高等数学微积分下(本科)全册配套精品完整课件(一）

1、高等数学微积分下高等数学微积分下(本科本科)全册全册配套精品完整课件配套精品完整课件(一）一）第第2 2章章 多元函数微分学多元函数微分学2.1 2.1 多元函数的基本概念多元函数的基本概念2.2 2.2 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续2.3 2.3 偏导数与高阶偏导数偏导数与高阶偏导数2.4 2.4 全微分及其应用全微分及其应用2.5 2.5 方向导数与梯度方向导数与梯度2.6 2.6 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则2.7 2.7 隐函数微分法隐函数微分法2.8 2.8 偏导数的几何意义偏导数的几何意义2.9 2.9 多元函数的极值及其应用多元函数的极值及其应用2.1

2、0 2.10 二元函数的二元函数的TaylorTaylor公式公式 设设),(000yxP是是xoy平面上的一个点，平面上的一个点， 是某是某一正数，与点一正数，与点),(000yxP距离小于距离小于 的点的点),(yxP的全体，称为点的全体，称为点0P的的 邻域，记为邻域，记为),(0 PU，（1）邻域）邻域0P ),(0 PU |0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx2.1 2.1 多元函数的多元函数的基本基本概念概念 （2）区域）区域.)(的内点的内点为为则称则称，的某一邻域的某一邻域一个点如果存在点一个点如果存在点是平面上的是平面上的是平面上的一个点集，是平面上的一个点集

3、，设设EPEPUPPE .EE 的内点属于的内点属于EP .为开集为开集则称则称的点都是内点，的点都是内点，如果点集如果点集EE41),(221 yxyxE例如，例如，即为开集即为开集的边界点的边界点为为），则称），则称可以不属于可以不属于，也，也本身可以属于本身可以属于的点（点的点（点也有不属于也有不属于的点，的点，于于的任一个邻域内既有属的任一个邻域内既有属如果点如果点EPEEPEEPEP 的边界的边界的边界点的全体称为的边界点的全体称为 EE是连通的是连通的开集开集，则称，则称且该折线上的点都属于且该折线上的点都属于连结起来，连结起来，任何两点，都可用折线任何两点，都可用折线内内是开集如

4、果对于是开集如果对于设设DDDD 连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo开开区区域域连连同同它它的的边边界界一一起起称称为为闭闭区区域域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo0| ),( yxyx有界闭区域；有界闭区域；无界开区域无界开区域xyo例如，例如，则称为无界点集则称为无界点集为有界点集，否为有界点集，否成立，则称成立，则称对一切对一切即即，不超过不超过间的距离间的距离与某一定点与某一定点，使一切点，使一切点如果存在正数如果存在正数对于点集对于点集EEPKAPKAPAEPKE 41| ),(22 yxyx（3）聚点

5、）聚点 设设 E 是是平平面面上上的的一一个个点点集集，P 是是平平面面上上的的一一个个点点，如如果果点点 P 的的任任何何一一个个邻邻域域内内总总有有无无限限多多个个点点属属于于点点集集 E，则则称称 P 为为 E 的的聚聚点点. 内点一定是聚点；内点一定是聚点； 边界点可能是聚点；边界点可能是聚点；10| ),(22 yxyx例例(0,0)既是既是边界点也是聚点边界点也是聚点 点集点集E的聚点可以属于的聚点可以属于E，也可以不属于，也可以不属于E10| ),(22 yxyx例如例如,(0,0) 是聚点但不属于集合是聚点但不属于集合1| ),(22 yxyx例如例如,边界上的点都是聚点也都属

6、于集合边界上的点都是聚点也都属于集合（4）n维空间维空间 设设n为为取取定定的的一一个个自自然然数数，我我们们称称n元元数数组组),(21nxxx的的全全体体为为n维维空空间间，而而每每个个n元元数数组组),(21nxxx称称为为n维维空空间间中中的的一一个个点点，数数ix称称为为该该点点的的第第i个个坐坐标标. n维空间的记号为维空间的记号为;nR n维空间中两点间距离公式维空间中两点间距离公式 ),(21nxxxP),(21nyyyQ.)()()(|2222211nnxyxyxyPQ n维空间中邻域、区域等概念维空间中邻域、区域等概念 nRPPPPPU ,|),(00 特殊地当特殊地当 时

7、，便为数轴、平面、时，便为数轴、平面、空间两点间的距离空间两点间的距离3, 2, 1 n内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义邻域：邻域：设两点为设两点为（5）二元函数的定义）二元函数的定义当当2 n时时，n元元函函数数统统称称为为多多元元函函数数. 多元函数中同样有定义域、值域、自变量、多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念因变量等概念.类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数例例1 1 求求 的定义域的定义域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定义域为所求定义域

8、为., 42| ),(222yxyxyxD （6） 二元函数二元函数 的图形的图形),(yxfz 设函数设函数),(yxfz 的定义域为的定义域为D，对于任意，对于任意取定的取定的DyxP ),(，对应的函数值为，对应的函数值为),(yxfz ，这样，以，这样，以x为横坐标、为横坐标、y为纵坐为纵坐标、标、z为竖坐标在空间就确定一点为竖坐标在空间就确定一点),(zyxM，当当x取遍取遍D上一切点时，得一个空间点集上一切点时，得一个空间点集),(),(| ),(Dyxyxfzzyx ，这个点集称，这个点集称为二元函数的图形为二元函数的图形.（如下页图）（如下页图）二元函数的图形通常是一张曲面二元

9、函数的图形通常是一张曲面.xyzoxyzsin 例如例如,图形如右图图形如右图.2222azyx 例如例如,右图球面右图球面.),(222ayxyxD 222yxaz .222yxaz 单值分支单值分支:2.2 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP （2）二元函数的极限也叫）二元函数的极限也叫二重极限二重极限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似例例1 1 求证求证 证证01sin)(lim222200 yxyxyx01sin)(2222 yxy

10、x22221sinyxyx 22yx , 0 , 当当 时，时， 22)0()0(0yx 01sin)(2222yxyx原结论成立原结论成立例例2 2 求极限求极限 .)sin(lim22200yxyxyx 解解22200)sin(limyxyxyx ,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0, 1 222yxyx x21 , 00 x. 0)sin(lim22200 yxyxyxyxu2 例例3 3 证明证明 不存在不存在 证证26300limyxyxyx 取取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303

11、limxkxkxxkxyx ,12kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 播放播放（1） 令令),(yxP沿沿kxy 趋趋向向于于),(000yxP，若若极极限限值值与与k有有关关，则则可可断断言言极极限限不不存存在在；（2） 找两种不同趋近方式，使找两种不同趋近方式，使),(lim00yxfyyxx存在，存在，但两者不相等，此时也可断言但两者不相等，此时也可断言),(yxf在点在点),(000yxP处极限不存在处极限不存在确定极限确定极限不存在不存在的方法：的方法：n元元函函数数的

12、的极极限限利用点函数的形式可定义利用点函数的形式可定义 设设n元函数元函数)(Pf的定义域为点集的定义域为点集0, PD是其聚点且是其聚点且DP 0，如果，如果)()(lim00PfPfPP 则称则称n元函数元函数)(Pf在点在点0P处连续处连续. . 设设0P是是函函数数)(Pf的的定定义义域域的的聚聚点点，如如果果)(Pf在在点点0P处处不不连连续续，则则称称0P是是函函数数)(Pf的的间间断断点点.定义定义3 3例例4 4 讨论函数讨论函数 )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf在在(0,0)处的连续性处的连续性解解 取取,cos x sin

13、 y)0 , 0(),(fyxf )cos(sin33 2 2)0 , 0(),(fyxf故函数在故函数在(0,0)处连续处连续.),0 , 0(),(lim)0,0(),(fyxfyx , 0 ,2 当当 时时 220yx例例5 5 讨论函数讨论函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的连续性的连续性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域

14、D D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D D上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，如上的多元连续函数，如果在果在D D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D D上上取得介于这两值之间的任何值至少一次取得介于这两值之间的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2）介值定理）介值定理多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫

15、多元初等函数用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域例例6 6.11lim00 xyxyyx 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx原式原式111lim00 xyyx.21 ).()(lim)()()()(lim00000PfPfPPfPfPPfPfPPPP 处连续，于是处连续，于是点点在在的定义域的内点，则的定义域的内点，则是是数，且数，且是初等函是初等函时，如果时，如果一般地，求一般地，求多元函数极限的概念多元函数极限的概念多

16、元函数连续的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的（注意趋近方式的任意性任意性）小结小结多元函数的定义多元函数的定义 若点若点),(yx沿着无数多条平面曲线趋向于沿着无数多条平面曲线趋向于点点),(00yx时，函数时，函数),(yxf都趋向于都趋向于 A，能否，能否断定断定Ayxfyxyx ),(lim),(),(00？思考题思考题思考题解答思考题解答不能不能.例例,)(),(24223yxyxyxf )0 , 0(),(yx取取,kxy 2442223)(),(xkxxkxkxxf 00 x但是但是 不存在不存在.),(lim)0,0(),(yxf

17、yx原因为若取原因为若取,2yx 244262)(),(yyyyyyf .41一、一、 填空题填空题: :1 1、 若若yxxyyxyxftan),(22 , ,则则),(tytxf= =_. .2 2、 若若xyyxyxf2),(22 , ,则则 )3, 2(f_; ; ), 1(xyf_. .3 3、 若若)0()(22 yyyxxyf, ,则则 )(xf_. .4 4、 若若22),(yxxyyxf , , 则则 ),(yxf_. .函数函数)1ln(4222yxyxz 的定义域是的定义域是_. .练练 习习 题题 6 6、函数、函数yxz 的定义域是的定义域是_. . 7 7、函数、函

18、数xyzarcsin 的定义域是的定义域是_. . 8 8、函数、函数xyxyz2222 的间断点是的间断点是_. .二二、 求求下下列列各各极极限限: :1 1、 xyxyyx42lim00 ；2 2、 xxyyxsinlim00；3 3、 22222200)()cos(1limyxyxyxyx . .三、三、 证明：证明：0lim2200 yxxyyx. .四、四、 证明极限证明极限yxxyyx 11lim00不存在不存在 . .一、一、 1 1、 ),(2yxft； 2 2、1213 , , ),(yxf； 3 3、 xx21 ； 4 4、 yyx 112； 5 5、 xyyxyx4,

19、10),(222 ； 6 6、 yxyxyx 2, 0, 0),(； 7 7、 xyxxyx , 0),( xyxxyx , 0),(； 8 8、 02),(2 xyyx. .二、二、1 1、41 ； 2 2、0 0； 3 3、 . .练习题答案练习题答案一、偏导数的定义及其计算法一、偏导数的定义及其计算法2.3 2.3 偏导数与高阶偏导数偏导数与高阶偏导数同理可定义同理可定义函数函数),(yxfz 在点在点),(00yx处对处对y的偏导数，的偏导数， 为为yyxfyyxfy ),(),(lim00000 记为记为00yyxxyz ，00yyxxyf ，00yyxxyz 或或),(00yxfy

20、. .00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.如果函数如果函数),(yxfz 在区域在区域D内任一点内任一点),(yx处对处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数的偏导数都存在，那么这个偏导数就是就是x、y的函数，它就称为函数的函数，它就称为函数),(yxfz 对对自变量自变量x的偏导数，的偏导数， 记作记作xz ，xf ，xz或或),(yxfx.同理可以定义函数同理可以定义函数),(yxfz 对自变量对自变量y的偏导的偏导数，记作数，记作yz ，yf ，yz或或),(yxfy.偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数如如 在在

21、 处处 ),(zyxfu ),(zyx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 例例 1 1 求求 223yxyxz 在点在点)2 , 1(处的偏导数处的偏导数解解 xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213 例例 2 2 设设yxz )1, 0( xx， 求求证证 zyzxxzyx2ln1 .证证 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原结

22、论成立原结论成立例例 3 3 设设22arcsinyxxz ，求，求xz ，yz .解解 xz xyxxyxx2222211322222)(|yxyyyx .|22yxy |)|(2yy yz yyxxyxx222221132222)()(|yxxyyyx yyxx1sgn22 )0( y00 yxyz不存在不存在例例 4 4 已知理想气体的状态方程已知理想气体的状态方程RTpV （R为常数） ，求证：为常数） ，求证：1 pTTVVp.证证 VRTp;2VRTVp pRTV;pRTV RpVT;RVpT pTTVVp2VRT pR RV . 1 pVRT 偏导数偏导数xu 是一个整体记号，不

23、能拆分是一个整体记号，不能拆分;).0, 0(),0, 0(,),(,yxffxyyxfz求求设设例例如如 有关偏导数的几点说明：有关偏导数的几点说明：、 求分界点、不连续点处的偏导数要用求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；定义求；解解xxfxx0|0|lim)0 , 0(0 0 ).0 , 0(yf 、偏导数存在与连续的关系、偏导数存在与连续的关系例如例如,函数函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf,依定义知在依定义知在)0 , 0(处，处，0)0 , 0()0 , 0( yxff.但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续. 偏导数存在偏导数存在 连续连续.一元函

24、数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续，4、偏导数的几何意义、偏导数的几何意义,),(),(,(00000上上一一点点为为曲曲面面设设yxfzyxfyxM 如图如图几何意义几何意义: :),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 函函数数),(yxfz 的的二二阶阶偏偏导导数数为为纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数偏导数.二、高阶偏导数例例 5设设13323 xy

25、xyyxz，求求22xz 、xyz 2、yxz 2、22yz 及33xz .解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2. 19622 yyxyxz 2, 19622 yyx原函数图形原函数图形偏导函数图形偏导函数图形偏导函数图形偏导函数图形二阶混合偏二阶混合偏导函数图形导函数图形观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：函数图象间的关系：例例 6 6 设设byeuaxcos ，求求二二阶阶偏偏导导数数.解解,cosbyaexuax ;sinb

26、ybeyuax ,cos222byeaxuax ,cos222byebyuax ,sin2byabeyxuax .sin2byabexyuax 定理定理 如果函数如果函数),(yxfz 的两个二阶混合偏导数的两个二阶混合偏导数xyz 2及及yxz 2在区域在区域 D D 内连续，那末在该区域内这内连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等两个二阶混合偏导数必相等问题：问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？相等？例例 6 6 验证函数验证函数22ln),(yxyxu 满足拉普拉满足拉普拉斯方程斯方程. 02222 yuxu解解),ln(21ln2

27、222yxyx ,22yxxxu ,22yxyyu ,)()(2)(222222222222yxxyyxxxyxxu .)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu 22222222222222)()(yxyxyxxyyuxu . 0 偏导数的定义偏导数的定义偏导数的计算、偏导数的几何意义偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数高阶偏导数（偏增量比的极限）（偏增量比的极限） 纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导（相等的条件）（相等的条件）三、小结三、小结若函数若函数),(yxf在 点在 点),(000yxP连连续，能否断定续，能否断定),(yxf在点在点),(000yxP的偏导数必定

28、存在？的偏导数必定存在？思考题思考题思考题解答思考题解答不能不能.,),(22yxyxf 在在)0 , 0(处处连连续续,但但 )0 , 0()0 , 0(yxff 不存在不存在.例如例如,一一、 填填空空题题: :1 1、 设设yxztanln , ,则则 xz_ _ _ _ _ _ _ _ _; ; yz_ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .2 2、 设设 xzyxezxy则则),(_ _ _ _ _ _ _ _; ; yz_ _ _ _ _ _ _ _ _. .3 3、 设设,zyxu 则则 xu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _; ; yu_ _ _ _ _ _ _ _

29、_ _ _; ; zu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .4 4、 设设,arctanxyz 则则 22xz_ _ _ _ _ _ _ _ _; ; 22yz_ _ _ _ _ _ _ _; ; yxz2_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 练练 习习 题题 5 5、设、设zyxu)( , ,则则 yzu2_. .二、二、 求下列函数的偏导数求下列函数的偏导数: : 1 1、yxyz)1( ； 2 2、zyxu)arctan( . .三、三、 曲线曲线 4422yyxz, ,在点在点(2,4,5)(2,4,5)处的切线与正向处的切线与正向x轴所成的倾角是

30、多少轴所成的倾角是多少? ?四、四、 设设xyz , ,求求.,22222yxzyzxz 和和五、设五、设)ln(xyxz , ,求求yxz 23和和23yxz . .六、六、 验证验证: : 1 1、)11(yxez , ,满足满足zyzyxzx222 ； 2 2、222zyxr 满足满足 rzzryrxr 222222. .七、设七、设 0, 00,arctanarctan),(22xyxyyxyxyxyxf 求求xyxff ,. .一、一、1 1、yxyxyxy2csc2,2csc22 ；2 2、)1(2 yxyexy, ,)1(2 xxyexy；3 3、xxzxzyzyzyln1,1

31、, , xxzyzyln2 ；4 4、22222222222)(,)(2,)(2yxxyyxxyyxxy ；5 5、)ln1()(yxyzyyxz . .二、二、1 1、 xyxyxyxyyzxyyxzyy1)1ln()1(,)1(12; ;练习题答案练习题答案 2 2、zzyxyxzxu21)(1)( , , ,)(1)(21zzyxyxzyu zyxyxyxzu2)(1)ln()( . .三、三、4 . .四、四、,)1(,ln222222 xxyxxyzyyxz )1ln(12 yxyyxzx. .五、五、223231, 0yyxzyxz . .七、七、 0, 0; 0, 00, 0,0

32、,arctan2yxyxyxyxyyxyxfx, , 0, 0, 10,0, 12222yxxyyxyxxfxy. .),(),(yxfyxxf xyxfx ),(),(),(yxfyyxf yyxfy ),( 二二元元函函数数对对x和和对对y的的偏偏微微分分 二二元元函函数数对对x和和对对y的的偏偏增增量量由一元函数微分学中增量与微分的关系得由一元函数微分学中增量与微分的关系得一、全微分的定义一、全微分的定义2.4 2.4 全微分及其应用全微分及其应用 如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(yx的某邻域内的某邻域内有定义，并设有定义，并设),(yyxxP 为这邻域内的为这邻域内的任意

33、一点，则称这两点的函数值之差任意一点，则称这两点的函数值之差 ),(),(yxfyyxxf 为函数在点为函数在点 P对应于自变量增量对应于自变量增量yx ,的全增的全增量，记为量，记为z ， 即即 z =),(),(yxfyyxxf 全增量全增量的概念的概念 如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(yx的全增量的全增量),(),(yxfyyxxfz 可以表示为可以表示为)( oyBxAz ，其中，其中BA,不依赖于不依赖于yx ,而仅与而仅与yx,有关，有关，22)()(yx ，则称函数则称函数),(yxfz 在点在点),(yx可微分，可微分，yBxA 称为函数称为函数),(yxfz 在

34、点在点),(yx的的全微分全微分，记为，记为dz，即，即 dz= =yBxA . .全微分的定义全微分的定义 函函数数若若在在某某区区域域 D 内内各各点点处处处处可可微微分分，则则称称这这函函数数在在 D 内内可可微微分分. 如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(yx可微分可微分, 则则函数在该点连续函数在该点连续.事实上事实上),( oyBxAz , 0lim0 z ),(lim00yyxxfyx ),(lim0zyxf ),(yxf 故故函函数数),(yxfz 在在点点),(yx处处连连续续.二、可微的条件二、可微的条件 定定理理 1 1（必必要要条条件件）如如果果函函数数),(

35、yxfz 在在点点),(yx可可微微分分，则则该该函函数数在在点点),(yx的的偏偏导导数数xz 、yz 必必存存在在，且且函函数数),(yxfz 在在点点),(yx的的全全微微分分为为 yyzxxzdz 证证如如果果函函数数),(yxfz 在在点点),(yxP可可微微分分, ),(yyxxPP的的某某个个邻邻域域)( oyBxAz 总成立总成立,当当0 y时，上式仍成立，时，上式仍成立，此时此时| x ,),(),(yxfyxxf |),(|xoxA Axyxfyxxfx ),(),(lim0,xz 同理可得同理可得.yzB 一元函数在某点的导数存在一元函数在某点的导数存在 微分存在微分存在

36、多元函数的各偏导数存在多元函数的各偏导数存在 全微分存在全微分存在例如，例如，.000),(222222 yxyxyxxyyxf在点在点)0 , 0(处有处有0)0 , 0()0 , 0( yxff)0 , 0()0 , 0(yfxfzyx ,)()(22yxyx 如如果果考考虑虑点点),(yxP 沿沿着着直直线线xy 趋趋近近于于)0 , 0(，则则 22)()(yxyx 22)()(xxxx ,21 说说明明它它不不能能随随着着0 而而趋趋于于 0,0 当当 时，时，),()0 , 0()0 , 0( oyfxfzyx 函数在点函数在点)0 , 0(处不可微处不可微.说明说明：多元函数的各

37、偏导数存在并不能保证全：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在，微分存在，定理定理（充分条件）如果函数（充分条件）如果函数),(yxfz 的偏的偏导数导数xz 、yz 在点在点),(yx连续，则该函数在点连续，则该函数在点),(yx可微分可微分证证),(),(yxfyyxxfz ),(),(yyxfyyxxf ),(),(yxfyyxf ),(),(yyxfyyxxf xyyxxfx ),(1 )10(1 在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理xxyxfx 1),( （依偏导数的连续性）（依偏导数的连续性）且且当当0, 0 yx时时，01 .其中其中

38、1 为为yx ,的函数的函数,xxyxfx 1),( yyyxfy 2),( z 2121 yx, 00 故函数故函数),(yxfz 在点在点),(yx处可微处可微.同理同理),(),(yxfyyxf ,),(2yyyxfy 当当0 y时，时，02 ,习惯上，记全微分为习惯上，记全微分为.dyyzdxxzdz 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.dzzudyyudxxudu 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理也适用于二元以上函数

39、的情况叠加原理也适用于二元以上函数的情况例例 1 1 计算函数计算函数xyez 在点在点)1 , 2(处的全微分处的全微分.解解,xyyexz ,xyxeyz ,2)1 ,2(exz ,22)1 ,2(eyz .222dyedxedz 所求全微分所求全微分例例 2 2 求函数求函数)2cos(yxyz ，当，当4 x， y，4 dx， dy时的全微分时的全微分.解解),2sin(yxyxz ),2sin(2)2cos(yxyyxyz dyyzdxxzdz),4(),4(),4( ).74(82 例例 3 3 计计算算函函数数yzeyxu 2sin的的全全微微分分.解解, 1 xu,2cos21

40、yzzeyyu ,yzyezu 所求全微分所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz 例例 4 4 试证函数试证函数 )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,1sin),(22yxyxyxxyyxf在在点点)0 , 0(连续且偏导数存在，但偏导数在点连续且偏导数存在，但偏导数在点)0 , 0(不连续，而不连续，而f在点在点)0 , 0(可微可微.思路：按有关定义讨论；对于偏导数需分思路：按有关定义讨论；对于偏导数需分 )0 , 0(),( yx，)0 , 0(),( yx讨论讨论.证证令令,cos x,sin y则则22)0,0(),(1sinlimyxxyyx 1

41、sincossinlim20 0 ),0 , 0(f 故函数在点故函数在点)0 , 0(连续连续, )0 , 0(xfxfxfx )0 , 0()0 ,(lim0, 000lim0 xx同理同理. 0)0 , 0( yf当当)0 , 0(),( yx时，时， ),(yxfx,1cos)(1sin22322222yxyxyxyxy 当当点点),(yxP沿沿直直线线xy 趋趋于于)0 , 0(时时,),(lim)0,0(),(yxfxxx,|21cos|22|21sinlim330 xxxxxx不存在不存在.所以所以),(yxfx在在)0 , 0(不连续不连续.同理可证同理可证),(yxfy在在)

42、0 , 0(不连续不连续.)0 , 0(),(fyxff 22)()(1sinyxyx )()(22yxo 故故),(yxf在点在点)0 , 0(可微可微. 0)0,0( df多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导三三 全微分在近似计算中的应用全微分在近似计算中的应用都较小时，有近似等式都较小时，有近似等式连续，且连续，且个偏导数个偏导数的两的两在点在点当二元函数当二元函数yxyxfyxfyxPyxfzyx ,),(),(),(),(.),(),(yyxfxyxfdzzyx 也可写成也可写成.),(),(

43、),(),(yyxfxyxfyxfyyxxfyx 例例 5 5 计算计算02. 2)04. 1(的近似值的近似值.解解.),(yxyxf 设函数设函数.02. 0,04. 0, 2, 1 yxyx取取, 1)2 , 1( f,),(1 yxyxyxf,ln),(xxyxfyy , 2)2 , 1( xf, 0)2 , 1( yf由公式得由公式得02. 0004. 021)04. 1(02. 2 .08. 1 、多元函数全微分的概念；、多元函数全微分的概念；、多元函数全微分的求法；、多元函数全微分的求法；、多元函数连续、可导、可微的关系、多元函数连续、可导、可微的关系（注意：与一元函数有很大区别

44、）（注意：与一元函数有很大区别）三、小结 函数函数),(yxfz 在点在点),(00yx处可微的充分条件是处可微的充分条件是:（1）),(yxf在点在点),(00yx处连续；处连续；（2）),(yxfx 、),(yxfy 在点在点),(00yx的的 某邻域存在；某邻域存在；（3）yyxfxyxfzyx ),(),(， 当当0)()(22 yx时是无穷小量；时是无穷小量；（4）22)()(),(),(yxyyxfxyxfzyx , 当当0)()(22 yx时是无穷小量时是无穷小量.思考题思考题一、一、 填空题填空题: :1 1、 设设xyez , ,则则 xz_； yz_； dz_._.2 2、

45、 若若)ln(222zyxu , ,则则 du_._.3 3、 若函数若函数xyz , ,当当1, 2 yx, ,2 . 0, 1 . 0 yx时时, ,函数的全增量函数的全增量 z_;_;全微分全微分 dz_._.4 4、 若 函 数若 函 数yxxyz , , 则则xz对对的 偏 增 量的 偏 增 量 zx_;_; xzxx0lim _. _.练练 习习 题题二、二、 求函数求函数)1ln(22yxz 当当, 1 x 2 y时的全微分时的全微分. .三、三、 计算计算33)97. 1()02. 1( 的近似值的近似值. .四、四、 设有一无盖园柱形容器设有一无盖园柱形容器, ,容器的壁与底

46、的厚度均为容器的壁与底的厚度均为cm1 . 0，内高为，内高为cm20, ,内半径为内半径为cm4, ,求容器外壳体求容器外壳体积的近似值积的近似值. .五、五、 测得一块三角形土地的两边边长分别为测得一块三角形土地的两边边长分别为m1 . 063 和和m1 . 078 , ,这两边的夹角为这两边的夹角为0160 . .试求三角形面积试求三角形面积的近似值的近似值, ,并求其绝对误差和相对误差并求其绝对误差和相对误差. .六六、利利用用全全微微分分证证明明: :乘乘积积的的相相对对误误差差等等于于各各因因子子的的相相对对误误差差之之和和; ;商商的的相相对对误误差差等等于于被被除除数数及及除除

47、数数的的相相对对误误差差之之和和. .七、求函数七、求函数 ),(yxf 0,00,1sin)(22222222yxyxyxyx 的偏导数的偏导数, ,并研究在点并研究在点)0 , 0(处偏导数的连续性及处偏导数的连续性及 函数函数),(yxf的可微性的可微性. .一、一、1 1、)(1,1,2dydxxyexexexyxyxyxy ；2 2、222)(2zyxzdzydyxdx ； 3 3、-0.119,-0.125-0.119,-0.125；4 4、yyxyy1,)1( . .二、二、dydx3231 . . 三、三、2.95. 2.95. 四、四、3cm3 .55. .五、五、%.30.

48、 1 ,m6 .27,m212822七、七、),(),(yxfyxfyx 在在)0 , 0(处均不连续处均不连续, , ),(yxf在点在点(0,0)(0,0)处可微处可微. .练习题答案练习题答案 讨论函数讨论函数 在一点在一点P沿某一方向沿某一方向的变化率问题的变化率问题),(yxfz 一、方向导数的定义一、方向导数的定义oyxlP xyP引射线引射线内有定义，自点内有定义，自点的某一邻域的某一邻域在点在点设函数设函数lPPUyxPyxfz)(),(),( ).(),(,pUPlyyxxPlx 上的另一点且上的另一点且为为并设并设为为的转角的转角轴正向到射线轴正向到射线设设 （如图）（如图

49、）2.5 2.5 方向导数与梯度方向导数与梯度 |PP,)()(22yx ),(),(yxfyyxxfz 且且当当 沿着沿着 趋于趋于 时，时，P Pl ),(),(lim0yxfyyxxf , z 考虑考虑是否存在？是否存在？.),(),(lim0 yxfyyxxflf 依依定定义义，函函数数),(yxf在在点点P沿沿着着x轴轴正正向向0 , 11 e、y轴轴正正向向1 , 02 e的的方方向向导导数数分分别别为为yxff ,；沿沿着着x轴轴负负向向、y轴轴负负向向的的方方向向导导数数是是 yxff ,.的方向导数的方向导数沿方向沿方向则称这极限为函数在点则称这极限为函数在点在，在，时，如果

50、此比的极限存时，如果此比的极限存趋于趋于沿着沿着当当之比值，之比值，两点间的距离两点间的距离与与函数的增量函数的增量定义定义lPPlPyxPPyxfyyxxf 22)()(),(),( 记为记为定理如果函数定理如果函数),(yxfz 在点在点),(yxP是可微分是可微分的，那末函数在该点沿任意方向的，那末函数在该点沿任意方向 L L 的方向导数都的方向导数都存在，且有存在，且有 sincosyfxflf ， 其中其中 为为x轴到方向轴到方向 L L 的转角的转角证明证明由于函数可微，则增量可表示为由于函数可微，则增量可表示为)(),(),( oyyfxxfyxfyyxxf 两边同除以两边同除以

51、,得到得到cossin )(),(),(oyyfxxfyxfyyxxf 故有方向导数故有方向导数 ),(),(lim0yxfyyxxf .sincos yfxf lf例例 1 1 求求函函数数yxez2 在在点点)0 , 1(P处处沿沿从从点点 )0 , 1(P到到点点)1, 2( Q的的方方向向的的方方向向导导数数.解解故故x轴到方向轴到方向l的转角的转角4 .; 1)0, 1(2)0, 1( yexz, 22)0, 1(2)0, 1( yxeyz所求方向导数所求方向导数)4sin(2)4cos( lz.22 这这里里方方向向l即即为为1, 1 PQ,例例 2 2 求函数求函数22),(yx

52、yxyxf 在点在点（1，1）沿与沿与x轴方向夹角为轴方向夹角为 的方向射线的方向射线l的方向导数的方向导数.并并问在怎样的方向上此方向导问在怎样的方向上此方向导 数有数有 （1）最大值；）最大值； （2）最小值；）最小值； （3）等于零？）等于零？解解 sin)1 , 1(cos)1 , 1()1 , 1(yxfflf 由方向导数的计算公式知由方向导数的计算公式知,sin)2(cos)2()1 , 1()1 , 1( xyyx sincos),4sin(2 故故（1）当）当4 时，时，方方向向导导数数达达到到最最大大值值2;（2）当当45 时时，方方向向导导数数达达到到最最小小值值2 ;（3

53、）当）当43 和和47 时，时，方向导数等于方向导数等于 0.对于三元函数对于三元函数),(zyxfu ，它在空间一点，它在空间一点),(zyxP沿着方向沿着方向 L的方向导数的方向导数 ，可定义，可定义为为,),(),(lim0 zyxfzzyyxxflf 推广可得三元函数方向导数的定义推广可得三元函数方向导数的定义（ 其中其中222)()()(zyx ） 同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点沿任意方向沿任意方向 L的方向导数都存在，且有的方向导数都存在，且有.coscoscos zfyfxflf 设设方方向向 L 的的方方向向角角为为 ,cos

54、x,cos y,cos z定义定义 设函数设函数),(yxfz 在平面区域在平面区域 D 内具有内具有一阶连续偏导数，则对于每一点一阶连续偏导数，则对于每一点DyxP ),(，都可定出一个向量都可定出一个向量jyfixf ，这向量称为函数，这向量称为函数),(yxfz 在点在点),(yxP的梯度，记为的梯度，记为 ),(yxgradfjyfixf .二、梯度的概念二、梯度的概念?:最快最快沿哪一方向增加的速度沿哪一方向增加的速度函数在点函数在点问题问题P sincosyfxflf sin,cos, yfxfeyxgradf ),(,cos| ),(| yxgradf 其中其中),(,eyxgr

55、adf 当当1),(cos( eyxgradf时，时，lf 有有最最大大值值.设设jie sincos 是是方方向向 l上上的的单单位位向向量量，由方向导数公式知由方向导数公式知 函数在某点的梯度是这样一个向量，它的函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为而它的模为方向导数的最大值梯度的模为方向导数的最大值梯度的模为 22| ),(| yfxfyxgradf.结论结论当当xf 不不为为零零时时，x轴到梯度的转角的正切为轴到梯度的转角的正切为xfyf tangradfgradf P),(yxfz 在几何上在几何上 表示一个曲

56、面表示一个曲面曲面被平面曲面被平面 所截得所截得cz ,),( czyxfz所得曲线在所得曲线在xoy面上投影如图面上投影如图oyx2),(cyxf1),(cyxfcyxf),(等高线等高线),(yxgradf梯度为等高线上的法向量梯度为等高线上的法向量P等高线的画法等高线的画法梯度与等高线的关系：梯度与等高线的关系：向导数向导数的方的方于函数在这个法线方向于函数在这个法线方向模等模等高的等高线，而梯度的高的等高线，而梯度的值较值较值较低的等高线指向数值较低的等高线指向数从数从数线的一个方向相同，且线的一个方向相同，且在这点的法在这点的法高线高线的等的等的梯度的方向与点的梯度的方向与点在点在点

57、函数函数cyxfPyxPyxfz ),(),(),( 三元函数三元函数),(zyxfu 在空间区域在空间区域 G 内具有内具有一阶连续偏导数，则对于每一点一阶连续偏导数，则对于每一点GzyxP ),(，都可定义一个向量都可定义一个向量(梯度梯度).),(kzfjyfixfzyxgradf 类似于二元函数，此梯度也是一个向量，类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值为方向导数的最大值.梯度的概念可以推广到三元函数梯度的概念可以推广到三元函数类似地类似地,设曲面设曲面czyxf ),(为函数为函数),(z

58、yxfu 的等量面，此函数在点的等量面，此函数在点),(zyxP的梯度的方向与的梯度的方向与过点过点 P的等量面的等量面czyxf ),(在这点的法线的一在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数向的方向导数.例例 4 4 求求函函数数 yxzyxu2332222 在在点点 )2 , 1 , 1 (处处的的梯梯度度，并并问问在在 哪哪些些点点处处梯梯度度为为零零？解解 由梯度计算公式得由梯度计算公式得kzujyuixuzyxgradu ),(

59、,6)24()32(kzjyix 故故.1225)2 , 1 , 1(kjigradu 在在)0 ,21,23(0 P处梯度为处梯度为 0.1、方向导数的概念、方向导数的概念2、梯度的概念、梯度的概念3、方向导数与梯度的关系、方向导数与梯度的关系（注意方向导数与一般所说偏导数的（注意方向导数与一般所说偏导数的区别区别）（注意梯度是一个（注意梯度是一个向量向量）小结小结.),(最快的方向最快的方向在这点增长在这点增长梯度的方向就是函数梯度的方向就是函数yxf讨讨论论函函数数22),(yxyxfz 在在)0 , 0(点点处处的的偏偏导导数数是是否否存存在在？方方向向导导数数是是否否存存在在？思考题

60、思考题xfxfxzx )0 , 0()0 ,(lim0)0,0(.|lim0 xxx 同理：同理：)0,0(yz yyy |lim0故两个偏导数均不存在故两个偏导数均不存在.思考题解答思考题解答沿沿任任意意方方向向,zyxl 的的方方向向导导数数, )0 , 0(),(lim0)0,0(fyxflz 1)()()()(lim22220 yxyx 故故沿沿任任意意方方向向的的方方向向导导数数均均存存在在且且相相等等.一、一、 填空题填空题: :1 1、 函数函数22yxz 在点在点)2 , 1(处沿从点处沿从点)2 , 1(到点到点 )32 , 2( 的方向的方向导数为的方向的方向导数为_._.