1.2向量的坐标.ppt课件

1、河海大学理学院高等数学河海大学理学院高等数学 高等数学上）高等数学上）第八章 空间解析几何与向量代数河海大学理学院高等数学一、向量在轴上的投影与投影定理一、向量在轴上的投影与投影定理.上的有向线段上的有向线段是轴是轴，设有一轴设有一轴uABuuAB.ABABABuuABuABAB ，即，即的值，记作的值，记作上有向线段上有向线段叫做轴叫做轴那末数那末数是负的，是负的，轴反向时轴反向时与与是正的，当是正的，当向时向时轴同轴同与与，且当，且当满足满足如果数如果数第三节 向量的坐标河海大学理学院高等数学ouAB1轴轴同同方方向向的的单单位位向向量量，是是与与设设ue.)(eABAB e河海大学理学院

2、高等数学证证,1uOA 例例 1 1 在在u轴上取定一点轴上取定一点o作为坐标原点设作为坐标原点设BA,是是u轴上坐标依次为轴上坐标依次为1u, 2u的两个点，的两个点，e是与是与u轴轴同方向的单位向量，证明同方向的单位向量，证明euuAB)(12 .,1euOA 故故eueu12 .)(12euu ouAB1e1u2u,2euOB 同理，同理，OAOBAB 于是于是河海大学理学院高等数学空间两向量的夹角的概念：空间两向量的夹角的概念：, 0 a, 0 bab ),(ba ),(ab 类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零

3、向量时，规定特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在它们的夹角可在0与与 之间任意取值之间任意取值. 0() 河海大学理学院高等数学空间一点在轴上的投影空间一点在轴上的投影u AA 过过点点A作作轴轴u的的垂垂直直平平面面，交交点点A 即即为为点点A在在轴轴u上上的的投投影影.河海大学理学院高等数学空间一向量在轴上的投影空间一向量在轴上的投影uAA BB 已已知知向向量量的的起起点点A和和终终点点B在在轴轴u上上的的投投影影分分别别为为BA ,那那么么轴轴u上上的的有有向向线线段段BA 的的值值，称称为为向向量量在在轴轴u上上的的投投影影.河海大学理学院高等数学ABjuPr.BA

4、 向向量量AB在在轴轴u上上的的投投影影记记为为关于向量的投影定理关于向量的投影定理1 1） 向量向量AB在轴在轴u上的投影等于向量的模乘以上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦：轴与向量的夹角的余弦：ABjuPr cos| AB 证证uABA B B ABjuPrABju Pr cos| AB u 河海大学理学院高等数学定理定理1 1的说明：的说明：投影为正；投影为正；投影为负；投影为负；投影为零；投影为零；uabc(4) 相等向量在同一轴上投影相等；相等向量在同一轴上投影相等； 0)1(,2 2)2(, )3(,2 河海大学理学院高等数学关于向量的投影定理关于向量的投影定理2 2）两

5、两个个向向量量的的和和在在轴轴上上的的投投影影等等于于两两个个向向量量在在该该轴轴上上的的投投影影之之和和. .PrPr)(Pr2121a ja jaaj AA BB CC （可推广到有限多个）（可推广到有限多个）u1a2a河海大学理学院高等数学二、向量在坐标轴上的分向量与向量二、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标的坐标1M1P2M2P上上的的投投影影分分别别为为点点在在轴轴点点为为一一条条数数轴轴为为一一向向量量，设设212121,PPuMMuMMa 上上的的坐坐标标依依次次为为在在轴轴又又设设2121,uuuPPuo,Pr21uuaMMj 1221OPOPPP ,12uu .12uuau

6、河海大学理学院高等数学如如果果e是是与与u轴轴正正向向一一致致的的单单位位向向量量，.)(12euu 设设a是是以以),(1111zyxM为为起起点点、),(2222zyxM为为终终点点的的向向量量，过过21, MM各作垂直于三个坐标轴的平面各作垂直于三个坐标轴的平面 ,这这六六个个平平面面围围成成一一个个以以线线段段21MM为为对对角角线线的的长长方方体体.由例由例1知知eaPPu 21河海大学理学院高等数学xyzo 1MPNQR 2M以以kji,分分别别表表示示沿沿zyx,轴轴正正向向的的单单位位向向量量.ijkkajaiaazyx 向量在向量在 轴上的投影轴上的投影x 向量在向量在 轴上

7、的投影轴上的投影y 向量在向量在 轴上的投影轴上的投影z12xxax 12yyay 12zzaz kzzjyyixxMM)()()(12121221 河海大学理学院高等数学kzzjyyixxMM)()()(12121221 按基本单位向量的坐标分解式：按基本单位向量的坐标分解式：在三个坐标轴上的分向量：在三个坐标轴上的分向量：,kajaiazyx向量的坐标：向量的坐标：,zyxaaa向量的坐标表达式：向量的坐标表达式：,zyxaaaa ,12121221zzyyxxMM 特殊地：特殊地：,zyxOM 河海大学理学院高等数学向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式向量的加减法、向量与数的乘法

8、运算的坐标表达式,zyxaaaa ,zyxbbbb ,zzyyxxbabababa ,zzyyxxbabababa ,zyxaaaa ;)()()(kbajbaibazzyyxx ;)()()(kbajbaibazzyyxx .)()()(kajaiazyx 河海大学理学院高等数学解解,111zzyyxxAM ,222zzyyxxMB 设设),(zyxM为直线上的点，为直线上的点，例例 2 2 设设),(111zyxA和和),(222zyxB为为两两已已知知点点，而而在在AB直直线线上上的的点点M分分有有向向线线段段AB为为两两部部分分AM、MB，使使它它们们的的值值的的比比等等于于某某数数)

9、1( ，即即 MBAM，求求分分点点的的坐坐标标.ABMxyzo河海大学理学院高等数学由题意知：由题意知：MBAM ,111zzyyxx ,222zzyyxx 1xx )(2xx 1yy )(2yy 1zz )(2zz ,121 xxx,121 yyy,121 zzzM为为有有向向线线段段AB的的定定比比分分点点.M为为中中点点时时，,221xxx ,221yyy .221zzz 河海大学理学院高等数学1-1,0,若向量若向量 = , = a10,1,-b例例3求向量求向量 =3 +2 在在 X 轴上的投影以及轴上的投影以及在在 Y 轴上的分向量轴上的分向量. mab解解 m10,2-1,1-

10、1,30,1-3,-2,20,-2,3-3,0,向量向量 在在 X 轴上的投影为轴上的投影为-2, 在在 Y 轴上的分轴上的分向量为向量为 3j.m河海大学理学院高等数学利用坐标作向量的线性运算利用坐标作向量的线性运算例例4设设 a1, 0, 1 b1, 1, 0解解3ab- 233 1, 0, 1- 21, 1, 0 - 3, 0, 32, 2, 0 1, -2, 3. .求求3ab- 2. .河海大学理学院高等数学非零向量非零向量 的方向角：的方向角：a非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角. . 、 、 ,0 ,0 .0 xyzo 1M 2M

11、 三、向量的模与方向余弦的坐标表示式三、向量的模与方向余弦的坐标表示式河海大学理学院高等数学xyzo 1M 2M 由图分析可知由图分析可知 cos|aax cos|aay cos|aaz 向量的方向余弦向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向. .222|zyxaaaa PQR向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式21212121RMQMPMMM 河海大学理学院高等数学0222 zyxaaa当当 时，时，,cos222zyxxaaaa ,cos222zyxyaaaa .cos222zyxzaaaa 向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式河海大学理学

12、院高等数学1coscoscos222 方向余弦的特征方向余弦的特征0a|aa .cos,cos,cos 特殊地：单位向量的方向余弦为特殊地：单位向量的方向余弦为河海大学理学院高等数学解解所求向量有两个，一个与所求向量有两个，一个与 同向，一个反向同向，一个反向a222)6(76| a,11 |aa 0a,116117116kji 或或0a|aa .116117116kji 河海大学理学院高等数学解解设设向向量量21PP的的方方向向角角为为 、 、 ,3 ,4 , 1coscoscos222 .21cos ,21cos ,22cos 河海大学理学院高等数学.32,3 设设2P的的坐坐标标为为),(zyx,1cos x 21PP21