第四章 平面一般力系的简化及平衡

1、第四章第四章 平面一般力系的简化与平衡平面一般力系的简化与平衡4-1 平面任意力系向一点的简化主矢和主矩4-2 平面任意力系简化结果的讨论4-3 平面任意力系的平衡条件平衡方程4-4 平面平行力系的平衡方程4-5 物体系的平衡问题4-6 考虑摩擦的平衡问题X平面任意力系实例平面任意力系实例作用线既不汇交也不完全平行的平面力系称为作用线既不汇交也不完全平行的平面力系称为平面一般力平面一般力系，也叫平面任意力系系，也叫平面任意力系。4-1 4-1 平面任意力系向一点的简化平面任意力系向一点的简化点点O O 称为简化中心称为简化中心平面一般力系平面一般力系平面力偶系平面力偶系平面汇交力系平面汇交力系

2、向一点简化向一点简化合成合成FR（合力（合力）Mo（合力偶）（合力偶）平面任意力系向任意一点的简化结果为一个平面任意力系向任意一点的简化结果为一个主矢主矢FR 和一和一个个主矩主矩Mo . .FFFFFFFFnnR2121)()()()(21210FMFMFMFMMMMMonooon【说明】【说明】 1、平面任意力系的主矢的大小和方向与简化中心的、平面任意力系的主矢的大小和方向与简化中心的位置无关。位置无关。 2、平面任意力系的主矩的大小与转向与简化中心、平面任意力系的主矩的大小与转向与简化中心O 的位置有关。因此，在说到力系的主矩时，一定要指明的位置有关。因此，在说到力系的主矩时，一定要指明

3、简化中心。简化中心。4-3 4-3 平面任意力系的平衡条件平面任意力系的平衡条件当物体平衡时，主矢和主矩必须同时为零当物体平衡时，主矢和主矩必须同时为零平面任意力系下的解析平衡条件平面任意力系下的解析平衡条件0FFR0)(0FMMo0)000yFMFFx（这三个平衡条件是互相独立的，对于一个研究对象可以这三个平衡条件是互相独立的，对于一个研究对象可以求解三个未知力，且最多求解三个未知力。求解三个未知力，且最多求解三个未知力。n一矩式平衡方程n二矩式平衡方程n三矩式平衡方程0)( 0)(0)(FMCBAFMFMCBA不共线）、（0 0)(0)(xBAFxABFMFM轴）不（0)000FMFFyx

4、（【解】【解】取取AB 杆为研究对象画受力图。杆为研究对象画受力图。由由 F Fx x =0 =0 得得由由 F Fy y =0 =0 得得由由 MA = 0 = 0 ：【例【例b4-1b4-1】已知已知 q = 2kN/m，l=2m，求图示结构求图示结构A A支座的反力。支座的反力。0AxF4kNm2kN/m20yqlFqlFAyA2kN.mm)2(2kN/m212102)(22qlMlqlMAA【例【例b4-2b4-2】求图示结构的支座反力。求图示结构的支座反力。【解】【解】取取AB AB 杆为研究对象画受力图杆为研究对象画受力图。由由 F Fx x = 0 = 0 ：0AXF由由 F F

5、y y = 0 = 0 ：由由 MA A = 0 = 0 ：kN1204220124BYBYFFkN16122802024AYBYAYFFF由由 FFy y = 0 = 0 ：由由 MMA A = 0 = 0 ：由由 FFx x = 0 = 0 ：【例【例b4-3b4-3】求图示结构的支座反力。求图示结构的支座反力。【解】【解】取整个结构为研究对象画受力图。取整个结构为研究对象画受力图。FAyFByFAxABkN404242BYBYFFkN40ByAyByAyFFFFkN8042AxAxFF0 xF平面平行力系：平面平行力系：各力的作用线在同一平面内且互相平各力的作用线在同一平面内且互相平行的

6、力系。行的力系。 图示一受平面平行力系作用的物体，如选轴与各力作图示一受平面平行力系作用的物体，如选轴与各力作用线垂直，显然有：用线垂直，显然有：yox2F1FnF即平面平行力系平衡的充要条件是：力系中各力的代数和即平面平行力系平衡的充要条件是：力系中各力的代数和以及各力对任一点之矩的代数和都为零。以及各力对任一点之矩的代数和都为零。这样，这样，平面平行力系的平衡条件平面平行力系的平衡条件可写为：可写为：平面平行力系平衡方程的二矩式为平面平行力系平衡方程的二矩式为注意：A、B两点的连线不能与各力的作用线平行。0yFyox2F1FnF0)(FMo0)(0)(FMFMBA【解】【解】画出起重机的受

7、力图。画出起重机的受力图。 平面平行力系的作用。平面平行力系的作用。 （1）满载前倾临界状态（）满载前倾临界状态（FA=0)【例【例4-6】塔式起重机，机架自重塔式起重机，机架自重 W= 700kN，最大起重量，最大起重量P1 =200kN为保证起重机在满载和空载时都不翻到，试求平衡块应为多大？为保证起重机在满载和空载时都不翻到，试求平衡块应为多大？（2）空载后翻临界状态（）空载后翻临界状态（FB=0，W1=0)kN350kN752W所以2m2mWW1W2kN75814002000 82100) 212(2) 26 ( 0)(1min21min2*WWWWWWFMB kN35041400420

8、2) 26 ( 0)(max2max2*WWWWFMA04) 212(2) 26 (BNWPQ0)(FmA0yiF 0BANNWPQ210 kN870 kNABNN求当求当Q=180kN，满载，满载W=200kN时，时，NA ,NB为多少为多少？ 由平面平行力系的平衡方程可得：由平面平行力系的平衡方程可得： 解得：解得： 4-5 4-5 物体系统的平衡问题物体系统的平衡问题 解题思路：先简单受力杆件，后复杂杆件解题思路：先简单受力杆件，后复杂杆件【例【例b4-4b4-4】求图示结构的支座反力。求图示结构的支座反力。【解】【解】一个研究对象最多有三个平衡条件，因此研究对象上最多只能有三个未知力。

9、注意到BC杆有三个未知力，而AB 杆未知力超过三个，所以应先取BC 杆为计算对象，然后再取AB 杆为计算对象。12kN3kN/m6m2m2m2m2m2m12kNFBxFByFC6m2m3kN/mFAxFAyFBxFByFD Fx = 0 Fy = 0MB = 0 BC BC 杆：杆：0BxFkN62/042PFFPCCkN60CByCByFPFFPFF Fx x=0=0M MA A=0=0AB AB 杆：杆：0BxAxFFkN17068363DDByFFF6m2m3kN/mFAxFAyFBxFByFD2m2m12kNFBxFByFCF Fy y=0=0 kN7063AyDByAyFFFF【例【

10、例b4-5b4-5】求图示三铰拱的支座反力。求图示三铰拱的支座反力。由由F Fy y = 0 = 0 ：由由M MA A = 0= 0【解】【解】取整体为研究对象，取整体为研究对象，画受力图：画受力图：由由F Fx x= 0 = 0 ：4kN/m20kN20kN4kN/mFAxFAyFBxFBy200ABXXFAxFBx20 24 4 680By 17ByKNFByFBykN4 40AByy 1AyKN FAyFByFAykN由由MC C =0=0 取右半部分为研究对象，画受力图：取右半部分为研究对象，画受力图：将将FBx 代入式：代入式：得：得：FCxFCyFBxFBy4kN/m9BXKNk

11、NFBx4 4 2440BBXy 即：即：44244 170BX FBxFBxFBy200ABXXFBxFAx2011ABXXKN kNFBxFAx例6例6求图示多跨静定梁的支座反力。解：先以CD为研究对象，受力如图。3()0:3302CDMFqF32DFq再以整体为研究对象，受力如图。0:0 xAxFF0:40yAyBDFFFFFq()0:842460ADBMFFFqF132BFFq1122AyFFqCBq22FAD13FCxFCyFDqFFAxFAyFDFBq解得CDCBAD例7例7 求图示结构固定端的约束反力。解：先以BC为研究对象，受力如图。0:0CMF bMCBMFFb再以AB部分为

12、研究对象，受力如图。0:0 xAxBFFFF0:0yAyFFqa( )0AMF21()02ABMF abqaF a 求得BBFF ,AxAyAMFFFqa MbCBqFAMbaaFBMCBFCFBFAyqFBAMAFAx例4例8 组合结构如图所示，求支座反力和各杆的内力。解：先以整体为研究对象，受力如图。0:0 xAxDFFF0:(2)0yAyFFqab212()0(2)0ADMF aqabF解之得：2(2)2DqabFa2(2)2AxqabFa (2)AyFqabaaabDACEFBq123DACEFBq123FDFAxFAy130:cos450 xFFF230:sin450yFFF23(2

13、)2qabFa 22(2)2qabFaF1F2F3Cxy45例例41DFF再以铰C为研究对象，受力如图，建立如图坐标。aaabDACEFBq123例9例9 图示结构，各杆在A、E、F、G处均为铰接，B处为光滑接触。在C、D两处分别作用力P1和P2，且P1P2500 N，各杆自重不计，求F处的约束反力。解：先以整体为研究对象，受力如图。()0:AMF214260BFPP解得：1000NBF 2m2m2m2m2m2mADEFGBCP1P2P1P2ADEFGBCFAxFAyFB例9再以DF为研究对象，受力如图。2()0:220EFyMPFF解得：2500 NFyFP 最后以杆BG为研究对象，受力如图

14、。()0:GMF4220BFyFxFFF解得：1500 NFxF P2DEFFEyFFyFFxFExFGyFBFGBFGxFFyFFx2m2m2m2m2m2mADEFGBCP1P2ABCD例10例10 三根等长同重均质杆(重W)如图在铅垂面内以铰链和绳EF构成正方形。已知：E、F是AB、BC中点，AB水平，求绳EF的张力。解1：取AB分析，受力如图。不妨设杆长为l。()0:BMFsin450(1)22AyTllF lWF再以整体为研究对象，受力如图。0:yF30(2)AyDyFFWABCDFByFBxABFAxFAyWFTWWWFAxFAyFDxFDy例10最后以DC为研究对象，受力如图。0(

15、3)2DylF lW联立求解(1)、(2)、(3)得：42TFW()0:CMFFCyFCxDCFDxFDyWABCD解2：先以BC为研究对象，受力如图。sin450(4)2CxTlFlF 再以DC为研究对象，受力如图。0 xFFCxFCyFBxFByBCW()0:BMFFT0(5)DxCxFFABCD例10联立求解(4)、(5)、(6)即可的同样结果。最后以整体为研究对象，受力如图。20(6)2DxlF lWWl()0:AMFABCDWWWFAxFAyFDxFDyABCD解2：先以BC为研究对象，受力如图。sin450(4)2CxTlFlF 再以DC为研究对象，受力如图。0 xF()0:BMF

16、0(5)DxCxFF例11例11 三无重杆AC、BD、CD如图铰接，B处为光滑接触，ABCD为正方形，在CD杆距C三分之一处作用一垂直力P，求铰链 E 处的反力。解：先以整体为研究对象，受力如图。0:0 xAxFF2()0:03ABMF lPlF0:0yAyBFFFP解得：13AyFP23BFPPlDl2l/3CABEPDCABEFAxFAyFBEPD2l/3CB例11下面用不同的方法求铰链 E 的受力。方法1：先以DC为研究对象。2()0:03DCylMFlP F23CyFP再以BDC为研究对象。0:0yEyBCyFFFFP13EyFP ()0:0232CExEylllMFPFFExFP 类似地，亦可以DC为研究对象，求FDy，再以ACD为研究对象求解。PD2l/3CFDxFDyFCxFCyFBFExFEyFCxFCy例11方法2：分别以ACD和AC为研究对象。()0:DMF20223AxExEylllF lFFP022AxAyExEyllF lF lFF