义,它必它

3、必是是定义域内定义域内的某个区间。的某个区间。fx ( )0f xa b ( ) ( , )在在内内单单调调递递增增fx ( )0f xa b ( ) ( , )在在内内单单调调递递减减例例1 1、已知导函数、已知导函数 的下列信息：的下列信息：( )f x当当1x41x0;0;当当x4,x4,或或x1x1时，时， 0;0;当当x=4,x=4,或或x=1x=1时，时， =0.=0.试画出函数试画出函数f(xf(x) )的大致的大致图象。图象。( )f x( )f x( )f x解解: 当当1 x 4 , 或或 x 1时时, 可知可知 在此区在此区间内间内, 0)( xf)(xf 当当 x =

4、4 , 或或 x = 1时时, . 0)( xf 综上综上, 函数函数 图象图象的大致形状如右图所示的大致形状如右图所示.)(xfxyO14单调递增单调递增;单调递减单调递减;这两点我们称它们为这两点我们称它们为“临界点临界点”解：解：函数单调递减。函数单调递减。函数单调递增。函数单调递增。所以函数所以函数f(x)的单调递减区间是：的单调递减区间是：（-，-1），（），（3，+ ）；单调递增区；单调递增区间是间是（-1，3）。0-11( )fx例例2 已知函数已知函数f(x)的导函数的导函数 的图象如图所示的图象如图所示, 试根据试根据 的图象写出的图象写出f(x)的单调区间。的单调区间。(

5、)f x( )f x由图象可知，当由图象可知，当x3时，时， 0，( )f x当当-1x0，( )f xx3( )f x0-11例例3 3、判断下列函数的单调性，并求出单调区间。、判断下列函数的单调性，并求出单调区间。(1) f(x)=x2-2x-3(2)f(x)=x-lnx如图所示：如图所示：2( )23f xxx( ) 22 21f xxx 当当 时，即时，即 时，函数单调递增；时，函数单调递增； ( )0f x 1x 当当 时，即时，即 时，函数单调递减。时，函数单调递减。( ) 0f x 1x所以所以f(x)的单调递增区的单调递增区间间（1，+），单调递，单调递减区间减区间（- ，1）

6、例例2、判断下列函数的单调性，并求出单调、判断下列函数的单调性，并求出单调区间。区间。(1) f(x)=x2-2x-3例例3 判断下列函数的单调性，并求出单调区间判断下列函数的单调性，并求出单调区间解：解：x0y1 (2) f(x)=x-lnxf(x)的定义域是的定义域是（0，+ ）xxxfln)(所以所以f(x)的单调递增区的单调递增区间间（1，+），单调递，单调递减区间减区间（0，1）-25-20-15-10-55xy0如图所示如图所示xxf11)(又又xx1( ) 0f x 当当 时，时，1x 即即 时，时， 函数单调递增函数单调递增( ) 0f x 当当 时，时，10 x即即 时，时，

7、 函数单调递减函数单调递减例例3 3 如图如图, , 水以常速水以常速( (即单位时间内注入水的体积相同即单位时间内注入水的体积相同) )注注入下面四种底面积相同的容器中入下面四种底面积相同的容器中, , 请分别找出与各容器对应请分别找出与各容器对应的水的高度的水的高度h h与时间与时间t t的函数关系图象的函数关系图象. .(A)(A)(B)(B)(C)(C)(D)(D)h ht tOh ht tOh ht tOh ht tO 一般地一般地, , 如果一个函数在某一范围内导数如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大的绝对值较大, , 那么函数在这个范围内变化得那么函数在这个范围内变化得快快,

8、 , 这时这时, , 函数的图象就比较函数的图象就比较“陡峭陡峭”( (向上向上或向下或向下) ); ; 反之反之, , 函数的图象就函数的图象就“平缓平缓”一些一些. . 如图如图, ,函数函数 在在 或或 内的图内的图象象“陡峭陡峭”, ,在在 或或 内的图象内的图象平缓平缓. .)(xfy), 0(b)0 ,(a),( b),(a判断下列函数的单调性判断下列函数的单调性, , 并求出单调区间并求出单调区间: :xexfxxxfx)( ) 2 ( 4)( ) 1 (2xxxxfxxxf233)( ) 4 ( 3)( ) 3 (练习练习练习练习1 4)( ) 1 (2xxxf解：解：12)(

9、4)(2xxfxxxf时，当0)( xf函数单调递增时即,21x,0)(时当 xf时，函数单调递减即21x），），单调递减区间是（，是（的单调递增区间所以函数212142)(2xxxfxexfx)()2(xexfx)(1)(xexf,0)( xf当时，函数单调递增即0 x,0)( xf当时，函数单调递减即0 x)0(0()(，单调递减区间是：），单调递增区间是：的所以xexfx知识小结知识小结：一般地，函数一般地，函数y yf f（x x）在某个）在某个区间区间内：内： 如果如果 ，则，则 f(xf(x) )在该区间是增在该区间是增函数。函数。 如果如果 ，则，则 f(xf(x) )在该区间是减在该区间是减函数。函数。 f(x)0f(x)0(f(x)0)(3)在定义域内确认并指出递增区间（递减在定义域内确认并指出递增区间（递减区间）区间）布置作业：布置作业：P31 A组组1、2思考：如果不用导数的方法，直接运用单调性的定义，你能求解例3中的第（2）题吗？你有何体会？讨论二次函数讨论二次函数 的单调区间的单调区间.)0()(2acbxaxxf解解: )0()(2acbxaxxf.2)(baxxf0 ) 1 (a若 由由 , 得得 , 即函数即函数 的递增区间