专题强化练10 空间几何体的内切球和外接球 高一上学期数学人教A版 必修第二册（Word 含答案解析）

1、专题强化练10空间几何体的内切球和外接球一、选择题1已知正三棱柱ABC-A1B1C1的顶点都在球O的球面上,AB=2,AA1=4,则球O的表面积为()A.323B.32C.64D.6432.如图,正四棱锥P-ABCD的侧棱和底面边长都等于22,则它的外接球的表面积为()A.16B.12C.8D.43.已知圆锥的底面半径为3,母线长为5,球O与圆锥的底面和侧面均相切,设球O的体积为V1,圆锥的体积为V2,则V1V2=()A.18B.38C.14D.8274.设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,ABC为等边三角形且其面积为93,则三棱锥D-ABC体积的最大值为()A.123B.183

2、C.243D.5435.在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若ABBC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是()A.4B.92C.6D.3236.已知球O是正三棱锥A-BCD的外接球,BC=3,侧棱AB=23,点E在线段BD上,且BD=3BE,过点E作球O的截面,则所得截面圆面积的取值范围是()A.54,4B.2,4C.94,4D.114,4二、填空题7.如图所示,边长为2的正方形SG1G2G3中,E、F分别是G1G2,G2G3的中点,沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个三棱锥S-EFG,使G1、G2、G3三点重合,重合后记为点G,则三棱锥S-EFG的外接球的

3、表面积为. 8.如图,已知四棱锥P-ABCD的外接球O的体积为36,PA=3,侧棱PA与底面ABCD垂直,四边形ABCD为矩形,点M在球O的表面上运动,则四棱锥M-ABCD体积的最大值为. 9.如图,圆形纸片的圆心为O,半径为12 cm,该纸片上的正方形ABCD的中心为O,E,F,G,H为圆O上的点,ABE,BCF,CDG,ADH分别是以AB,BC,CD,DA为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以AB,BC,CD,DA为折痕折起ABE,BCF,CDG,ADH,使得E,F,G,H重合,得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时,该四棱锥的外接球的表面积为. 

4、;10.将半径为r的5个球放入由一个半径不小于3r的球和这个球的内接正四面体A-BCD的四个面分割成的五个空间内,若此正四面体的棱长为26,则r的最大值为. 参考答案一、选择题1.D过球心O作底面ABC的垂线,垂足为O',易知OO'=2,O'A=23×2×32=233.易知OA2=OO'2+O'A2,所以OA=4+43=43,所以球O的表面积S=4·OA2=643.故选D.2.A设正四棱锥外接球的球心为O,半径为R,正四棱锥底面的中心为O1,则O在正四棱锥的高PO1上.连接AC,在直角三角形ABC中,AC=2AB=

5、2×22=4,所以AO1=2,所以正四棱锥的高PO1=AP2-AO12=(22)2-22=8-4=2,因为PO1=AO1,所以O与O1重合,即正四棱锥外接球的球心是底面的中心O1,且球的半径R=2,故球的表面积S=4R2=16.故选A.3.B该几何体的轴截面如图所示,设球O的半径为r.易得圆锥的高为52-32=4,故SSAB=12×6×4=12×(5+5+6)r,解得r=32,故V1=43×r3=92,V2=13×32×4=12,故V1V2=92×112=38.4.B设ABC的边长为a,则SABC=12a·

6、;a·sin 60°=93,所以a=6.设ABC的外接圆的半径为r,则2r=6sin60°,得r=23,则球心到平面ABC的距离为42-(23)2=2,所以点D到平面ABC的最大距离为2+4=6,所以三棱锥D-ABC体积的最大值为13×93×6=183,故选B.5.B易得AC=10.设ABC的内切圆的半径为r,则12×6×8=12×(6+8+10)×r,所以r=2,因为2r=4>3,所以当球与三棱柱的上、下底面相切时,体积最大,此时球的直径为3,则半径R=32,所以球的体积V=43R3=92.故选B

7、.解题反思要使球的体积取最大值,则该球的半径应取到最大值,即该球与三棱柱的侧面或底面内切,因此需要讨论底面三角形内切圆直径与三棱柱高的关系,从而确定出球的半径的最大值.6.B设BCD的中心为O1,球O的半径为R,连接AO1,则O在AO1上.连接O1D,OD,O1E,OE,如图,则O1D=3×sin 60°×23=3,则AO1=AD2-O1D2=12-3=3.在RtOO1D中,R2=3+(3-R)2,解得R=2.BD=3BE,DE=2.在DEO1中,O1E=3+4-2×3×2×cos30°=1,OE=O1E2+OO12=1+1

8、=2.过点E作球O的截面,当截面与OE垂直时,截面圆的面积最小,此时,截面圆的半径为22-(2)2=2,面积为2;当截面过球心时,截面圆的面积最大,最大面积为4.故选B.二、填空题7.答案6解析设三棱锥S-EFG外接球的半径为R.由题意可知,SGEG,SGGF,GEGF,所以将三棱锥S-EFG补成如图所示的长方体,则长方体的外接球即为三棱锥的外接球.因为SG=2,GE=GF=1,所以外接球的直径2R=22+12+12=6,即R=62.所以三棱锥S-EFG的外接球的表面积S=4R2=6.8.答案814解析设球O的半径为R,则43R3=36,故R=3.由题易知PA,AB,AD两两垂直,所以将四棱锥

9、P-ABCD补成长方体,可知外接球的直径为长方体的体对角线,设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则c=3,因为a2+b2+32=62,所以a2+b2=27,又a2+b22ab,所以ab272,当且仅当a=b=362时,等号成立.要使得四棱锥M-ABCD的体积最大,只需点M为平面ABCD的中心O'与球心O连线所在的直线与球的交点(点M、O'在球心O两侧),又OO'=12PA=32,所以四棱锥M-ABCD体积的最大值为13×272×32+3=814.9.答案4003 cm2解析如图1,连接OE交AB于点I.图1设正方形的边长为x cm,则OI=x2 c

10、m,IE=12-x2cm.因为该四棱锥的侧面积是底面积的2倍,所以4×x2×12-x2=2x2,所以x=8.设E,F,G,H重合于点P,该四棱锥的外接球的球心为Q,如图2,图2易知OC=42 cm,PC=EA=82+42=45 cm,所以OP=PC2-OC2=43 cm.设外接球的半径为R cm,则R2=(43-R)2+(42)2,所以R=1033,所以外接球的表面积S=4×10332=4003(cm2).10.答案1解析如图1,设BCD的中心为O1,则正四面体的外接球球心O在AO1上,连接OD,O1D.图1则O1D=23×CD×32=22,AO1=AD2-DO12=4,设外接球的半径为R,则R2=(AO1-R)2+DO12,解得R=3.设正四面体A-BCD内切球的半径为r1,根据等体积法可得13r1×12×(2