数字信号处理总复习

1、信号处理总复习一、基本概念 连续时间信号（模拟信号）：时间上和幅度上都取连续值的信号。 离散时间信号：在时间上取离散值,幅度上取连续值的信号； 数字信号：时间上和幅度上都取离散值的信号。 模拟信号若在数字传输系统中传输，首先需要对其采样，采样后的结果就是离散信号；将得到的离散时间信号再进行量化，得到的就是数字信号。换句话说数字信号是离散时间信号量化的结果。 离散时间信号的表示 x(n) x(-1) x(0) x(1) n-nx , )(0, 00, 1)(nnnmnmnmn, 0, 1)( 一些常用序列)(n1. 单位脉冲序列2.单位阶跃序列 u(n)0)2() 1()()()() 1()()

2、()(mnnnmnnunununun 与 u(n) 的关系)(n0, 00, 1)(nnnu3.矩形序列)(nRN)()()(NnununRN 与 u(n) 的关系)(nRNnNnnRN其他0101)()()(nunxn4.实指数序列1 |1 |5. 实正弦序列 ),cos()(0n-nAnx6.复指数序列njenx)(0)(式中0为数字频率njenenxnn00sincos)(将复指数表示成实部与虚部其示意图如下： 若序列x(n) 满足 x(n)=x(n+N) ，且N是使其成立的最小正整数，则称序列x(n)为以N为周期的周期序列。 序列的周期性下图为周期序列示意图n 按周期序列的定义，对正弦

3、序列x(n)=sin(0n+)，因为 x(n)=sin(0n+)=sin(0n+2k) = sin0 (n+ 2k / 0)+ 其中k为整数，除非p= 2k / 0 为整数，否则正弦序列不是周期信号。例： 求x(n)=sin(4n/3)的周期N。解：因为0n= 4n/3， x(n)=sin(4n/3+2k) =sin(4/3)(n+6k/4)， 所以 p= 2k / 0= 6k/4， 取k=2，得到p的最小正周期数即x(n)的周期为N=3。序列的运算 加、减： 乘 标量乘 时移 反转 延迟)()()(21nxnxny)()()(21nxnxny)()(ncxny)()(0nnxny)()(nx

4、ny( )(1)y nx n序列的运算Example: consider the following sequences:x(n)=-4 5 1 -2 -3 0 2, -3n 3y(n)=6 -3 -1 0 8 7 -2, -1n 5w(n)=3 2 2 -1 0 -2 5, 2n 8The sample values of each of the above sequences outside the ranges specified are all zeros. Generate the following sequences. (a) c(n)=x(-n+2), (b) d(n)=y(-

5、n-3), (c) e(n)=w(-n), (d) u(n)=x(n)+y(n-2), (e) v(n)=x(n) w(n+4) (f) s(n)=y(n)-w(n+4), and (g) r(n)=3.5y(n) 任意序列x(n)都可用单位脉冲序列表示成加权和的形式，即 用单位脉冲序列表示任意序列mmnmxnx)()()()(n其他01010)(nanxn如:)()(1010mnanxmm可表示为离散时间系统)()(nxTny线性系统时不变系统因果系统稳定系统 定义、判定（条件）一、线性时不变系统 LTI 系统系统 )(1nx)(1ny)(2nx)(2ny)()(21nxnx)()(21ny

6、ny)(1nax)(1nay 线性 时不变性 S)(nx)(ny)(0nnx)(0nny脉冲响应hn: S)(n)(nh 因果性是指系统在n时刻的输出只取决于n时刻以及n时刻以前的输入，而与n时刻以后的输入无关。 系统的因果性与稳定性1. 系统的因果性 0, 0)(nnh2. 系统的稳定性 nnh)(LTI系统的时域表示)()(nTnh )()()(*)()(kknhkxnhnxny线性卷积线性常系数差分方程MkkNkkknxbknya00)()(递归和非递归差分方程以上为时域描述。二、周期采样nnTxtxnxcnTtc ),(| )()(T1/sfT采样周期22 /ssfT采样频率采样周期角

7、频率理想抽样过程示意图理想抽样过程示意图 Nyquist 采样定理采样定理dtetxjXtjcc)()(nnjjenxnxeX)()(DTFT)(kcjTkjTjXTeX)2(1 )(kscTjjkjXTeX)(1 )(由于 ，又可写成：T采样信号：ncsnTtnTxtstxtx)()()()()(W 0)(XWTWTor 重要结论：要想连续信号抽样后能够重要结论：要想连续信号抽样后能够 不失不失真的还原出原信号，则抽样频率必须大于或真的还原出原信号，则抽样频率必须大于或等于两倍原信号频谱的最高频率等于两倍原信号频谱的最高频率(fmax fs/2)，这就是奈奎斯特抽样定理这就是奈奎斯特抽样定理

8、. 离散卷积反折移位对应相乘相加kknhkxny计算某个特定的kknhkxny)()()(00Summation variable considered constant0ny（单边）（双边） Z变换的收敛域对于任意给定的序列x(n)，使Z变换收敛的所有z值的集合称为X(z)的收敛域。nnznxzX)()(nnuznxzX0)()( 一般序列的ROC:xxnnnnnnR|z|R,znxznxznxzX :ROC )()( )()(01不同序列类型的ROC 因果序列： 反因果序列： 有限长序列： 整个Z平面，有可能除去 和/或 右边序列： 有可能除去 左边序列： 有可能除去 双边序列：| xzR

9、| xzRz|1, x(n) is a causal sequence.(2) For ROC |z|1/3, x(n) is anticausal sequence.43Solution:43X(z) has two poles, z1=1 and z2=1/3.44(3) For ROC 1/3|z|1, the x(n) is Two-side sequence.44系统的传输函数nnznhzH)()()(zX)(zH)()()(zXzHzY)()()(zXzYzH称为该称为该LTI系统的系统的系统函数系统函数或者或者传输函数传输函数系统的频率响应系统的频率响应: )(jeHjezzH|

10、 )(理想滤波器的频率响应 deeXnxnjj)(21)(nnjjenxeX)()(离散时间傅里离散时间傅里叶变换叶变换(DTFT)频谱频谱 离散时间傅里叶反变换离散时间傅里叶反变换(IDTFT) 四、离散时间傅里叶变换（四、离散时间傅里叶变换（DTFT）)()(nuanxn1|a例：例： 求求（其中（其中）的离散时间傅里叶变换的离散时间傅里叶变换解解： nnjjenxeX)()(0)(nnjaejae11 |)2/1 ()(nnx例： 求求的离散时间傅里叶变换的离散时间傅里叶变换解解： nnjnjeeX|)21()(10)21()21(nnjnnnjnee1)21(2111nnjnjeeco

11、s453jjjeee211212111离散时间周期信号的离散时间周期信号的DTFTknnjnjnjkeee)2(2 DTFT000knnjke)2(2DTFT1knjnjkkeen)2()2( DTFTDTFT21)DTFTcos(00000kkkjn)2()2( )DTFTsin(0001. Linearity2. Time Shifting )()( )()(DTFT2121XXnxnxDTFT的性质)( )(DTFT00Xennxnj3. Frequency Shifting)( )(DTFT00 Xnxenj)( )(DTFT*Xnx Furthermore, if sequence

12、is real, then4. Time Reversal )( )(DTFTXnx5. Differentiation in FrequencyddXjnnx)( )(DTFT6. Complex Conjugation)( )(DTFT* Xnx7. Parsevals Theorem)( )(DTFT*XnxdXnxn22| )(|21| )(|8. Time-Domain Convolution Theorem and ifthenmmnhmxnhnxny)()()()()()()()(HXY9. Frequency-Domain Convolution Theorem)()()(nw

13、nxnydWXY)()(21)(五、离散傅立叶变换（五、离散傅立叶变换（DFT)及快速及快速傅里叶变换（傅里叶变换（FFT） 长度为N的序列x(n)其频谱为在 上从0开始等间隔的取N个点，相应的 （k=0,N-1),则上式变为 10)()(NnnjjenxeX)2 , 0Nkk2102)()(NnknNjenxkXNjNeW2 离散傅立叶变换，简称DFT 傅立叶反变换，简称IDFT10 )()(10Nk,WnxkXNnknN10 )(1)(10Nn,WkXNnxNkknN DFT的性质 Circular Convolution Theorems 1. Time-Domain Circular

14、Convolution Theorem Ifthen 2.Frequency-Domain Circular Convolution theorem)()()()(10212kRmnxmxnxNNmN)()(1nxnx)()()(21kXkXkXIfthen)()()(21nxnxnx)()()(1)(10212kRlkXlXNkXNNlN)(1)(1kXNkXFFT算法算法 时域抽取基时域抽取基2FFT算法算法 频域抽取基频域抽取基2FFT算法算法 Direct Computations(1) The DFT (2) Computation Amount Complex multiplica

15、tions: Complex additions:point-N1010 )()(NnknNNk,WnxkX2NNNNN ) 1(Computational Efficiency (1) Every stage consists of butterfly units, whichneeds complex multiplications and complex additions. (2) In a complete flow graph, complex multiplications and complex additions are required. If , then, for th

16、e FFT,For the direct method:Thus,2/N2/NN/N2)log2(NN2log1024210NN512010512log22NN1048576)2(2102N8204log2log2222.N/NNN/N 设FIR 的单位脉冲响应h(n)（n=0,1,N-1，长度为N）的Z变换为10)()(NnnznhzH是Z-1的N-1阶多项式，在Z平面上有个N-1零点，在原点有N-1个重极点。六、FIR 滤波器设计如果h(n)满足下面的偶对称和奇对称条件，FIR滤波器将具有严格的线性相位特性。)1()()1()(nNhnhnNhnhFIR滤波器分类： 窗函数设计法窗函数设计

17、法设计思想：从时域出发，设计h(n)逼近理想hd(n)设理想滤波器的单位脉冲响应为hd(n)，则有deeHnhenheHjnjddjnndjd)(21)()()(所求得的 一般是无限长的，且是非因果的。)(nhd | 0 | )(cc,eeHjjd )()(sin 21)(21)(n,nndeedeeHnhcccnjjnjjddcc 要想得到一个因果的有限长的滤波器h(n)，最直接的方法是截断 ，或者说用一个窗口函数 对 进行加窗处理，即)(nhd)(nhd)( nw)()()(nwnhnhd所以选择窗口函数的形状和长度是窗口函数法的关键。几种窗函数几种窗函数 1.矩形窗 3.汉宁(Hanni

18、ng)窗 4. 汉明(Hamming)窗 5. 布莱克曼(Blankman)窗 6. 凯泽(Kaiser)窗P.212 Table 7-3七、IIR滤波器设计 IIR数字滤波器的系统函数可表示为有理分式 11101)(zazbzHkNkkNk 设计IIR滤波器的系统函数，就是要确定H(z)的阶数N（通常称N为滤波器的阶数）以及分子分母多项式的系数jezjkkzHeHba)()(，使其、 满足指定的频率特性利用模拟滤波器的理论来设计利用模拟滤波器的理论来设计 模拟滤波器研究较早，理论已经十分成熟，有许多简单而严谨的设计公式和大量的图表可以利用，利用这些现有技术来解决数字滤波器的设计问题 采用这种

19、方法时，要先要设计一个合适的模拟滤波器，然后将它转换成满足给定指标的数字滤波器 这种方法适合于设计幅频特性比较规则的滤波器，例如低通、高通、带通、带阻等当把模拟滤波器的G(s)转换成数字滤波器的H(z) 时，要实现S平面向Z平面的映射，必须满足两个条件 必须保证模拟频率映射为数字频率，且保证两者的频率特性基本一致要求变换后代表S平面的虚轴j应映射到Z片面的单位圆且数字滤波器的频率响应和模拟滤波器频率响应的形状应基本保持不变； 因果稳定的模拟滤波器系统函数H(s)转换成数字滤波器传输函数H(z)后，仍然是因果稳定的要求S平面左半平面的极点必须映射到Z平面的单位圆内 两种常用的方法 脉冲响应不变法

20、：从时域的角度出发进行映射双线性不变法：从频域角度出发进行映射1. 模拟原型滤波器设计 IIR滤波器的设计是基于模拟滤波器的成熟技术而完成的巴特沃思(Butterworth)滤波器切比雪夫(Chebyshev)滤波器2 设计IIR滤波器的脉冲响应不变法 1 1设计的基本原理和方法设计的基本原理和方法 原理：原理：从时域响应出发，使求得的数字滤波器的单位脉冲响应h(n)等于模拟滤波器的单位冲激响应h(t)的抽样值。 nTttgnh)()()()(1）（已知sGLtgsG )()()(nTgZnhZzH 方法方法：将G(s)表示为部分分式形式 kkNkssAsG 1)( 其拉氏反变换为 得到数字滤波器的单位脉冲响应 对上式两边取Z变换得 )()(1tueAtgtskNkkNknTskNknTsknueAnTueAnhkk11)()()()(111)(zeAzHTskNkk 如果模拟滤波器的系统函数是稳定的，其极点应位于左半平面 111)(zeAzHTskNkk0kesR 对Z平面的极点有 1Tskkez 位于单位园内。因此H(z)是一个稳定的离散系统函数，这说明由一个稳定的模拟滤波器得到了一个稳定的数字滤波器 脉冲响应不变法设计的滤波器的频率响应脉冲响应不变法设计的滤波器的频率响应 根据抽样定理，序列h(n)的频谱