第九章多元函数的微分法及其应用-ppt课件

1、第九章第九章 多元函数的微分法多元函数的微分法及其运用及其运用第一节第一节 多元函数的根本概念多元函数的根本概念一、平面点集 n维空间二、多元函数概念三、多元函数的极限四、多元函数的延续性一、平面点集一、平面点集 n n 维空间维空间1 1、平面点集、平面点集 坐标平面上具有某种性质p的点的集合称为平面点集，记作 E,| ),(RyRxyx 2R坐标平面：坐标平面：建立了直角坐标系的平面建立了直角坐标系的平面),( | ),(pyxyx具有性质),(yx点点P以点以点P P表示表示(x , y)(x , y)，|OP|OP|表示表示点点P P到原点到原点O O的间隔，那么的间隔，那么| |rO

2、PP C=| ),(222ryxyxC 平面上以原点为中心、平面上以原点为中心、r r 为半径的圆内为半径的圆内一切点的集合是一切点的集合是xyorC，即记为，邻域的的全体，称为点的点距离小于是某一正数，与点平面上的一个点，是设),(),(),(),(00000000 PUPyxPyxPxOyyxP |),(00 PPPPU )()(),( 220 oyyxxyx邻域：0P xyo)(0PU去心邻域去心邻域 ),(00 PU|0 PPP 0 )()(0),( 220 oyyxxyx2R2RE 平面点集平面点集设设P为坐标平面为坐标平面上的一点，上的一点，那么，那么， 点点P与与 集集E之间有怎

3、样的之间有怎样的关系？关系？只需下面三种关系。只需下面三种关系。(1)(1)内点内点: :假设存在点假设存在点P P的某个邻域的某个邻域 ，使得使得 那么称那么称P P为为E E的内点的内点. .,)(EPU )(PU)(EE的内点一定属于PE(2)(2)外点：假设存在点外点：假设存在点P P的某个邻的某个邻域域 ，使得使得 ，那么称，那么称P P为为E E的外点的外点. . EPU)()(PU)(EE的外点一定不属于PE(3)(3)边境点：假设点边境点：假设点P P的任一邻域内既含有的任一邻域内既含有属于属于E E的点，也含有不属于的点，也含有不属于E E的点，那么的点，那么称称P P为为E

4、 E的边境点的边境点. . PEE E的边境点的全体称为的边境点的全体称为E的边境，记为的边境，记为 .),(EEE也可能不属于的边界点可能属于21 | ),( 221 yxyxE例例xyo121E,求求1E的内点和边境点的内点和边境点聚点：假设对于恣意给定的聚点：假设对于恣意给定的 ，点，点P P的去心邻域的去心邻域 内总有内总有E E中的点，那么中的点，那么称称P P是是E E的聚点的聚点. .0 ),( PU2| ),( 22 0 2 yxyxE例例xyo22E2E点点)0 , 0(是是的聚点，的聚点，但但)0 , 0(2E 圆周圆周222 yx上的点都是上的点都是2E的聚点，的聚点，也

5、属于也属于 2E.的聚点的内点一定是EE的聚点也可能不是的聚点，的边界点可能是EEE阐明阐明开集开集: : 假设点集假设点集E E的每一点都是内点，的每一点都是内点，那么称那么称E E为开集为开集. .21),( 22 yxyxE3:例如，的每个点都是内内点点它它的的3E.为开集开集3Exyo123E闭集：假设点集闭集：假设点集E的余集的余集 为开集，那为开集，那么称么称E为闭集为闭集.cExyo124E21),( 22 yxyxE4:例如21| ),(2222 yxyxyxEc或4.为闭集闭集4E为开集为开集连通集：假设点集连通集：假设点集E E内的任何两点，都可内的任何两点，都可用折线连结

6、起来，且该折线上的点都属用折线连结起来，且该折线上的点都属于于E E，那么称，那么称E E为连通集为连通集. .区域区域( (或开区域或开区域) )：连通的开集称为区域：连通的开集称为区域或开区域或开区域).).21),( 22 yxyxE3:例如是开集，是开集，又是连通集又是连通集.是区域3E闭区域：闭区域：开区域连同它的边境一同所构成的点集开区域连同它的边境一同所构成的点集称为闭区域称为闭区域.21),( 22 yxyxE4:例如.是闭区域有界集：对于平面点集有界集：对于平面点集E，假设存在某一，假设存在某一正数正数r，使得，使得 ，其中，其中O是坐标是坐标原点，那么称原点，那么称E为有界

7、集为有界集.),(rOUE 无界集：一个集合假设不是有界集，就无界集：一个集合假设不是有界集，就称这集合为无界集称这集合为无界集. .集合集合21| ),(224 yxyxE是有界闭区域是有界闭区域例如，例如，xyo124E集合集合是无界开区域是无界开区域例如，例如，0| ),(5 yxyxExyxy 集合集合是无界闭区域是无界闭区域例如，例如，0| ),(6 yxyxExyxy 2、n维空间维空间为自然数，设n即的全体所构成的集合，),.,(21nxxx元有序实数组表示用nRn,.,2 , 1,| ),.,(21niRxxxxRinn 中的元素2R平面上的点在解析几何中，我们知道在解析几何中

8、，我们知道中的元素3R空间中的点类似地，类似地，),.,(21nnxxxxR 中的元素将.维向量中的一个点或一个也称为nRn yx x ),(2211nnyxyxyx ),(21nxxx 规定中任意两个元素，为设,),.,(),.,(2121RRyyyyxxxxnnn .维空间维空间称为称为集合集合这样定义了线性运算的这样定义了线性运算的nRn ),(yx 规规定定记记为为之之间间的的距距离离和和中中的的点点),(,),.,(),.,(2121yxyyyyxxxxRnnn 2222211)()()(nnxyxyxy x22221nxxxx 记记作作之之间间的的距距离离与与零零元元中中的的元元素

9、素)0 ,(0),(21xxxxxRnn ，即即记记作作中中，通通常常将将在在),(321xxRRR采用这一记号，结合向量的线性运算，得2222211)()()(nnyxyxyx yx),(yx 0 axnnnnRaaaaRxxxx ),(),(2121 在n维空间 中定义了间隔以后，就可以定义 中变元的极限：nRnR那么称变元 在 中趋于固定元 ，记作axnRxa假设假设设设 在n维空间 中定义了间隔以后，就可以类似地定义nRnR中的中的邻域的概念邻域的概念. ),(0 PU),(|0 PPP这样，这样，内点，外点，边境点，聚点，内点，外点，边境点，聚点，区域等概念都可定义区域等概念都可定义

10、 .聚点的性质：聚点的性质：.,00 PPPEEPnn使得中的点列找到的聚点，则一定可以为若点二、多元函数的概念二、多元函数的概念定义1 设D是 的一个非空子集，称映射 f： 为定义在D上的二元函数，通常记为或点集D称为该函数的定义域，x、y 称为自变量，z 称为因变量。1 1、二元函数的定义、二元函数的定义2RDyxyxfz ),(),( ，DPPfz ),(RD 与自变量与自变量x、y的一对值即二元数组的一对值即二元数组(x,y)相对应的因变量相对应的因变量z的值，称为的值，称为 f 在在点点(x,y)处的函数值，处的函数值， 记作记作),(yxf),(yxfz 即记作的值域函数的全体构成

11、的集合称为函数值),(,),(Dffyxf )(Df即即),(),(|Dyxyxfzz 与一元函数类似，与一元函数类似， 记号记号f 与与 f (x,y) 的意义的意义但是，习惯上常用记号但是，习惯上常用记号),(),(Dyxyxf 来表示来表示D上的二元函数上的二元函数 f .是不同的，是不同的，),(),(Dyxyxfz 或或 把定义1中的平面点集D换成n维空间 内的点集D，映射 就称为定义在D上的 n元函数，通常记为RDf:Dxxxxxxfunn ),(),(2121 nR.),(),(21DxxxPPfun 也可记为也可记为Dxxxxxfun ),(),(21 或简记为或简记为注2普通

12、地，在讨论用算式表达的多元函数时，就以使算式)(xfu )(xfu 有意义的变元x的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域。注1元函数称为多元函数。时，当元函数就是一元函数；时，当nnnn2 1例例1 1 矩形的面积和它的长矩形的面积和它的长x x、宽、宽y y的关系为：的关系为：例例2 2 圆柱体的体积圆柱体的体积V V 和它的底半径和它的底半径R R、高高h h的关系为：的关系为：,2hRV ,xyS )0,0( hR)0,0( yx例例3 3 ) 1 ,2(2|:,1)sin(zyxyz求设 )1 ,(|2z解解211)1sin( 2.21 在上述函数概念中，关键的两点为:(1) 点(

13、x,y)的变化范围，称为定义域；(2) 对应法那么，即函数关系.关于函数概念，我们主要研讨下面三个问题：(1)求函数的定义域； (2)建立函数关系； (3)求函数值.留意：二元函数 z=f(x,y)中，自变量在定义域内的取值是独立的，即x的取值与y的取值没有必然的联络.例例4 4.)(1)2ln(2的定义域求函数yxxyz 要使ln(y2x)有意义，解：解：即即 y2xy2x,)(12 有意义要使yx 11 xyx 即 D所以，定义域：112| ),( xyxxyyx 且, 1| yx须使须使 y2x 0 xyoxy2 1 xy1 xyD例5 求函数1142222 yxyxz的定义域.4122 yx 即：解：1142222 yxyxz 要使函数有意义，0122 yx须使0422 yx4122 yxyxD| ),( 2、二元函数的几何意义： 设二元函数z=f(x,y)的定义域为xoy面上的某一区域D，对于D上的每一点P(x,