2.3.1-离散型随机变量的均值

1、23离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值与方差23.1离散型随机变量的均值离散型随机变量的均值第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布栏目栏目导引导引第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布学习导航学习导航栏目栏目导引导引第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布新知初探思维启动新知初探思维启动1离散型随机变量的均值离散型随机变量的均值(1)定义定义:一般地一般地,若离散型随机变量若离散型随机变量X的分布列为的分布列为:则称则称E(X)_为随机为随机变量变量X的均值或数学期望的均值或数学期望(2)意义意义:它反映了离散型随机变量取值的它反映了离散型随机变量取值的_(3)性质

2、性质:如果如果X为为(离散型离散型)随机变量随机变量,则则YaXb(其中其中a,b为常数为常数)也是随机变量也是随机变量,且且P(Yaxib)P(Xxi),i1,2,3,n,E(Y)_.Xx1x2xixnPp1p2pipnx1p1x2p2xipixnpn平均水平平均水平E(aXb)aE(X)b栏目栏目导引导引第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布想一想想一想均值均值E(X)是一个常数还是一个变量？是一个常数还是一个变量？提示提示:常数常数做一做做一做1.已知已知X的分布列为的分布列为则则X的均值为的均值为_栏目栏目导引导引第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布2两点分布与二项分布的

3、均值两点分布与二项分布的均值做一做做一做2.一名射手每次射击中靶的概率均为一名射手每次射击中靶的概率均为0.8,则他独立射击则他独立射击3次中靶次数次中靶次数X的均值为的均值为_解析解析:XB(3,0.8),E(X)30.82.4.答案答案:2.4XXB(n,p)X服从两点分布服从两点分布E(X)npp(p为成功概率为成功概率)栏目栏目导引导引第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布典题例证技法归纳典题例证技法归纳例例1题型一离散型随机变量均值的性质题型一离散型随机变量均值的性质已知随机变量已知随机变量X的分布列为的分布列为:(1)求求E(X);(2)若若Y2X3,求求E(Y)栏目栏目导引

4、导引第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布栏目栏目导引导引第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布栏目栏目导引导引第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布【名师点评名师点评】(1)该类题目属于已知离散型分布列求该类题目属于已知离散型分布列求期望期望,求解方法是直接套用公式求解方法是直接套用公式,E(X)x1p1x2p2xnpn求解求解(2)对于对于aXb型的随机变量型的随机变量,可利用均值的性质求解可利用均值的性质求解,即即E(aXb)aE(X)b;也可以先列出也可以先列出aXb的分布列的分布列,再再用均值公式求解用均值公式求解,比较两种方式显然前者较方便比较两种方式显然前者较方

5、便栏目栏目导引导引第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布互动探究互动探究栏目栏目导引导引第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布例例2某校在全校学生中开展物理和化学实验操作大某校在全校学生中开展物理和化学实验操作大比拼活动比拼活动,活动要求活动要求:参加者物理、化学实验操作都必须参加者物理、化学实验操作都必须参加参加,有有50名学生参加这次活动名学生参加这次活动,评委老师对这评委老师对这50名学生名学生实验操作进行评分实验操作进行评分,每项操作评分均按等级采用每项操作评分均按等级采用5分制分制(只打整数分只打整数分),评分结果统计如下表评分结果统计如下表:题型二求离散型随机变量的均值

6、题型二求离散型随机变量的均值栏目栏目导引导引第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布(1)若随机抽取若随机抽取1名参加活动的学生名参加活动的学生,求求“化学实验得分化学实验得分为为4分且物理实验得分为分且物理实验得分为3分分”的学生被抽取的概率的学生被抽取的概率;(2)从这从这50名参赛学生中任取名参赛学生中任取1名名,其物理实验与化学实其物理实验与化学实验得分之和为验得分之和为,求求的数学期望的数学期望栏目栏目导引导引第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布栏目栏目导引导引第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布【名师点评名师点评】求离散型随机变量求离散型随机变量X的均值的步骤的

7、均值的步骤:(1)理解理解X的意义的意义,写出写出X可能取的全部值可能取的全部值;(2)求求X取每个值的概率取每个值的概率;(3)写出写出X的分布列的分布列(有时可以省略有时可以省略);(4)利用定义公式利用定义公式E(X)x1p1x2p2xnpn求出均求出均值值栏目栏目导引导引第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布跟踪训练跟踪训练栏目栏目导引导引第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布栏目栏目导引导引第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布例例3题型三二项分布的均值题型三二项分布的均值栏目栏目导引导引第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布【名师点评名师点评】(1)如果随机

8、变量如果随机变量X服从两点分布服从两点分布,则其则其期望值期望值E(X)p(p为成功概率为成功概率)(2)如果随机变量如果随机变量X服从二项分布即服从二项分布即XB(n,p),则则E(X)np,以上两特例可以作为常用结论以上两特例可以作为常用结论,直接代入求解直接代入求解,从而从而避免了繁杂的计算过程避免了繁杂的计算过程栏目栏目导引导引第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布跟踪训练跟踪训练3某电视台开展有奖答题活动某电视台开展有奖答题活动,每次要求答每次要求答30个选择个选择题题,每个选择题有每个选择题有4个选项个选项,其中有且只有一个正确答案其中有且只有一个正确答案,每一题选对得每一题

9、选对得5分分,选错或不选得选错或不选得0分分,满分满分150分分,规定满规定满100分拿三等奖分拿三等奖,满满120分拿二等奖分拿二等奖,满满140分拿一等奖分拿一等奖,有有一选手选对任意一题的概率是一选手选对任意一题的概率是0.8,则该选手有望能拿到则该选手有望能拿到几等奖？几等奖？解解:选对题的个数选对题的个数XB(30,0.8),故故E(X)300.824,由于由于245120(分分),所以该选手有望能拿到二等奖所以该选手有望能拿到二等奖栏目栏目导引导引第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布例例4题型四均值问题的实际应用题型四均值问题的实际应用某游戏射击场规定某游戏射击场规定:每次

10、游戏射击每次游戏射击5发子弹发子弹;5发全部命中奖励发全部命中奖励40元元;命中命中4发不奖励发不奖励,也不必付款也不必付款;命中命中3发或发或3发以下发以下,应付款应付款2元现有一游客元现有一游客,其命中率为其命中率为0.5.(1)求该游客在一次游戏中求该游客在一次游戏中5发全部命中的概率发全部命中的概率;(2)求该游客在一次游戏中获得资金的均值求该游客在一次游戏中获得资金的均值栏目栏目导引导引第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布栏目栏目导引导引第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布栏目栏目导引导引第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布【名师点评名师点评】解答此类题目时解

11、答此类题目时,首先应把实际问题概首先应把实际问题概率模型化率模型化,然后利用有关概率的知识去分析相应各事件然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小可能性的大小,并列出分布列并列出分布列,最后利用公式求出相应的最后利用公式求出相应的数学期望数学期望栏目栏目导引导引第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布跟踪训练跟踪训练4随机抽取某厂的某种产品随机抽取某厂的某种产品200件件,经质检经质检,其中有一等其中有一等品品126件、二等品件、二等品50件、三等品件、三等品20件、次品件、次品4件已知件已知生产生产1件一、二、三等品获得的利润分别为件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、万元、

12、2万万元、元、1万元万元,而生产而生产1件次品亏损件次品亏损2万元设万元设1件产品的利件产品的利润为润为(单位单位:万元万元)(1)求求的分布列的分布列;(2)求求1件产品的平均利润件产品的平均利润(即即的数学期望的数学期望)栏目栏目导引导引第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布栏目栏目导引导引第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布1随机变量的均值与样本的平均值的关系随机变量的均值与样本的平均值的关系2.离散型随机变量的分布列和均值虽然都是从整体上和离散型随机变量的分布列和均值虽然都是从整体上和全局上刻画随机变量的全局上刻画随机变量的,但两者大不相同但两者大不相同,分布列只给出分布

13、列只给出了随机变量取所有可能值的概率了随机变量取所有可能值的概率,而均值却反映了随机而均值却反映了随机变量取值的平均水平变量取值的平均水平随机变量的均值随机变量的均值样本的平均值样本的平均值区区别别是一常数是一常数,不依赖于样不依赖于样本的抽取本的抽取是一随机变量是一随机变量,随样本随样本抽取的不同而变化抽取的不同而变化联联系系随样本容量的增加随样本容量的增加,样本的平均值越来越接近于样本的平均值越来越接近于总体的均值总体的均值栏目栏目导引导引第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布精彩推荐典例展示精彩推荐典例展示求离散型随机变量的均值求离散型随机变量的均值(本题满分本题满分12分分)(2

14、013高考江西卷高考江西卷)小波以游戏小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队游方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队游戏规则为戏规则为:以以O为起点为起点,再从再从A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8(如图如图)这这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个记这两个向量的数量积为向量的数量积为X.若若X0就参加学校合唱团就参加学校合唱团,否则就参否则就参加学校排球队加学校排球队规范解答规范解答例例3栏目栏目导引导引第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布(1)求小波参加学校合唱团的概率求小波参加学校合唱团的概率;(2)求求X的分布列和数学期望的分布列和数学期望栏目栏目导引导引第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布栏目栏目导引导引第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布栏目栏目导引导引第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布跟踪训练跟踪训练5运动员射击一次所得环数运动员射击一次所得环数X的分布列如下的分布列如下:现进行两次射击现进行两次射击,以该运动员两次射击中最高环数作为以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩他的成绩,记为记为.(1)求求的分布列的分布列;(2)求求的均值的均值X0678910