专题04函数的最值问题(解析版)

1、2020年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破专题04函数的最值问题考点命题分析函数是数学的灵魂，是高中数学的主干知识，贯穿高中数学始终.函数的最值是函数的重要性质，与其他数学知识联系紧密，在数学建模、最优化等问题中也有广泛的应用.它蕴含了函数与方程、数形结合、分类讨论、等价转化等重要数学思想，是历年高考的必考内容.分析历年各地高考试卷中涉及的函数最值问题，主要有以下特点：(1)总体难度中等偏上.(2)最值问题的呈现形式通常有三种.其一，直接给出函数求其最值，这类题常以客观题形式出现；其二，在解答题中作为子问题出现，难度中等；其三，隐性呈现，如不等式恒 成立、有解等问题，几何或应用题中的最优

2、化问题，需要对问题进行二次转化，化归为最值问题，这类题 难度较大.(3)近几年试卷中出现多变量函数的最值问题，这类题形式简单但难以找到解题突破口，虽然可以 通过转化化归为常见问题，但转化难度较大，对考查学生的思维能力确有其独到之处.由于函数最值问题难度较大，思维要求较高，常导致部分学生对某些问题无从下手”或 含而不对，对而不全”解决这一难题，需从三方面入手： (1)加强对最值概念的理解，注意其两个要素缺一不可(一是不等式对定义域中任意值恒成立，二是确保等号取到)，通过多角度对常见函数最值问题的研究，再次回顾探求最值问题的常用策略和基本思想，拓宽解题 思路，增强选择意识和求简能力，熟悉探求最值的

3、基本技能，培养直观想象能力；(2)通过对较复杂的函数、多变量函数的最值问题的探求，强化转化化归意识，增强学生发现问题、分析问 题和解决问题的能力；(3)通过最值概念与其他知识的综合运用，增强数学应用意识，培养数学模型和数据分析等综合能力本专题拟用两个课时完成，第一课时让学生在教师的帮助之下自主建构知能体系，并通过相关训练熟悉基 本方法，体会其中蕴含的数学思想.第二课时着重研究多变量函数最值问题和最值的简单应用问题，提升学生的转化意识和数学应用能力 .1自主建构，联珠结网学之道在于悟”经过前面的复习，学生已掌握了不少函数最值的求法，但稍显零碎、分散，没有进行归纳 总结.放手让学生自主盘点研究过哪

4、些函数的最值？分别有哪些方法？尝试提炼其中蕴含的数学思想 .由此总结得出探求一次函数、二次函数、三次函数、简单一次分式函数、二次分式函数等常见代数函数最值的基本 方法和思想，进一步总结与指数函数、对数函数相关的函数以及简单的无理函数、含绝对值函数等超越函数最值的探求方法，突出向代数函数转化的意识，提炼数形结合、函数与方程、分类讨论、等价转化等数学思想.让学生自我总结，历经自主建构知能体系的过程，有助于提升学生对最值问题的认识，培养回顾反 思的意识和概括总结的能力 .2立足基础，温故知新学数学重在做数学”在自主建构出较为完善的知识体系的基础上，用以下几个与函数最值相关的问题，熟 识最值问题的常用

5、处理策略，提升思路的选择与甄别能力，加强学生数学思想的渗透与培养.例1 1函数f (冷=X + ：皿E L2D的最小值为 .思路探求：解法1,由广蓑)三i一受三W(xC 1, 2),当aN时，fO)<a, f(x)在区间1, 2上递减，此时最小值为 /0)=2 +。当awi时，飞动叁口，f(x)在区间1, 2上递增，此时最小值为 f(1)=1 + a;当1<a<4时，由f(x)在区间(1,诟：内递减，在区间(而2)内递增，此时最小值为fG0=2痴.(2 + 号,口.)4禺或在端3. ct+Ltt咸1解法2:作为客观题，直接利用 模型”即可获得函数的单调性.当a<0时，f

6、(x)为 双刀”型函数，在区间(0, +8) 内单调递增；当a>0时，f(x)为双勾”型函数，在区间皿*内递减，在区间卜区+的)内递增；当a=0时， f(x)=x在区间(0, +8)内单调递增，由此同样可以得到结论.方法点睛：通过研究函数的单调性探求最值是求函数最值的基本策略之一.掌握常见的函数模型对明确求解目标、提高解题速度大有益处.除常见的多项式函数、哥函数、指数函数、对数函数外，研究并积累一些常见的函数模型图像及其性质(如4 ；福丁门引=知道国=9等)，增强数学模型意识，有助于提升学生的数学能力.例1 2设函数= d-皿+ QL3>的最小值为1,求实数a取值的集合.思路探求：

7、解法1,由该二次函数的对称轴为直线* =故可以就:与区间1, 3的关系分三种情形进行讨论，并求得(14 3 ce, a 6由g(a)=1可得a取值集合为4.6 3冢2解法2:从最小值的定义出发，由 f（x）最小彳1为1,即当xC1, 3时，x2ax+5>l恒成立，且存在xoC 1 , 3 使“=成立，亦等价于当x1, 3时，av +士恒成立，且存在口周使“=成立.由最小值定义可知，a即 为函数域外=第+ ：值F 1,司）的最小值 易求 双勾”函数h（x）在区间1, 3上的最小值为4,故而a取值集合 为4.方法点睛：解法1想法自然，是一种正向思维方式，充分体现了分类讨论的数学思想.解法2两

8、次使用最值定义，将含参函数最值问题转化为不含参数的函数最值问题，较之解法1,过程更为简捷，这在已知含参函数最值求参数这类问题中常被使用，但在使用最值定义时应注意两个要素（不等式恒成立”和 使等号成立”，）缺一不可.例1 3函数y=2x也- 1的最小值为思路探求：解法1,为了处理二次根式，将原式化为2x-y = 而=！，两边平方可得叱-（蚓+ i）r + （铲+ !）=。（吟.由该方程有实根（原函数定义域为非空数集），其根的判别式 >Q由此可得F急,而当F= 时=T >1 故当工=三时，函数取彳#最小值 解法2:令d整一 1 二 >作>0）,则£ 二产一1,从而

9、产=2产0）,不难求得其最小值为解法3:利用导数研究其单调性， 再求最小值方法点睛：将无理式转化为有理式是处理无理式的基本策略.转化的方法通常有换元（代数换元或三角换元 卜分母（或分子）有理化、乘方（平方）等.但转化时尤其要注意变形等 价性要求.解法1是通过平方的手段将原式转化为整式方程，体现方程思想在函数最值问题中的应用.但需注意方程（*）其实与原函数式并不等价， > T”应是原式成立的必要条件，但通过验证等号恰能取得，故而能确保结论的正确性.解法3是研究可导函数最值的基本策略，如求函数 学=2里+ #% 1的最小值,研究其单 调性优于换元转化的方法，但要注意定义域优先原则”的应用.3

10、合理转化，化生为熟多变量函数最值问题的基本处理策略，是通过合理消元或代换转化为一元函数等学生较为熟悉的问题，整体思想”函数与方程思想”等数学思想的正确运用是实现转化的关键所在例21已知实数x, y满足3x+xy=3（K E（0：）,则T=£ +之的最小值是 .思路探求：看似两个变量的问题，而由已知条件可以消去一个变量，化为一元函数解法1：选才i x为变量，则易得r =± + -(o<jc <-),可借助导数研究其单调性再求最值，或从方程角度将其转化为关于 x的一元二次方程，由方程有实根，则判别式不小于零得最小值为8(因为T是定义在开区间(,内的连续函数，故其最值

11、只能在极值点取得，但需检验取最值时工=；恰在(0口内).解法2：选才i y为变量，由霭=工,口可得y>3,则=蓑十苴子一i-,再借助基本不等式或函数知识更容易求得当y = 4rx =；时取得最小值8.方法点睛：函数思想”的运用是解题的关键.通过消元转化为一元函数模型是解题的基本出发点，但两种消元 的方法导致求解过程的繁简程度大相径庭，后者简单了许多，这样的分析、比较有益于培养学生多角度尝 试的意识，提升发现问题、分析问题的能力.例22已知a>b>c>0,求T = 2cF +2+七一】。耐+ Z5r的最小值.ib q(iib)思路探求：解 法 1, 将 T 视 为 关 于

12、 c 的 函 数 f(c), 则T = 2 = Z第一通配+ 2炉+ W +康卜/© 口 + aB + S Bi> 5由此1各-兀问TEi转化力兀问TEi,再将其视着关于b的函数1tf固=+ 7云侬< a),利用函数或不等式知识可求g(b)费(野，进一步将二元问题转化为一元问题，再由基本不等式或函数知识可求其最小值为4,当3仃"二3£=当时取得最小值.解法2:由=(50鼻产十岁+W4 T+三+/_Qb arfis-i.rnb a«i-fe)记=x,区(4 - b) => O.y > 0),则？*专+-dL高=再行”,同样可求得其最

13、小值为4.£1由1Q(Af方法点睛：转化为一元问题仍然是解题的基本出发点.由于不能通过等量关系代入消元，故函数思想”的运用或 放缩”成为这类问题的常用转化策略.运用函数思想时，注意 主元”的选择，多次放缩后，注意验证各个等号的相容性.4综合运用，以简驭繁函数的最值在处理不等式有关问题(如恒成立、有解等卜函数其他性质的研究(如单调性、零点存在性)以及实际应用问题中有其重要的作用，合理准确的转化是正确运用的关键例3 1已知f(x), g(x)分别是定义在 R上的奇函数和偶函数，且十吁(1)=GJT.若在区间7,1上存在xo,使得硬(*力+且Q=。成立，则实数a的最大值和最小值之和为 .思

14、路探求：条件即表示关于x的方程af(x)+g(2x)=0在区间上有解，又易求f(x)=1L -开工?= 2t + 2ao ,由此可进一步转化为 3 上?在区间;,1上有解.从而a的取值集合即为函数 4HC-M)的值域，a的最值即为函数h(x)的最值.令X一-小隹U) 则运用导数求得h(x)=u(t尸-二工等 ,所以a的最大值与最小值之和为方法点睛：等价转化”思想在该题的求解过程中得以充分体现.关于a的方程a=f(x)有解，可等价转化为a的取值集合为函数 f(x)的值域.类似地，若f(x)存在最小值，则关于 x的不等式a4(x)恒成立，可等价转化为 aWf(x)min；分离变量可将含参函数的最值

15、问题转化为不含参函数的最值问题，简化求解过程；在探求函数 h (x)值域时，整体换元转化问题较之运用导数直接研究其单调性等方法更为简捷例32设函数f(刈=y若对于定义域内的任意 xi,总存在x2使得尸0汽电,则满足条件的实数a的取值范围是 .思路探求：由对定义域内的任意 力总存在x2使得/仁力代物),可得f(x)无最小值.而f(x)=二一肃限 令=亡 H则 f(x)=g(t)=2at2+t” 咙最小值.分类讨论可得当a=0和a0时，g(t)(tw0近最小值，故a的取值范围是&-R).方法点睛：对最值概念的深刻理解是实现条件转化的关键所在.在研究函数f(x)最值存在性时，还可以令x-a=

16、t,将函数f(x)转化为函数g(t)=i，但研究过程要复杂许多.例3- 3设长方体各棱长之和为 36cm,表面积为48cm2,求该长方体体积的最大值和最小值思路探求 溶易将问题转化为已知正实数a, b, c满足a+b+c=9, ab+bc+ca=24,求T=abc的最大值和最小值”由已知条件可得 a+b=9 - c, ab=24 c(a+b)=c2 9c+24,从而T=abc=c39c2+24c.由此将T转化为一元函 数，求出c的取值范围(定义域)即可探求其最值解法1:从方程角度，将a, b视作关于x的方程x2(9 c)x+(c29c+24)=0的两个正实根，不难得到iqw*也可以通过消元化成

17、关于a(b)的一元二次方程再求解.解法2:从不等式角度，由曲构造关于c的不等式，解得14W5令f(c)=c39c2+24c(1省w 5)借助导 数可得其在区间1, 2上单调递增，在区间2, 4上单调递减，在区间4, 5上单调递增，从而f(c)max=naMV(2%5) = 20, /(叫皿值=(暨) = 115,即 T 的最大值为 20,最小值为 16.方法点睛：将多变量函数式转化为一元函数模型是解题的基本方向.探求c的取值范围时，引导学生从条件等式的形式，联想方程相关知识 (根与系数的关系)或基本不等式，由此构造关于 c的不等关系得到其范围，这 样有助于培养学生数学联想、直观想象等综合能力最

18、新模拟题强化21 .函数y x 2x 3在闭区间0, m上有最大值3,最小值为2, m的取值范围是A. (,2B. 0,2C. 1,2D. 1,)【答案】C【解析】作出函数f(x)的图象，如图所示，当x 1时，y最小，最小值是2,当x 2时，y 3,函数f(x) x2 2x 3在闭区间0, m上上有最大值3,最小值2,则实数m的取值范围是1 , 2.故选：C .|； E I I .-5 -4 -? *2 -11 2 3 4 5 x4-七-34-5.2.函数y x4 4x 3在区间2,3上的最小值为（）A. 72B. 36C. 12D. 0【答案】 D【解析】解： y4x3 4 ，令 y 0 ，

19、即 4x3 4 0解得 x 1当 x 1 时，y0当 x 1 时，y01 y极小值y |X 1 0 ,而端点的函数值y |x 2 27 ， y |x 3 72 ，得 ymin 0 故选 D.aX,X 23.已知a (0,1)U(1,),且函数f(x) 9 在R上有最小值，则a的取值范围为( X2,X 2A 0,1 ?B 0,11,2 ? C 1,2D 2,【答案】 A【解析】当 x 2 时， f (x)x24 ；当 x 2 时， f (x) ax ，若 a (0,1) 时， f (x) ax a2 ，且 a2 4 ，xax f (x)a2 ,xx,x2在R上有最小值2当 a (1,) 时， f

20、 (x)ax0, a2此时，显然函数f(x)xa,x 22，在R上没有有最小值，最小值无限趋近于零;x2,x 2综上： a 的取值范围为 0,1故选： A4 函数 y ax 在 0,1 上的最大值与最小值之和为3,则函数y 3ax 1在 0,1 上的最大值与最小值的差是(A. 6【答案】DB. 1C. 3D.3, a0 a1 1 a 3, 解得 a 2.【解析】:函数yax在0,1上的最大值与最小值之和为函数y 3ax 13 2x 1 ,易知y 3 2x1在0,1上单调递增，所以在0,1上的最大值是3 20 3,最小值是3 21 3 ；23 3.最大值与最小值的差是 3 3 1.故选：D5.函

21、数f Xx2a在区间 1,1上的最大值是a,那么实数a的取值范围是(A . 0,B, 1,1C. LD, 1,22【答案】C 【解析】 Ar / I /_A V, *1 心 T若 a 0 ,则 f (x) x2 a , f(x)在1,1的最大值为1 a,1即有1a a ,可得a 不成立；2则a 0 ,由x2 a a ,可得x 0或 J2a ,由图像结合在区间1,1上的最大值是a可得J25 T ,解得a, 故选：C.6.已知函数f x sinx sin x，现给出如下结论：f x是奇函数；f x是周期函数；f x在区间0,A. 1【答案】B【解析】B. 2C. 3D. 4. x R, f x s

22、in x sin xsin x sin x f x ,上有三个零点； f x的最大值为2.其中正确结论的个数为（f x是奇函数，正确;y sin x 的周期1 2k , k Z , y sinx的周期T2 2n, n Z,T11H 2k ,k Z I T21T2 2n,n Z所以f x不是周期函数，错误;sin x sin x令 f x sinx sin x 0,得 sin xx 2k , k Z ,或 x x 2kk Z,解得x工，k Z或x 2k 1,11一 八2,、4又x 0, x 或x 或，正确;1 11当 sinx 1 时，x 2k k Z , 21当 sin x 1 时，x 2k

23、, k Z , 21. x|x 2k ,k Z I x|x 2k -,k Z2 2即 y sin x 与 y sinx不可能同时取得最大值1,故错误.故选：B7.设实数x, y,满足x2 xy y2 xA.有最大值 B.有最小值 31134y-,则代数式13xy2y4 (13C.有最大值1D.有最大值2021【解析】由已知得:2x xy4、y-,代数式 13xy2y132xy y2，y xy原代数式t2rr，Q x2xy两边同时除以t2t 3,t24,124;当m1312,最大值为1213故选:8.如果函数f x对任意的实数，使得不等式、恒成立，那么就称函数f x为有界泛函.给出下面三个函数：

24、sf xx-2x x 1 .其中属于有界泛函的是（A.对于对于0时，有1不属有界泛函；9.已知函数A. 20时,0时,有|x|x无最大值,1x2 x 1不属于有界泛函；对于B. 3t在区间2,5的最大值为C. 2或 32,121324一属有界泛函1贝U t的值为（D.一1一，B.最大值1 ,无最小值2D.最大值1,无最小值12一(t- 1) 2+1, t 0 ,2,一.4,- r 4由函数f x t,令fx 0,得x 1,x 1t '.4当一 1 2,即t 4时，f x去绝对值后的函数在区间2,5上为单调递增函数,t函数f x的最大值f 5 t 2,解得t 3 （舍）或t 1 （舍），

25、|5 1-4当一 1 5,即t 1 , f x去绝对值后的函数在区间2,5上为单调递减函数，t4函数f x的最大值f 2 t 2,解得t 6 （舍）或t 2 （舍），2 1-4当 2 1 5,即 1 t 4 , tf x在区间2,5上的最大值为f 2-一- t 2或f 5-一- t 2,2 15 1解得t 3或t 2.综上：t的值为t 3或t 2.故选：C.10.已知函数f（x） x 寸 1 2x,则函数f（x）有（）1 一一，一A .最小值一，无取大值2C.最小值1,无最大值【答案】D【解析】函数f （x）的定义域为（-8,12设 t 1 2x，则 t 0 ,1 t1 c 1 -f (x)

26、= g (t)t- t2+t - g (t)匐(1) 即 g (t) <1，函数f (x)的最大值1,无最小值.故选D.211 ,已知二次函数 f x xbxR,cM,N分别是函数fx在区间 1,1上的最大值和最小值,N的最小值A. 2B.C.综上所述,12.已知0,即1,即A. 2025由题可知Q f (x)故选：B2时,2时,2时,0时,1最小值为1,故选B.一2019x 10,设函数f (x)x2019xB. 20222b2bf(x)x 120193x201920191x 40382016 2016 2109x2019 寿 2019x13.已知函数f (x) x2019x一在x 1

27、4;4;c.20162019x 11;b271,a,a)的最大值为 M,最小值为N，那么M N =(2020D. 20194038 2016a,a为增函数,0, a 0)在 xf( x) 20192016 2019x2019x 12022,M +N f+f a 20223时取得最小值，则a【答案】9【解析】一，一，、 a函数 f (x) x (x 0, a 0)x根据打勾函数的图像可知，当x a时取得最小值. x因为当x 3时取得最小值，即a x2 9故答案为：914.已知函数f(x) x2 4x a,x 0,3,若f(x)有最小值 2,则f(x)的最大值为 【答案】2【解析】二次函数y f

28、x在x 0,2单调递增，当x 2,3单调递减故在x=0时取得最小值，即 a=2，一一， -2 一 一，-15.已知定义在 R上的函数f x x 2ax 3在 ,1上是减函数，当x a 1,1时，f x的最大值与最小值之差为 g a ,则g a的最小值为.【答案】1【解析】2 f x在 ,1上是减函数，a 1 ,即 a 1.3 f x在a 1,1上的最大值为f(a 1) 3a2 4a 4,最小值为f (1) 4 2a,2,、c 2cc11g(a)3a2a3a-一，3 3. g a在(，1上单调递减，. g a的最小值为g( 1) 1.故答案为：1.2 .一 一 . 一一 3 八.八516.已知函

29、数y b ax( a , b是常数，且a 0, a 1)在区间 二,0上有ymax 3 , ym 一，222则常数a的值等于,2【答案】2或3【解析】令u x2 2x，则y b au ,又二次函数u2x在, 1上单调递减,1,0上单调递增,根据复合函数的单调性可知，当0 a 1时,au为减函数，所以y bx2a-32x在 一，1上单调2递增，在 1,0上单调递减，故当x 1时,2ax 2x取最大值，则b3,最小值为3min b 1,b a 4.5b 1,联立 b 1 -,b21时,b au为增函数,所以y2x在2,1上单调递减，在1,0上单调递增，故当x1时,2x取最小值，则max b 1,b

30、 a3“b 1 ,联立 b 1 3,b2,所以17.若函数f3x 1,log3(x 1),x1在（，a上的最大值为2,则实数a的取值范围为11,101 ； 10g3(x1) 2 10g3 9,解得 x 10由图可知，要使得函数 f x在(，a上的最大值为2,则1 a 1018.已知函数f x的周期为2,当x1,1时，函数f xx a, 1 x 0,1 x若f x有最小值且无-,0 x 1.2最大值，则实数a的取值范围是【答案】1,32【解析】当 1 x 0, f(x) x a为增函数，则 1a f(x) a,1 x1当 0 x 1, f(x) 1 为减函数，- f(x) 1,Q f x有最小值

31、且无最大值,132 ,解得1a,2，3故答案为：1,32一一 一 219.已知函数f (x) x 2x 2在闭区间0, m上有最大值2,最小值1,则m的取值范围为【答案】1,2【解析】作出函数f(x)的图象，如图所示,当x 1时，y最小，最小值是1,当x 2时，y 2,函数f(x) x2 2x 2在闭区间0, m上上有最大值2,最小值1,则实数m的取值范围是1 , 2.故答案为：1,22_(x a) x 0 20. f x ()， ，若f 0是y f x的最小值，则a的取值范围是.2x a,x 0【答案】0,1【解析】当a 0时，显然f 0不是f x的最小值，.一 .一 一 2当 a 0时，f

32、 0 a ,由题意得：a2 a,解不等式：0 a 1 ,a的取值范围是 0,1,故答案为：0,1 . 2 x 1 x 0321.已知函数f x x 1 ,x 0,若f x在区间a,a 上既有最大值又有最小值，则实数 2x, x 02取值范围是.1【答案】(-,0)2【解析】f (x)的图象如图所示f (x)在a,a 3上既有最大值又有最小值,1斛得 一v a< 0, 2故a的取值范围为1,02故答案为:2，022.已知f(x)=ax22ax+2+b(a>0)在2,3上有最大值5和最小值2,则ab =【答案】0【解析】 函数f(x) ax2 2ax 2 b的对称轴是x 1 ,Qa 0

33、函数f(x)在2,3上是增函数，根据题意得4a 4a2b2a1,解得 ，ab 09a 6a2b5b0故答案为：0.一._223.不等式(x 1)(x 4x 3) 0有多种解法，其中有一种万法如下：在同一直角坐标系2中作出yi x 1和y2 x 4x 3的图像，然后进行求解，请类比求解以下问题：设2a,b Z,若对任意 x 0,都有(ax 2)(x2b) 0,则 a b 【答案】1【解析】 类比图象法解不等式，在同一坐标系中，画出 y ax 2和y2 x2 2b的图象，若对任意 x 0 ,都有2(ax 2)( x 2b) 0,则两个函数图象应如下图所不:a 0则b 02.-2baa 1由a,b

34、Z得：，故答案为a b 1.b 224 .已知a R ,函数f (x)2 3 a a在区间1,5)上的最大值是4，则a的取值范围是 .【答案】,2【解析】由题意知，x1，2x31,4,故 2x 3 a 1a, 4a, a 1 时，f (x) |2x3a a2|x31,4,故符合题意；1 a5 时，1a0, 4a 0 且 a1 4a,2 2 3 a 0,4 a,故 f(x)2x 3 a a a,4,故符合题意； | a 4 时，1 a 0,4 a 0,且 a 1 4 a,2|x 3 a 0,1 a,故 f(x) 2x 3 a a a,1,故不符合题意；a 4时，f (x) 2x 3 a a 2a

35、 2|x 3 2 a 4,2a 1,故不符合题意.综上所述：a的取值范围是25.已知二次函数 f(x)ax2 (2b 1)x a 2在区间3,5上至少有一个零点，则a2 b2的最小值为100【解析】Q f(x) ax2 (2b 1)x a 2 0(x2 1)a 2xb (x 2) 0,x 3,521 2所以a b|x 2|2 x 2 2222)()(x2 1)2 4x2 x 1x 2 t1令 t x 2 t 1,3 m & 2)2 i t 4t5因为y t 4 ，在1,J5上单调递减，在(J5,3上单调递增,所以 y t 4 5 1 4 5 10 a2 b2 ()2 t10100 1故

36、答案为：100226.设函数 f (x) x 1 ln x(1)求f (x)的单调区间；1(2)求函数g(x) f(x) x在区间一，2上的取小值。2【答案】(1)见解析；(2) 1【解析】1-，2(1)定义域为0, f x 2x ,由f x 0得x注，x2f x的单调递减区间为c 20，T,单调递增区间为2，+21 2x 1 x 1一(2)g' x 2x - 1 ，由 g x 0 得 x 1 ,xx,1 , g x在2,1上单倜递减，在(1, 2)上单倜递增, g x的最小值为g 11.2127.设函数f(x) x ax -，其中a为实数x ax a(1)若f(x)的定义域为R,求a

37、的取值范围；(2)当a 1时，求f (x)的最小值【答案】(1) 0 a 4； (2)1【解析】(1) f(x)的定义域为R,ax a 0恒成立,4a0, 0(2)1时,f(x)1""2 x上单调递减，在1,上单调递增,1,1的最小值为f (x)的最小值为1.28.已知函数10g2(1)若函数在区间2,3内有一个零点，求 m的取值范围;(2)若函数在区间1,t上的最大值与最小值之差为2,且f t0,求m的取值范围【答案】(1)(1,2)； (2)(1)由 log2(x m) 0,1,由 2 x 3得：2 m 1 3,所以m的范围是(1,2).(2) Q f(x)在1,t(t

38、1)递增,f(t) f(1) 2,10g2(t m) log 2(1t m 10g2 10g2 4,1 m由 f (t) 0,得 t m 1 t m 14 3m m 1,.一 3解得：m -.429.定义在R上的函数f X满足对于任意实数 Xy都有f x y ff y ,且当x 0时,f(1) = -2(1)判断X的奇偶性并证明;(2)判断X的单调性，并求当3,3 时,f X的最大值及最小值;(3)解关于,一12X的不等式一f bx22【答案】(1)奇函数，证明见解析;唯一，见解析(1)x y 0,则 f2f再令(2)为奇函数;(2)任取X1X2 ,则X2X1X1f x2f X1X1f x2由

39、于f (1) = -2,则 f一 f b2xf b b22 .f X在R上是减函数.最大值为即有f 00,则f0.由已知得f X2X2f X1 x2在R上是减函数.2f 14, f 36,最小值为-6；(3)答案不0,X2X10,6, f6 .由f x在R上是减函数，得到当3,3时，f x的最大值为(3)_ , 12不等式一f bx2212 r.-f b x f b ,即为 f 2bx22f x fb2x2f b .bx2f 2xf b2x2f 2b ,即有 f bx 2xf b2x 2b由于在R上是减函数，则bx2 2x b2x 2b ,即为 bx2b2 2 x 2b 0即有bx2 x b

40、0,当b 0时，得解集为 x|x 0 ；,，,2-当b 0时，即有x b x -0,b_ ,2.20 b 应时,b,此时解集为 x|b x - bb一, 2. 2.当b 应时，一 b,此时解集为 x|- x b bb，.2-当b0时，即有x bx 0,b 一，2 .,2,当后b 0时，6 b，此时解集为x|x b或x b-2 2-.当b 后时，一 b,此时解集为 x| x 一或x b bb30.已知函数f(x)3x 3ax 2 ,曲线 yf(x)在x 1处的切线方程为3x y m 0.(I)求实数a , m的值;(n)求f(x)在区间1,2上的最值.【答案】(I)最大值为2 ,最小值为2 4

41、J2.( n)最大值为(I) f (x) 3x2 3a,;曲线f (x)x3 3ax 2在x 1处的切线方程为3x y m 0,f 3 3a f(1) 3 3a3 解得a 2, m 0.3 m(n)由(i)知,f (x) x3 6x 2,则 f(x) 3x2 6,令f (x) 0,解得x 面,f (x)在1,J2)上单调递减，在(J2,2上单调递增,又 f (1) 1 6 23, f(2) 23 6 2 22 , f 衣7236V2 2 2 472 ,f(x)在区间1,2上的最大值为2 ,最小值为2 4短.31.已知函数f x3 ax3 bx2，在 x1时有极大值3.(1)求a、b的值;(2)

42、求函数f1,3上的最值.(1) ab 3;(2)最大值15,最小值f 381.(1) Q3ax9ax2由题意得3a3b 3(2)由(1)知9a6b 06x39x2,18x218x18x x 1 .令f x 0,得x 0或x 1,列表如下:x11,000,111,33f x00f x15极小值0Z极大值381因此，函数y f x在区间 1,3上的最大值f 115,最小值f 381.32 .已知函数 f x J1 x2 t , t R .(1)判断y f x的单调性，并证明之；(2)若存在实数a , b a b ,使得函数f x在区间a,b上的值域为 a2,b2 ,求实数t的取值范围.5【答案】(

43、1)见解析(2)14【解析】(1)由1 x2 0,得1 x 1,所以f x的定义域为1,1 ,f x在区间 1,0上为增函数，在区间 0,1上为减函数,证明如下:设 u 1 X2，则 f x 瓜 t , t R,因u 1 X2在区间1,0为增函数，在区间0,1为减函数，又y JU为增函数,由复合函数的同增异减得f x在区间 1,0上为增函数，在区间0,1上为减函数,（2）由（1）知X为偶函数，且在区间1,0上为增函数,若存在在区间a,b上的值域为a2,b2 ,即2ab2，则方程,1 x2x2，即 x'1 0在区间1,0上有两个不同的根,5,必有4因f x为偶函数,则在区间0,1上存在实数a ,使得函数f x在区间a,b上的值域为2 2a ,b若存在b 1,使得函数f x在区间a,b上的值域为则有fb2 , fa a2或 f ba2,若f a a2或f b则 ha t a2或 a/1 b7t a2.即方程x2 x t 11 a 0 b 1,因 x2 x t 115 x 1 t其对称轴为x241-,故不存在实数a , b满足题思,综上所述：实数t的取值范围为 1,54x133 .已知函数f x （ a, b是非零实常数）满足 f 1 一且方程f xx有且仅有一个实数解ax b2（1）求a,b的值11.，（2）当x -,-时，不等式x 1