2019-2020-1线性代数期末试卷A答案及评分标准

1、2019-2020-1线性代数期末试卷（A）答案及评分标准线性代数期末试卷答案（32学时必修）专业班级姓名学号开课系室应用数学系考试日期2016年1月15日题号一二三四五六七总分本题满分1515211612147本题得分阅卷人注意事项：1.请用黑色或蓝色笔在试卷正面答题（请勿用铅笔答题），反面及附页可作草稿纸;2.答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3.本试卷共七道大题，满分 100 分；试卷本请勿撕开，否则作废；4.本试卷正文共 7 页。本题满分 15 分说明：试卷中的字母 E 表小单位矩阵；A 表示矩阵 A 的伴随矩阵;R(A)表示矩阵 A 的秩；A1表示可逆矩阵 A 的逆矩阵.、填空题(

2、请从下面6个题目中任选5个小题，每小题3分；若6个题目都做，按照前面5个题目给分)1.5阶行列式中，项 a24a31a52a13a45前面的符号为【负1023.设B020,A为43矩阵，且 R(A)2,WJR(AB)2.1034.若向量组1(1,1,0),2(1,3,1),3(5,3,t)线性相关，则t1.mm5.设A是3阶实的对称矩阵，m 是线性方程组 Ax0 的解，1 是线11m性方程组(AE)x0 的解，则常数m1.6.设 A 和 B 是3阶方阵，A 的3个特征值分别为 3,3,0,若 EBAB,则行列式|B12E|-8.2.设 D1101132530131241,A4i(i1,2,3,

3、4)是 D 的第4行元素的代数余子式，则A412A42A432A44等于【二、选择题(共5个小题，每小题3分)1 .设A为3阶矩阵，且|A|1,则行列式|2A|等于【A1八 c(A)2;(B)(C)1;(D)2.3 .设 A 是 n 阶非零矩阵，满足AA2,若 AE,则【A5.设f由能2%)2x；2x22x22ax82ax1X32ax2X3,a是使二次型 f(x1，x2,x3)正定的正整数，则必有【B(A)a=2;(B)a=1;(C)a=3;(D)以上选项都不对.2.矩阵120的逆矩阵为【A.(A)110;001(B)210110；(C)001110120;001110(D)110001(A)

4、|A|0；(B)|A|1；(C)A 可逆;(D)A 满秩.3004.设 A026,B001D300110,CAB1,则 C1的第3行第1列的元素为342(A)4;(B)8；(C)0;(D)1.三、求解下列各题(共3小题，每小题7分)1.若，线性无关，2,2k,3 线性相关，求k.解：因为 2,2k 与 3 线性相关，所以必定存在不全为零的数1,2,3,使得1(+2)+2(2+k)+3(+3)=0整理得：1+(21+22+3)+(k2+33)=0由于，线性无关，因此可得i=02i+22+3=0k2+33=0由于1，2，3不全为零，即上述齐次线性方程组有非零解，因此100221=0,由此得k=6.

5、0k37分1122a1,若 R(ABB)2,求 a.130解：由 R(ABB)2 可知 AB+B=0,由此可得 A+EB=02-10又 A+E=010=2w02-21因此 B=0因此可得 a=-5.712.设A0110,B22分2003.设矩阵 A0a2,B0211004t0,且A,B相似,求 a 与 t 的值.603解：由A,B相似可知A,B的特征值相同,而易知B的特征值为-1,t,3,因此A的特征值也为-1,t,3利用特征值的性质可得2a11t32(a4)3t解得a1,t2.71.求向量组1031130112，21，3,42742140四、(共2小题，每小题8分)的一个最大无关组，并将其余

6、向量用这一最大无关组表示出来解：令 A10311301217242140把A进行行变换，化为行最简形,10300110AC000100006则1，2，4是C的列向量组的一个最大无关组，且3312。4,故1,2,4是A的列向量组的一个最大无关组，且331204.由此可得原方程组的通解为X1X2X32142.问 a 满足什么条件，才能使得 A03a 共有两个线性无关的特征向量?0031而 A3E00解：记方程组的增广矩阵为，则对其进行行变换，化为行阶梯形:解：由 A-E=2001304a3-二 0,得A的特征值：1=2,2=3=3要使A有两个线性无关的特征向量, 则特征值3对应一个线性无关的特征向

7、量,即(A-3E)x=0 的解空间的维数为1,贝 UR(A-3E)=2,五、问为何值时,线性方程组X14x16x1X2X2X32x34X3并在有无穷多解时求出其通解.易知，当*1时，RA)RB)3,方程组无解;当=1时，RA)RB)2,方程组有无穷多解;1当=1时，B00,与原方程组同解的方程组为X1X3X22x32无解,3六、求实二次型f(x1,x2,x3)x124x24x24x1x24x1x38x2x321224,A000,400040,可得：19,12分230,132，单位化：P1-22正交化：221,301232-23,30,012545121单包化：p2-=1,p350225-515

8、544535151立312分令PP1P2P3,则可得正交变换xPy,二次型的标准形为：f(y1,y2,y3)9y20y20y；14分的秩，并求正交变换 x=Py,化二次型12解：记二次型的矩阵为A2424故二次型 f 的秩为1.122由AE244244当i9,求解(A9E)x0当230,求解Ax0是他川牛东：2七、 (请从下面2个题目中任选1个， 若2个题目都做， 按照第1题给分)1.“设 A 是 n 阶实的反对称矩阵，则对于任何 n 维实的列向量，和A正交，且 A-E 可逆”.您认为该结论成立吗？请说明理由.解：该结论成立。由于A为反对称阵，则AT=-A,对于任意n维实的列向量，ATA-TAT(A)TAA所以A0,即和A正交；考虑(A-E)x=0,即 Ax=x,等式两边同时左乘 xT,得xTAx=xTx=0,由此得:x=0,即(A-E)x=0 只有零解,所以 A-Ew0,A-E 可逆.整理得：2B