李玉柏卫星导航及定位003-卫星运动(第五版)

1、卫星导航与定位卫星导航与定位 第三讲：卫星运动与星座第三讲：卫星运动与星座卫星轨道知识卫星PVT计算卫星导航与定位卫星导航与定位3.1 卫星轨道理论与二体问题卫星轨道理论与二体问题 3.2 开普勒行星运动三定律开普勒行星运动三定律3.3 卫星轨道参数卫星轨道参数轨道根数轨道根数3.4 无摄卫星轨道的描述无摄卫星轨道的描述 3.5 GPS卫星的坐标计算卫星的坐标计算3.6 GPS卫星的运行速度计算卫星的运行速度计算第三章：卫星运动与星座第三章：卫星运动与星座卫星轨道知识卫星轨道知识卫星导航与定位卫星导航与定位1、卫星轨道理论与二体问题、卫星轨道理论与二体问题 v 星体运动可以简化成一个二体问题星

2、体运动可以简化成一个二体问题v 恒星与行星恒星与行星v 星体与卫星星体与卫星v 地球与人造卫星地球与人造卫星v 真实的运动是二体问题的求解基础上，加上各种摄动真实的运动是二体问题的求解基础上，加上各种摄动影响。影响。 卫星导航与定位卫星导航与定位1）人卫轨道理论概述）人卫轨道理论概述 v 内容：内容：研究人造地球卫星的运动规律研究人造地球卫星的运动规律v 特点特点: : 需要考虑地球引力的高阶项的影响，即不能把地球当需要考虑地球引力的高阶项的影响，即不能把地球当作质点，也不能把地球当作均质圆球，需要同时考虑作质点，也不能把地球当作均质圆球，需要同时考虑保守力和非保守力保守力和非保守力/ /耗散

3、力的作用。耗散力的作用。需要采用不同于研究自然天体的新理论、新方法（天需要采用不同于研究自然天体的新理论、新方法（天体力学中的原有公式由于收敛性和精度的原因而不适体力学中的原有公式由于收敛性和精度的原因而不适用于人卫轨道的研究）。用于人卫轨道的研究）。研究内容除定轨之外，还包括轨道设计、卫星回收等研究内容除定轨之外，还包括轨道设计、卫星回收等问题。问题。卫星导航与定位卫星导航与定位2sMmGr2）作用在卫星上的外力）作用在卫星上的外力 v 地球引力地球引力1 1：地球的球形引力或称地球中心力；：地球的球形引力或称地球中心力；v 地球引力地球引力2： 地球的非球形引力或称地球形状摄地球的非球形引

4、力或称地球形状摄动力；动力；v 日、月及其它天体的引力；日、月及其它天体的引力；v 太阳光压；太阳光压；v 大气阻力；大气阻力；v 其它作用力（如：地磁、地球潮汐摄动等）；其它作用力（如：地磁、地球潮汐摄动等）；卫星导航与定位卫星导航与定位作用在卫星上的外力作用在卫星上的外力 卫星导航与定位卫星导航与定位作用在卫星上的外力作用在卫星上的外力 J2为地球引力场系为地球引力场系数的二阶带谐系数，数的二阶带谐系数，也称动力扁率。也称动力扁率。主要摄动因素主要摄动因素地球形状摄动地球形状摄动日、月引力日、月引力大气阻力摄动大气阻力摄动光压摄动光压摄动潮汐摄动潮汐摄动坐标附加摄动坐标附加摄动.摄动的量级

5、摄动的量级设地球正球引力为设地球正球引力为1 1，则其它摄动的量级约为，则其它摄动的量级约为1 1 1010-3-3，其中以，其中以 J2 J2 的影响最大。的影响最大。卫星导航与定位卫星导航与定位式中：式中：G为万有引力常数为万有引力常数= (66724.1)10-14 Nm2/ kg2 ； , ms分别为地球和卫星的质量；分别为地球和卫星的质量； r 为卫星的在轨位置矢量。为卫星的在轨位置矢量。3）二体问题的运动方程）二体问题的运动方程 二体问题：研究二个质点在万有引力作用下的运二体问题：研究二个质点在万有引力作用下的运动规律问题动规律问题 在卫星的二体问题中，依据万有引力定律可知，在卫星

6、的二体问题中，依据万有引力定律可知，地球地球O作用于卫星作用于卫星S上的引力上的引力F为：为：3sGMmFrr 卫星导航与定位卫星导航与定位二体问题的运动方程二体问题的运动方程 由牛顿第二定律可知，卫星与地球的运动方程，以及卫星由牛顿第二定律可知，卫星与地球的运动方程，以及卫星S S相对于地球相对于地球O O的加速度的加速度a a为：为：3333;()ssessFGMmrraGM rraGmrrG Mmarr 由于由于M远大于远大于ms，通常不考虑，通常不考虑ms的影响，的影响，同时同时取地球引取地球引力常数力常数 = GM，可，可将上式将上式写成为：写成为：14323,3.986005 10

7、/armsr 卫星导航与定位卫星导航与定位二体问题的运动方程二体问题的运动方程 3 22223 22223 2222XXXYZYYXYZZZXYZ 设以地球质心设以地球质心O为原点的直角坐标系为为原点的直角坐标系为O-XYZ，卫，卫星星S点的坐标为（点的坐标为（X，Y，Z），则卫星），则卫星S的地心向径的地心向径r =（X，Y，Z），加速度），加速度 ，代入得，代入得二体问题的运动方程：二体问题的运动方程：(, ,)aX Y Z 卫星导航与定位卫星导航与定位2、开普勒行星运动三定律、开普勒行星运动三定律 开普勒（开普勒（Johannes Kepler） 国籍国籍: 德国德国 生卒日期生卒日期:

8、 1571.12.271630.11.15 主要成就主要成就: 发现了行星运动三定律。发现了行星运动三定律。 行星运行的轨道是一个椭圆，而该椭圆的行星运行的轨道是一个椭圆，而该椭圆的一个焦点与太阳的质心重合。一个焦点与太阳的质心重合。 行星与太阳之间的向径，在相同的时间内行星与太阳之间的向径，在相同的时间内所扫过的面积相等。所扫过的面积相等。 行星运行周期的平方，与轨道椭圆长半径行星运行周期的平方，与轨道椭圆长半径的立方之比为一常量。的立方之比为一常量。卫星导航与定位卫星导航与定位开普勒行星运动三定律开普勒行星运动三定律 第谷第谷布拉赫布拉赫 （Tycho Brahe） 国籍国籍: 丹麦丹麦

9、生卒日期生卒日期: 1571.12.271630.11.15 主要成就：主要成就：近代天文学的奠基人近代天文学的奠基人 第谷在第谷在1572年观察到新星年观察到新星 “第谷星第谷星” 1580耗资耗资150万美元修缮天文台和建造一万美元修缮天文台和建造一个直径为五英尺的天球仪个直径为五英尺的天球仪 1583年第谷出版了论彗星的书，编制格雷年第谷出版了论彗星的书，编制格雷戈里历戈里历 指导开普勒制作行星运行表指导开普勒制作行星运行表卫星导航与定位卫星导航与定位1）开普勒第一定律）开普勒第一定律 卫星运行的轨道为一椭圆，该椭圆的一个焦点卫星运行的轨道为一椭圆，该椭圆的一个焦点与地球质心重合。与地球

10、质心重合。 由万有引力定律可得卫星绕地球质心运动的轨道由万有引力定律可得卫星绕地球质心运动的轨道方程。方程。r为卫星的地心距离，为卫星的地心距离，a为开普勒椭圆的长为开普勒椭圆的长半径，半径，e为开普勒椭圆的偏心率；为开普勒椭圆的偏心率；fs为真近点角，为真近点角，它描述了任意时刻卫星在轨道上相对近地点的位它描述了任意时刻卫星在轨道上相对近地点的位置，是时间的函数。置，是时间的函数。2(1)1cossaerefabMms近地点近地点远地点远地点fsr卫星导航与定位卫星导航与定位开普勒第一定律开普勒第一定律 课堂练习课堂练习 求解地心距离求解地心距离 r与真近点角与真近点角 f 的关系：的关系：

11、abrfsae近地点近地点0ae2(1)1cossaeref22abea圆点长轴- -心焦距离半卫星导航与定位卫星导航与定位2）开普勒第二定律）开普勒第二定律 开普勒第二定律：卫星的地心向径在单位时间内开普勒第二定律：卫星的地心向径在单位时间内所扫过的面积相等。表明卫星在椭圆轨道上的运所扫过的面积相等。表明卫星在椭圆轨道上的运行速度是不断变化的，在近地点处速度最大，在行速度是不断变化的，在近地点处速度最大，在远地点处速度最小。远地点处速度最小。卫星导航与定位卫星导航与定位3）开普勒第三定律）开普勒第三定律 开普勒第三定律：卫星运行周期的平方与轨道开普勒第三定律：卫星运行周期的平方与轨道椭圆长半

12、径的立方之比为一常量，等于椭圆长半径的立方之比为一常量，等于GM的的倒数。倒数。2234sTaGM 假设卫星运动的平均角速度为假设卫星运动的平均角速度为n，则：，则：1/232sGMnTa 当开普勒椭圆的长半径确定后，卫星运行的平当开普勒椭圆的长半径确定后，卫星运行的平均角速度也随之确定，且保持不变。均角速度也随之确定，且保持不变。卫星导航与定位卫星导航与定位3、轨道描述参数、轨道描述参数轨道根数轨道根数 卫星导航与定位卫星导航与定位1）什么是轨道根数）什么是轨道根数 所谓轨道根数即轨道参数，是在人卫轨道理论中所谓轨道根数即轨道参数，是在人卫轨道理论中用来描述卫星椭圆轨道的形状、大小及其在空间

13、用来描述卫星椭圆轨道的形状、大小及其在空间的指向，及确定任一时刻的指向，及确定任一时刻t 卫星在轨道上的位置的卫星在轨道上的位置的一组参数。一组参数。 通常采用的是所谓的通常采用的是所谓的6个开普勒轨道根数。个开普勒轨道根数。 升交点赤经升交点赤经 ； 轨道倾角轨道倾角i ； 长半径长半径a ； 偏心率偏心率e ； 近地点角距近地点角距 ； 卫星过近地点的时刻卫星过近地点的时刻t0 。卫星导航与定位卫星导航与定位 赤道面赤道面 卫星轨道面卫星轨道面2）卫星轨道重要的点与面）卫星轨道重要的点与面 卫星导航与定位卫星导航与定位 近地点与远地点近地点与远地点 升交点与降交点升交点与降交点卫星轨道与赤

14、道平卫星轨道与赤道平面有面有2个交点。当卫个交点。当卫星从赤道平面以下星从赤道平面以下（南半球）穿过赤（南半球）穿过赤道平面进入北半球道平面进入北半球的交点，称为升交的交点，称为升交点。反之则称为降点。反之则称为降交点。交点。卫星轨道重要的点与面卫星轨道重要的点与面 卫星导航与定位卫星导航与定位升交点ZYXro春分点卫星升交点赤经i 轨道倾角轨道椭圆中心近地点近地点角距长半径t0 过近地点时刻e 轨道偏(离)心率地心远地点降交点轨道平面赤道面) 10(22eabaace升交点赤经升交点赤经定义：升交点的赤定义：升交点的赤经经轨道倾角轨道倾角i定义：在升交点处定义：在升交点处轨道正方向（卫星轨道

15、正方向（卫星运动方向）与赤道运动方向）与赤道正方向（赤经增加正方向（赤经增加方向）之间的夹角。方向）之间的夹角。长半径长半径a定义：轨道长轴的定义：轨道长轴的一半，也称作长半一半，也称作长半轴或半长轴轴或半长轴偏心率偏心率e定义：定义：) 10(22eabaace近地点角距近地点角距定义：从升交点的定义：从升交点的地心矢径起算，逆地心矢径起算，逆时针方向（从时针方向（从 正正方向看）旋转至近方向看）旋转至近地点的地心矢径所地点的地心矢径所经过的角度。经过的角度。N卫星过近地点的卫星过近地点的时刻时刻t03）开普勒轨道）开普勒轨道6根数的说明根数的说明 卫星导航与定位卫星导航与定位 决定轨道形状

16、的参数决定轨道形状的参数长半径长半径a偏心率偏心率e 决定轨道方向的参数决定轨道方向的参数升交点赤经升交点赤经轨道倾角轨道倾角i近地点角距近地点角距 决定卫星位置的参数决定卫星位置的参数卫星过近地点的时刻卫星过近地点的时刻t0开普勒轨道根数开普勒轨道根数 卫星导航与定位卫星导航与定位4、无摄卫星轨道的描述、无摄卫星轨道的描述 卫星导航与定位卫星导航与定位1）真近点角）真近点角 fs的计算的计算 在用描述卫星无摄运动的在用描述卫星无摄运动的6个开普勒轨道参数，个开普勒轨道参数，可以计算真近点角可以计算真近点角 fs，它是时间的函数。，它是时间的函数。 为了计算真近点角，引入两个辅助参数：为了计算

17、真近点角，引入两个辅助参数：Es 偏偏近点角和近点角和Ms平近点角。平近点角。卫星导航与定位卫星导航与定位真近点角真近点角 fs的计算的计算 平近点角平近点角Ms 是一个假设量，在轨道力学中是轨是一个假设量，在轨道力学中是轨道上的物体在辅助圆上相对于中心点的运行角度，道上的物体在辅助圆上相对于中心点的运行角度，在测量上不同于其他的近点角，平近点角与时间在测量上不同于其他的近点角，平近点角与时间的关系是线性的。的关系是线性的。 当卫星运动的平均角速度为当卫星运动的平均角速度为n有平近点角计算：有平近点角计算： Ms = n ( t - t0 ) t 为观测卫星时刻为观测卫星时刻 其中其中t0为卫

18、星过近地点的时刻。为卫星过近地点的时刻。卫星导航与定位卫星导航与定位真近点角真近点角 fs的计算的计算 点点y 被定义是：被定义是：在圆上在圆上的扇形区域的扇形区域z-c-y的面积的面积与椭圆上的扇形区域与椭圆上的扇形区域z-s-p面积比，等同椭圆半长面积比，等同椭圆半长轴与半短轴的比。轴与半短轴的比。 Sspz : Scyz = b : a ( S椭圆椭圆 : S园园 = b : a ) Sspz : Ssmz = b : a卫星导航与定位卫星导航与定位真近点角真近点角 fs的计算的计算 平近点角平近点角M s 与偏近点与偏近点角角 E s 的关系：的关系：Scmz = Scms+Ssmz

19、= Scms+Scyz =Es = Ms + e sinEs 课堂练习课堂练习 证明上式证明上式卫星导航与定位卫星导航与定位第一：平近点角与偏近点角间关系第一：平近点角与偏近点角间关系 平近点角平近点角Ms与偏近点角与偏近点角Es间存在如下关系：间存在如下关系： Es = Ms + e sinEs 这个这个方程式可以方程式可以迭代迭代解出，解出，假设假设E0 = Ms开开始，始， 迭代步骤：迭代步骤：01sinSsiiSsSEMEMeE 初初始始：迭迭代代： 建立平近点角与偏近点角间关系，以及偏近点角建立平近点角与偏近点角间关系，以及偏近点角与真近点角关系，就可以得到真近点角与真近点角关系，就

20、可以得到真近点角fs 。卫星导航与定位卫星导航与定位第二：偏近点角与真近点角关系第二：偏近点角与真近点角关系 偏近点角偏近点角Es与真近点角与真近点角 fs 间存在如下关系：间存在如下关系： 还有一个公式：还有一个公式：12arctantan12ssEefe2cos1sincos;sin1cos1cosssssssEeeEffeEeE 最后在写出卫星椭圆轨道位置矢量的值：最后在写出卫星椭圆轨道位置矢量的值：2(1)1cossaeref1cossorraeE 卫星导航与定位卫星导航与定位偏近点角与真近点角关系偏近点角与真近点角关系 课堂练习课堂练习 求解偏近点角求解偏近点角Es与真近点角与真近点

21、角 fs 的关系：的关系：abarmfsEsae近地点近地点0nk2cos1sincos;sin1cos1cosssssssEeeEffeEeE卫星导航与定位卫星导航与定位cossin0sssssxfyrfz2）无摄运动卫星的瞬时位置）无摄运动卫星的瞬时位置 取直角坐标系的原点与地球质心相重合，取直角坐标系的原点与地球质心相重合， 轴轴指向近地点、指向近地点、 轴垂直于轨道平面向上轴垂直于轨道平面向上 , 轴轴在轨道平面上垂直于在轨道平面上垂直于 轴构成右手系，则卫星轴构成右手系，则卫星在任意时刻的坐标为：在任意时刻的坐标为：sz sx sy sx 卫星导航与定位卫星导航与定位第二步：在天球坐

22、标系中卫星的位置第二步：在天球坐标系中卫星的位置 在轨道平面直角坐标系中只确定了卫星在轨道平在轨道平面直角坐标系中只确定了卫星在轨道平面上的位置，而轨道平面与地球体的相对定向尚面上的位置，而轨道平面与地球体的相对定向尚需由轨道参数需由轨道参数 、i和和 确定。确定。绕绕 轴顺转角度轴顺转角度 使使 轴的指向由近地点改轴的指向由近地点改为升交点。为升交点。绕绕 轴顺转角度轴顺转角度i，使，使 轴与轴与z轴重合。轴重合。绕绕 轴顺转角度轴顺转角度 ，使，使x轴与轴与 重合。重合。sx sx sx sz sz sz 天球坐标系天球坐标系( x, y, z )与轨道坐标系与轨道坐标系 具有具有相同的原

23、点，差别在于坐标系的定向不同，为此相同的原点，差别在于坐标系的定向不同，为此需将轨道坐标系作如下旋转：需将轨道坐标系作如下旋转：(,)sssx y z卫星导航与定位卫星导航与定位第二步：在天球坐标系中卫星的位置第二步：在天球坐标系中卫星的位置 卫星导航与定位卫星导航与定位210()()()sssXxYRRi RyZz2cossin0()sincos0001R iiiiiRcossin0sincos0001)(10cossin0()sincos0001R第二步：在天球坐标系中卫星的位置第二步：在天球坐标系中卫星的位置 用旋转矩阵表示如下用旋转矩阵表示如下:卫星导航与定位卫星导航与定位第二步：在天

24、球坐标系中卫星的位置第二步：在天球坐标系中卫星的位置 实际上上面第一步和第二步可以结合起来：实际上上面第一步和第二步可以结合起来： 定义轨道坐标系定义轨道坐标系 的的 轴指向升交点轴指向升交点cos()sin()0defssxfyrfufz 21()()XxYRRiyZz 21cossincossinsin()()sincoscoscoscos0sincosiiRRiiiii( , , )x y zx卫星导航与定位卫星导航与定位3()GXXYR SYZZ地3cossin0()sincos0001GGGGGSSR SSS第三步：卫星在地球坐标系的位置第三步：卫星在地球坐标系的位置 利用利用GPS

25、定位时，应使观测卫星和观测站的位置处于统定位时，应使观测卫星和观测站的位置处于统一的坐标系统。由于瞬时地球空间直角坐标系与瞬时天一的坐标系统。由于瞬时地球空间直角坐标系与瞬时天球空间直角坐标系的差别在于球空间直角坐标系的差别在于x轴的指向不同，取春分轴的指向不同，取春分点与格林尼治本初子午圈夹角为点与格林尼治本初子午圈夹角为 ，则在地球坐标系，则在地球坐标系中卫星的瞬时中卫星的瞬时 ：, ,X Y Z地GS卫星导航与定位卫星导航与定位第三步：卫星在地球坐标系的位置第三步：卫星在地球坐标系的位置 在具体计算中该角度旋转和赤经旋转可以一并考虑：在具体计算中该角度旋转和赤经旋转可以一并考虑： 直接转

26、换为升交点与本直接转换为升交点与本 初子午圈经度，可以初子午圈经度，可以 一次旋转得到地球坐标一次旋转得到地球坐标()oett()Gie erieSttt()()()()eroeieieoeieeoeiettttttttttt 卫星导航与定位卫星导航与定位第三步：卫星在地球坐标系的位置第三步：卫星在地球坐标系的位置 其中：其中： 在每星期历元轨道平面升交点经度（不是赤经）；在每星期历元轨道平面升交点经度（不是赤经）； t 为为GPS时间时间-通过导航信号算出来的时间；通过导航信号算出来的时间； 为星历表参考时间；为星历表参考时间； 为升交点赤经变化率；为升交点赤经变化率； 为地球自转速率。为地

27、球自转速率。oetie57.2921151467 10/ieRad s e卫星导航与定位卫星导航与定位 根据开普勒轨道参数，可计算卫星在不同坐标系根据开普勒轨道参数，可计算卫星在不同坐标系中的瞬时坐标，而在实际工作中，由于轨道摄动中的瞬时坐标，而在实际工作中，由于轨道摄动的影响，具体计算方法有所不同。的影响，具体计算方法有所不同。 下面将详细介绍在协议地球坐标系中下面将详细介绍在协议地球坐标系中GPS卫星位卫星位置的计算步骤。置的计算步骤。5、GPS卫星的坐标计算卫星的坐标计算 卫星导航与定位卫星导航与定位 计算平均角速度计算平均角速度2/ 130saGMn第一步：计算平均角速度第一步：计算平

28、均角速度 nnnn0 加上加上导航电文导航电文给出的给出的摄动改正数摄动改正数 得卫星运行的平均角速度为：得卫星运行的平均角速度为：卫星导航与定位卫星导航与定位2012()()ococGDttTTaa t ta t tT 以上参数由导航电文给出。以上参数由导航电文给出。然后将改正后观测然后将改正后观测时刻时刻 t 归化到归化到GPS时间系统中：时间系统中： 注意注意 不同，不同，t0e 参考历元，星期日子夜零时参考历元，星期日子夜零时起算的星历参考时刻，取值范围起算的星历参考时刻，取值范围:0 604800 s；t0c为时钟修正参考时刻（星历第一数据块中）为时钟修正参考时刻（星历第一数据块中）

29、koetttocoett,第二步：计算归化时间第二步：计算归化时间 首先对观测时刻首先对观测时刻 t 做卫星钟差改正：做卫星钟差改正：卫星导航与定位卫星导航与定位 计算观测时刻计算观测时刻 t 的平近点角的平近点角Ms和偏近点角和偏近点角Es 其中其中M0为参考时间平近点角。为参考时间平近点角。 计算观测时刻的真近点角计算观测时刻的真近点角 f s ：0SkMMntSSSEeMEsin)cossin1arctan(2SSSSSeEEef第三步：计算真近点角第三步：计算真近点角 卫星导航与定位卫星导航与定位sin2cos2sin2cos2sin2cos2ussucsrssrcsissicsuCu

30、CurCuCuiCuCu00(1cos)()sskoeuuuraeEriiiit iii tt 第四步：计算升交距角及轨道摄动改正项第四步：计算升交距角及轨道摄动改正项 首先计算升交距角：首先计算升交距角：ssuf卫星导航与定位卫星导航与定位cossin0 xruyruz 第五步：计算卫星在轨道坐标系中的坐标第五步：计算卫星在轨道坐标系中的坐标 计算卫星在轨道坐标系中的坐标计算卫星在轨道坐标系中的坐标 ( 这里的这里的X轴指向了升交点）：轴指向了升交点）：( , , )x y zruxy卫星导航与定位卫星导航与定位005()()7.292115 10 (/ )eeieeieeietttttra

31、d s 其其中中：31()()XxYRRiyZz iiiiiiiRRcossin0coscoscoscossinsinsincossincos)()(13第六步：计算在协议地球坐标系第六步：计算在协议地球坐标系ECEF中中 的空间直角坐标的空间直角坐标 首先计算摄动修正升交点的经度：首先计算摄动修正升交点的经度： 计算在协议天球坐标系中的空间直角坐标：计算在协议天球坐标系中的空间直角坐标：卫星导航与定位卫星导航与定位 考虑极移的影响，最后得到在协议地球坐标考虑极移的影响，最后得到在协议地球坐标系中的空间直角坐标：系中的空间直角坐标：5454()()10()()011ppCTSppppppXXY

32、RxRyYZZxRxRyyxy第七步：计算协议地球坐标系中的第七步：计算协议地球坐标系中的 空间直角坐标空间直角坐标卫星导航与定位卫星导航与定位6、卫星运行速度计算、卫星运行速度计算 根据导航电文所提供的根据导航电文所提供的GPS卫星星历，还可以计卫星星历，还可以计算出卫星运动速度的三个分量，其计算公式和步算出卫星运动速度的三个分量，其计算公式和步骤：骤： 对计算的位置进行微分：对计算的位置进行微分：cos( )cos ( ) sin( )sin( )cos ( ) cos( )( , , )sin( )coscossinsinsinsincoscosxkkkykkkkkzkkkkkkkkkkkkkkkkVXxtyi ttVYxtyi ttx yiVZyi txiyyiiYxiy sincossincos