(word完整版)贝努利不等式在高考中的应用

1、贝努利不等式在高考中的应用贝努利不等式：对任意正整数n>Q和任意实数x注1,有(1x)n1nx成立；如果n>0且为偶数，则不等式对任意实数x成立。可以看到在n=0,1,或x=0时等号成立，而对任意正整数n>2和任意实数x及1且xwq有严格不等式：(1x)n>1+nx下面把伯努利不等式推广到实数哥形式：若mwo或m>1有(1x)m>1+mx;若0<m<1有(1x)m<14mx证明方法如下：如果m=0,1,则结论是显然的如果mwQn,作辅助函数f(x)(1x)m(1mx),那么f(x)m(1x)m1m,则f(x)0x=0;下面分情况讨论：1.0

2、<m<1,则对于x>0,f'(x)<0;对于-1<x<0,f'(x)>0。因此f(x)在x=0处取最大值0,故得(1x)m&1+mx。''2. m<0或m>1,则对于x>0,f(x)>0;对于-1<x<0,f(x)<0。因此f(x)在x=0处取取小值0,故标准所指的贝努利不等式是:(1x)nnx(x>-1,n为正整数).注不等式中的条件“n为正整数”可推广为“n为大于l的实数”，推论1设nCN+,n>l,t>0,则有tn>1+n(t1),当且仅当t

3、=l时，取的证明可由恒等式tnntn1(t1)1q1tn22tn33tn4.(n2)tn1直接推出.易见，当且仅当t=1时，取等号，因此当且仅当x=0时，取在中令x+l=t,则可变为或，因此不等式与是等价的.因此不等式与都可以称为贝努利不等式.推论2设a,>0,nN+,n>1,贝Uan(n1)n,当且仅当a时，取证明由得,n(-)nna1n(1)1na(n1)11P例题精讲1.(2007,湖北理5)已知p和q是两个不相等的正整数，且q>2,则limn-B.pC.qp1D.-nq1n解答：由于1(1x)(1x)2(1x)3(1x)1(1x)m1(1x)所以1(1mx)x1(1x

4、)(1x)2(1x)3(1m1x)m分别取p和q,则原式化为limn-n211nQlim1n1,lim1n1,L,limn1,p(分子、q分母的个数分别为p个、q个)法二：根据贝努利不等式可知当x0时，(1mx)故对于此题有当n有(11)P1上nn(1l)qn(11)p1q,所以lim鲁(1)q1n1lim-n2.(2007,湖北理21)已知m,n为正整数,用数学归纳法证明：1时，(1(2)(3)求出满足等式3n4n(n解法1：(1)证：用数学归纳法证明:i)当m1时，原不等式成立；当x)m>2)n(nm2时,因为x220,所以左边>右边，原不等式成立;Plimmx；3)n的所有正

5、整数n.左边12xx2,右边12x,(ii)假设当mk时，不等式成立，即(1x)k>1kx,则当mk1时,0,于是在不等式(1x)k>1kx两边同乘以1(1x)k-(1x)>(1kx)(1x)1(k1)xkx2>1(k1)x,k1、所以(1x)>1(k1)x.即当mk1时，不等式也成立.(i)(ii)知，对一切正整数m,不等式都成立.(2)证:当n26,m&n时，由I)0,nmm1,2,L(3)解:由(n)知，当6时,即3n4nL(n2)n(n3)n.即当n26时，不存在满足该等式的正整数n.故只需要讨论n1,2,3,4,5的情形：当n1时，34,等式不成

6、立；当n2时，324252,等式成立；当n3时，33435363,等式成立；4444444444.当n4时，3456为偶数，而7为奇数，故34567,等式不成立;当n5时，同n4的情形可分析出，等式不成立.综上，所求的n只有n2,3.解法2：(1)证：当x0或m1时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：当x1,且x0时，m>2,(1x)m1mx.当m2时，左边12xx2,右边12x,因为x0,所以x20,即左边右边，不等式成立;假设当mk(k>2)时，不等式成立，即(1x)k1kx,则当1时,因为x1,所以1x0.又因为x0,于是在不等式(1x)k1kx两边同乘以11)x,

7、(1x)k-(1x)(1kx)(1x)1(k1)xkx21(k所以(1x)k11(k1)x.即当mk1时，不等式也成立.(2)而由(3)解：假设存在正整数nO>6使等式3n04n0(n020(n03)“成立,即有n03n034n03n0n0又由(2)可得n03n34n03n0n0ngn0n0nn3nOn0n。n0n01n0311-11,与式矛盾.22n0综上所述，所证不等式成立.时，.1(1),1n3故当n26时，不存在满足该等式的正整数n.下同解法1.3. (2001,全国理20)已知i,m,n是正整数，且IviWmvn(1)证明nipim<mipin；(2)证明(1+m)n&g

8、t;(1+n)m证明：(1)略nn(2)因为1vmvn,>1，由贝努利不等式有(1m)mn1一4.(2007,四川理22)设函数f(x)1(nN,且n1,xn.m1n,所以(1+m)n>(1+n)mmN)当x=6时，求n11的展开式中二项式系数最大的项n(2)对任意的实数x,证明f(2x)f(x)(f(x)是f(x)的导函数);(3)是否存在anN，使得an<k1(a1)n恒成立？若存在,试证明你的结论并求出a的值;若不存在,请说明理由.(1)解：展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是c631520-3n(2)证法一：因为f2xf22n2.12n1nln2fnln证法二：

9、因2x而2fxln2nlnxx2n211n故只需对1和ln进行比较。0,因为当01时,x单调递减；当1时，gx0,单调递增，所以在x1故当x1时，gg11,从而有xlnx1,亦即Inx1Inx故有11.n(3)CmcmC21cmC；mCmm1m!mm1k!2>12!1k!12!13!1k!又因C：1m!1m!2,3,4,L,m，故23,从而有2nk13n成立，即存在a2,使得2n3n恒成立。(2)证明:(1)因为(xna)nCnk(a)nkxk,所以yk0nnknkk1k1nkk1kCn(a)xnCn1(a)xn(xa)k0k0(2)对函数fn(x)xn(xa)n求导数:5.(2003,

10、江苏理)已知m>0，料为正整数。(D设区(k)二犬对任意，31，证明八工5:1)5+D45)fn(x)nxn1n(xa)n1,所以fn(n)nnn1(na)n1.当xa01,fn(x)0.当xa时,fn(x)xn(xa)n是关于x的增函数.因此，当na时,(n1)n(n1a)nnn(na)nfn1(n1)(n1)(n1)n(n1a)n(n1)(nn(na)n)(n1)(nnn(na)n1)(n1)fn(n).即对任意na,fn1(n1)(n1)fn(n).法二：九+等价于(n11'对于x>1,因1>0>-1,->-1由得(1xx1)n(n1a)n>nn(na)n1)n>1n，(11)n>1-xxxxnn两边同乘以x有,(x1)nn1nnn1nnn1n1xnx,(x1)xnx所以(x1)xnx,nxxn(xn若a1,在中分别取x门及乂n1a则(n1)nnnn1n1nnnn(n1a)(n1a)(na)即得式，所以Z+1'(«+l)>(«+1)/；W，、一n1an若0<a<i,在中分别取xna及x一aa则*1anzn1anzn1anznn1znnznn(1)(