中国石油大学(华东)理论力学课件动能定理20121213

1、yyyy年M月d日前言前言 在工程实际中，经常用到功和能的概念。如机器的运转需要在工程实际中，经常用到功和能的概念。如机器的运转需要电机输入功，机器的转速与动能的关系等。电机输入功，机器的转速与动能的关系等。 能：有各种形式，电能、热能、机械能等，各种能量可以相能：有各种形式，电能、热能、机械能等，各种能量可以相互转化。互转化。 功：是能量从一种形式转化为另外一种形式的过程中所表现功：是能量从一种形式转化为另外一种形式的过程中所表现出来的物理量。如物体自由落体时，物体的势能转化为动能，表出来的物理量。如物体自由落体时，物体的势能转化为动能，表现为重力的功。现为重力的功。 在机械运动中，动能是机

2、械运动的一种度量；功是力在一段在机械运动中，动能是机械运动的一种度量；功是力在一段路程上对物体作用累计的度量。动能定理通过动能与功的关系描路程上对物体作用累计的度量。动能定理通过动能与功的关系描述了机械运动与其他形式的能量之间的传递和转化的规律。述了机械运动与其他形式的能量之间的传递和转化的规律。24-1 24-1 功和功率功和功率常力功常力功cosFsW F2Mv1MsFWsFF1M2MvsdrdM变力功变力功sFWdcosdrFWdd或或sFWdcosdtvFttrFrFWddddddF1M2MvsdrdM因为因为kFjFiFFzyxkzjyixrdddd所以所以zFyFxFWzyxddd

3、d总功总功zFyFxFWzyxcdddsFWcdcosrFWcd平均功率平均功率tWP*功率功率tWtWPtddlim0因为因为sFWdcosd所以所以cosFvP vFPtvFWdd24-2 24-2 一些常见力所作的功一些常见力所作的功重力功重力功)(21iiizzgmW或或)(12zzmgW质点系重力功质点系重力功mghzzmgW)(21CCCmghzzmgW)(21xM1MM2yzz1z2ogzmgzmiiii21即即弹性力的功弹性力的功xkxWd212MM1M2kxxxM2AM1OM1l0)(22122k)(22221k10l20l 若变形减小，弹性力若变形减小，弹性力的功为正；反之

4、为负。的功为正；反之为负。 当物体上弹性力的作用点当物体上弹性力的作用点沿曲线运动时，上式仍成立沿曲线运动时，上式仍成立定轴转动刚体上力的功定轴转动刚体上力的功rFWddFFzFrFrxzyodCiMsF d因为因为drFzMrF所以所以ddzMW全功全功d0zMW元功元功常力功常力功zMW 功率功率zzMtMtWPdddd几种约束反力的功几种约束反力的功0W光滑固定面反力的功光滑固定面反力的功drFNFNdrBArFrFWddd刚体内力的功刚体内力的功drAAdrBBFFcosdcosdBArFrFcosdcosdABrrF因为因为cosdcosdABrr0W所以所以滚子沿固定面纯滚动时滑动

5、摩擦力的功滚子沿固定面纯滚动时滑动摩擦力的功速度瞬心速度瞬心0W理想约束理想约束约束反力的元功和恒等于约束反力的元功和恒等于 零的约束零的约束24-3 24-3 动能动能质点的动能质点的动能设质点质量为设质点质量为m，速度为，速度为v，则质点的动能为，则质点的动能为221mvT 质点系的动能质点系的动能2222211212121nnvmvmvmT恒正的标量恒正的标量221iivm单位单位J22s /mkg刚体作平动刚体作平动由由contv所以所以因为因为221iivmT221vmTi221mv刚体作定轴转动刚体作定轴转动由由iirv 所以所以因为因为221iivmT221iirmT2iizrm

6、JziMo1o又因又因2221iirmivir221zJT 所以所以刚体作平面运动刚体作平面运动由由因为因为221iivmTCvivCiiMPCiiv 于是于是221iimT2221iim2iiPmJ又因又因221PJT 所以所以刚体作平面运动刚体作平面运动由平行移轴定理由平行移轴定理CvivCiiMPC2CCPmJJ于是于是22)(21CCmJT221PJT 22)(2121CCmJ而而CCv 222121CCmvJT所以所以由牛顿第二定理由牛顿第二定理cosddFtvmmav1v2v切向投影切向投影Fam两边乘以弧长两边乘以弧长d dsa24-4 24-4 质点的动能定理质点的动能定理FM

7、1M2MsdsFstvmdcosddd因为因为WsFddcosvmvdvtsmstvmdddddd)21(d2mvTd或或WsFddcosstvmddd)21(d2mvTd因此因此sFstvmdcosdddWTddWmvd)21(d2v1v2vaFM1M2Msd若在全过程上积分，得若在全过程上积分，得Wmvmv21222121或或WTT12质点动能定理质点动能定理而而WTdd写成写成PtWtTdddd功率方程功率方程.,0vkm解解01vv 研究对象研究对象物体物体mgksM2M1v0例例 图示物体以初速度碰到弹簧，已知图示物体以初速度碰到弹簧，已知求求 物体下降的最大距离物体下降的最大距离s

8、。运动分析运动分析02v受力分析受力分析20210mv动能变化动能变化221ksmgs 力做功力做功mgksM2M1v0动能变化动能变化20210mv221ksmgs 力做功力做功故有故有20210mv221ksmgs 故有故有02202mvmgsks解得解得kkmvmgmgs202)(按题意，取正号。令按题意，取正号。令kmgst静变形静变形ststgv2011则则st2v=0=0时时24-5 24-5 质点系的动能定理质点系的动能定理*2dd21diiiiiiiidwdwrFrFvm对质点系求和，有对质点系求和，有 设任一质点设任一质点Mi的质量为的质量为mi，速度，速度vi，外力合，外力

9、合力力Fi，内力合力，内力合力 。当质点有元位移。当质点有元位移dri时，有时，有*iF*ddiiWW2221d21diiiivmvm或或 *dddiiWWT质点系动能定理质点系动能定理 微分形式微分形式FiWTdd*ddiiPPtT功率方程形式功率方程形式在全过程积分，有在全过程积分，有*12iiWWTT质点系动能定理质点系动能定理 积分形式积分形式对理想约束对理想约束FiWTT12*dddiiWWT等价于等价于对理想约束，不包括约束反力的功，方程中没有约对理想约束，不包括约束反力的功，方程中没有约束反力，求解方便，也无法用动能定理求得反力束反力，求解方便，也无法用动能定理求得反力.,RFG

10、01v例例 图示半径为图示半径为R滚子从静止开始纯滚动，已知滚子从静止开始纯滚动，已知求求 上升距离上升距离 s 时的角速度。时的角速度。解解 研究对象研究对象 初瞬时初瞬时 滚子滚子 01TCsF运动分析运动分析 末瞬时末瞬时 2222121CCvgGJTvCCsvCFRvC因为因为 2222121CCvgGJT221RgGJC01T所以所以 22243RgGT sincosGsFsW受力分析受力分析 FNFtGCsvCF01T22243RgGT sincos04322GsFsRgG所以所以 )sincos(341GFGsgR解得解得 FNFtGsincosGsFsW221mvT例例 列车列

11、车质量质量m200t，以匀加速度，以匀加速度a0.2m/s 沿沿水水 平直平直线轨道行驶。行驶过程中，机车发动机所克线轨道行驶。行驶过程中，机车发动机所克 服服的列车阻力的列车阻力与列车质量成正比：与列车质量成正比：F=km，比，比 例系数例系数k=100N/t。已知。已知t=0时，车速时，车速v=18m/s。求求: : 求求t=10s时机车发动机的瞬时功率时机车发动机的瞬时功率。解解 求功率，宜用微分形式的动能定理或功率方程求功率，宜用微分形式的动能定理或功率方程 考虑一段过程考虑一段过程 时刻时刻t t tttd内力功内力功 tPd阻力功阻力功 skmd前进距离前进距离ds 2tttd内力

12、功内力功 tPd阻力功阻力功 skmd前进距离前进距离ds skmtPmvdTdd21d2由微分形式的动能定理由微分形式的动能定理 tsvdd即即 skmtPvmvddd故有故有 tvadd因为因为 *dddiiWWTmvkaP)( 2s /m2 . 0akg/N1 . 0t /N100k因为因为 mvkaP)( kg102003ms /m102 . 0180atvvt=10s =10s 2010200) 1 . 02 . 0(3P因此，因此，t=10s =10s 时发动机的瞬时功率为时发动机的瞬时功率为 W1012003kW1200例例 图示提升机构，已知转筒半径图示提升机构，已知转筒半径R

13、，齿轮比，齿轮比k=z2/z1, 齿轮齿轮1、2转动惯量为转动惯量为J1、J2，重物质量，重物质量m，电机，电机 作用常力偶矩作用常力偶矩M。求：求：求求重物自静止上升距离重物自静止上升距离s时的速度、加速度时的速度、加速度。CIz11z2II2s01T解解 研究对象研究对象 除电机外的整体除电机外的整体 运动分析运动分析 初瞬时初瞬时 22222112212121mvJJT末瞬时末瞬时 211I转过角度转过角度 v受力分析受力分析 vCIz11z2II2s2201T力作功力作功 22222112212121mvJJTmgsM1由积分形式的动能定理由积分形式的动能定理 mgsMmvJJ1222

14、221102121211I转过角度转过角度 mgmgsMmvJJ122222110212121vCIz11z2II2s22mg因为因为 RvRs/,/22kzz1221即即 Rksk/21kzz1221即即 Rkvk/21smgRkMvmRJRkJ222221121所以所以 avCIz11z2II2s22mgsmgRkMvmRJRkJ222221121解得解得 smRJkJRmgRMkv22212加速度加速度 视视v、s为变量，前式对时间求导，得为变量，前式对时间求导，得 2221mRJkJRmgRMkatsmgRkMtvvmRJRkJdddd122221所以所以 avCIz11z2II2s2

15、2mg用微分形式的动能定理用微分形式的动能定理 考虑提升过程任意瞬时考虑提升过程任意瞬时t，重，重物速度为物速度为v，则机构的动能为，则机构的动能为 222221121vmRJRkJT不论不论M是否为常量，力的元功为是否为常量，力的元功为 smgRkMsmgMWdddd1所以所以 222221121dvmRJRkJsmgRkMd即即 222221121dvmRJRkJsmgRkMdvvmRJRkJd122221smgRkMd视视v、s为变量，对时间求导，得为变量，对时间求导，得 2221mRJkJRmgRMkatsmgRkMtvvmRJRkJdddd122221所以所以 一、一、 动力学普遍定

16、理中的重要物理量动力学普遍定理中的重要物理量24-6 24-6 关于动力学普遍定理的一些说明关于动力学普遍定理的一些说明二、二、 动力学普遍定理的形式动力学普遍定理的形式机械运动量力的作用量物体惯性动量冲量力系的主矢质量动量矩力矩力系的主矩转动惯量动能功功率动量定理动量定理动量矩定理动量矩定理动能定理动能定理微分形式积分形式微分方程质心动力学质心动力学定轴转动动力学定轴转动动力学例例 图示冲击试验机。摆杆长为图示冲击试验机。摆杆长为l，质量为，质量为m1，摆锤质量为，摆锤质量为m2，且且m1=m2=m。摆杆视为匀质细杆，摆锤视为质点。开始时，。摆杆视为匀质细杆，摆锤视为质点。开始时，摆杆摆杆O

17、A静止在水平位置，然后释放令其自由摆下。静止在水平位置，然后释放令其自由摆下。求求 (1)摆在水平位置开始下摆的瞬时，摆的角加速度、角速度摆在水平位置开始下摆的瞬时，摆的角加速度、角速度和轴承的反力。和轴承的反力。 (2)摆达到铅直位置瞬时，摆的角加速度、角速度和轴承摆达到铅直位置瞬时，摆的角加速度、角速度和轴承的反力。的反力。 解解 质点系质点系 研究对象研究对象取摆杆任意位置取摆杆任意位置OAxy运动分析运动分析定轴转动定轴转动gm2CFCnFOAxygm1运动分析运动分析定轴转动定轴转动受力分析受力分析应用定轴转动微分方程应用定轴转动微分方程 222213431mllmlmJz因为因为 )cos()cos2(34212lgmlgmml所以所以 cos23mgl1 1、角加速度、角加速度 gm2CFCnFOAxygm1234mlcos23mgl解得解得 cos89lg应用积分形式的动能定理应用积分形式的动能定理 01T2 2、角速度、角速度 初时初时 2221zJT 角时角时 2232ml223421ml)sin()sin2(21lgmlgmWi力的功力的功 sin23mgl01T所以所以 sin2303222mglml22232mlT sin23mglWi解得解得 sin492lg或或 sin23lggm2CFCnFOAxygm1C