第五章 输运过程

1、高分子材料流变学第五章 输运过程的基本方程及基本流动形式1第五章第五章 输运过程的基本方程输运过程的基本方程及基本流动形式及基本流动形式徐德增徐德增高分子材料流变学第五章 输运过程的基本方程及基本流动形式2绪绪 n高分子流变学研究高分子液体在流动过程中高分子流变学研究高分子液体在流动过程中所表现的非线性粘弹性及其规律，广义而言，所表现的非线性粘弹性及其规律，广义而言，这些内容均属于连续介质力学的范畴，属于这些内容均属于连续介质力学的范畴，属于输运过程。因此象所有材料的真实物理过程输运过程。因此象所有材料的真实物理过程一样，高分子流变过程也必然遵循自然界普一样，高分子流变过程也必然遵循自然界普遍

2、适用的最基本的守恒定律。在输运过程范遍适用的最基本的守恒定律。在输运过程范畴内，这些守恒定律主要表现为质量守恒定畴内，这些守恒定律主要表现为质量守恒定律，动量守恒定律和能量守恒定律。律，动量守恒定律和能量守恒定律。高分子材料流变学第五章 输运过程的基本方程及基本流动形式3绪绪n高分子流变过程与其他流体输运过程的主要高分子流变过程与其他流体输运过程的主要差别在于高分子液体是一种特殊的非线性粘差别在于高分子液体是一种特殊的非线性粘弹性流体，这种特殊性表现在其特殊的流变弹性流体，这种特殊性表现在其特殊的流变本构方程上。本构方程上。高分子材料流变学第五章 输运过程的基本方程及基本流动形式4绪绪n为定量

3、地研究高分子材料在流变测量和合成为定量地研究高分子材料在流变测量和合成或加工工程中的流动规律，为高分子材料设或加工工程中的流动规律，为高分子材料设计、加工工艺设计、模具和设备设计提供系计、加工工艺设计、模具和设备设计提供系统地计算基础和设计方法，本章介绍输运过统地计算基础和设计方法，本章介绍输运过程基本方程的物理意义和方程形式，讨论其程基本方程的物理意义和方程形式，讨论其在几种典型高分子材料流动形式中的应用。在几种典型高分子材料流动形式中的应用。高分子材料流变学第五章 输运过程的基本方程及基本流动形式51 连续性方程连续性方程质量守恒律质量守恒律n设无限大空间内充设无限大空间内充满流体，在固定

4、的满流体，在固定的空间坐标系中任取空间坐标系中任取封闭曲面封闭曲面A A，设其包，设其包围体积为围体积为 （图（图5-5-1 1）。考察单位时间）。考察单位时间内曲面内曲面 中包围流中包围流体的质量变化率为体的质量变化率为高分子材料流变学第五章 输运过程的基本方程及基本流动形式61 1 连续性方程连续性方程质量守恒律质量守恒律n (5-1) (5-1)n式中式中 ；(x，t)为时刻为时刻t，空间，空间n任一点任一点 x的质量密度。的质量密度。n积分是对体积积分是对体积 的体积分。的体积分。n该质量变化率应等于单位时间内穿过曲面该质量变化率应等于单位时间内穿过曲面A的净质量流量。的净质量流量。t

5、MMdttM),(x高分子材料流变学第五章 输运过程的基本方程及基本流动形式71 1 连续性方程连续性方程质量守恒律质量守恒律n在在A上任取面元上任取面元dA，设，设 dA的方向指向封闭曲的方向指向封闭曲面的外法线方向。面的外法线方向。n假定假定dA处流体的流速为处流体的流速为v，则单位时间通过，则单位时间通过dA的体积流量为（的体积流量为（- v dA），这是两个矢），这是两个矢量的点乘，负号的出现是由于规定了以流进量的点乘，负号的出现是由于规定了以流进封闭曲面的流量为正流量（使封闭曲面内物封闭曲面的流量为正流量（使封闭曲面内物质增多），流出为负流量。质增多），流出为负流量。高分子材料流变学

6、第五章 输运过程的基本方程及基本流动形式81 1 连续性方程连续性方程质量守恒律质量守恒律n相应的通过相应的通过dAdA的质量流量为（的质量流量为（- -vv dA dA），），于是有于是有 n （5-25-2）n我们称（我们称（5-25-2）式为连续性方程的积分型式。）式为连续性方程的积分型式。公式表明单位时间内体积公式表明单位时间内体积 中流体的质量变中流体的质量变化等于该时间内穿过曲面化等于该时间内穿过曲面A A的净流量，其物理的净流量，其物理本质为质量守恒定律。后一个积分是对包围本质为质量守恒定律。后一个积分是对包围体积体积 的封闭曲面的封闭曲面A A作的面积分。作的面积分。Avxdd

7、ttMA),(高分子材料流变学第五章 输运过程的基本方程及基本流动形式91 1 连续性方程连续性方程质量守恒律质量守恒律n利用场论中的利用场论中的GaussGauss定理可将一个面积分转化为体积定理可将一个面积分转化为体积分，于是（分，于是（5-25-2）式可改写为：）式可改写为：n n （5-35-3）n式中为一个矢量微分算符，称式中为一个矢量微分算符，称HamiltonHamilton算符，其显算符，其显式为：式为：n n （5-45-4）n为三个坐标轴单位矢量，见（为三个坐标轴单位矢量，见（3-183-18）式。（）式。（5-35-3）式）式中的称为对乘积求散度运算。中的称为对乘积求散度

8、运算。 0)(dtv33221131xxxxjjjeeee高分子材料流变学第五章 输运过程的基本方程及基本流动形式101 1 连续性方程连续性方程质量守恒律质量守恒律n由于区域为无限大空间中任取的区域，所以（由于区域为无限大空间中任取的区域，所以（5-35-3）式积分等于零，只有被积函数等于零：式积分等于零，只有被积函数等于零：n （5-55-5）n此公式称连续性方程的微分型式。此公式称连续性方程的微分型式。n于任何一种稳定流动，有于任何一种稳定流动，有 所以由（所以由（5-55-5）式）式得知：得知：n n （5-95-9）0)(vt0)(v, 0t高分子材料流变学第五章 输运过程的基本方程

9、及基本流动形式111 1 连续性方程连续性方程质量守恒律质量守恒律n对于不可压缩流体的稳定流动，进一步有：对于不可压缩流体的稳定流动，进一步有： （5-105-10）n在直角座标系中，（在直角座标系中，（5-105-10）式的显式表示为：）式的显式表示为：n n （5-115-11）n这是不可压缩流体稳定流动的连续性方程这是不可压缩流体稳定流动的连续性方程。0 v0zyxzyx高分子材料流变学第五章 输运过程的基本方程及基本流动形式121 1 连续性方程连续性方程质量守恒律质量守恒律n对于大多数高分子材料熔体加工过程均可近对于大多数高分子材料熔体加工过程均可近似地视其为不可压缩流体的稳定流动，

10、故连似地视其为不可压缩流体的稳定流动，故连续性方程可用（续性方程可用（5-105-10）式表式。）式表式。n注意采用的坐标系不同，（注意采用的坐标系不同，（5-105-10）式的显式）式的显式表示不同。其中直角坐标系和柱坐标系中的表示不同。其中直角坐标系和柱坐标系中的连续性方程最常用。连续性方程最常用。高分子材料流变学第五章 输运过程的基本方程及基本流动形式132.2.运动方程运动方程动量守恒律动量守恒律n 按质点的动量定理有按质点的动量定理有n n （5-135-13）n式中式中m m为质点的质量，为质点的质量，F Fi i为质点所受的外力。为质点所受的外力。n公式的物理意义为质点的动量变化

11、率等于质公式的物理意义为质点的动量变化率等于质点所受的外力和。点所受的外力和。iimDtDFv)(高分子材料流变学第五章 输运过程的基本方程及基本流动形式142. 2. 运动方程运动方程动量守恒律动量守恒律n考察流体中一无限小流体元，其速度为考察流体中一无限小流体元，其速度为v v，动量为，动量为，见图（见图（5-25-2）。）。 分量研究。由（分量研究。由（5-13）式有）式有n n （5-145-14） 1xiiFxxxvDtD1321 1)(321xxxiiFDtDvxxx11321为流体元质量，在考察中保为流体元质量，在考察中保持不变，故上式改写为持不变，故上式改写为:。由于由于高分子

12、材料流变学第五章 输运过程的基本方程及基本流动形式152. 2. 运动方程运动方程动量守恒律动量守恒律n外力包括流动时作用在体积元上的压力在方向的分外力包括流动时作用在体积元上的压力在方向的分量，粘弹力在方向的分量量，粘弹力在方向的分量VE1VE1 和重力在方向的分量和重力在方向的分量G1G1。通过计算可以求得它们分别等于：。通过计算可以求得它们分别等于：321132111)()(xxxxpxxpxxppP3213312211111xxxxxxVE32111xxxgG（5-165-16） （5-175-17） （5-155-15） 高分子材料流变学第五章 输运过程的基本方程及基本流动形式162

13、. 2. 运动方程运动方程动量守恒律动量守恒律n式中（式中（- -p p）为流体内压力，）为流体内压力， 为偏应力张为偏应力张量的分量，其中为弹性力分量，量的分量，其中为弹性力分量， 为粘性力分为粘性力分量，量， 为重力加速度在为重力加速度在 方向的分量。方向的分量。n代入（代入（5-145-14）式，得到。）式，得到。n n n （5-185-18）同理可求出动量方程在同理可求出动量方程在 ， 方向的分量式。方向的分量式。312111,3121，1g1x133122111111)(gxxxxpDtDv2x3x高分子材料流变学第五章 输运过程的基本方程及基本流动形式172. 2. 运动方程运动

14、方程动量守恒律动量守恒律n综合写成张量表示式：综合写成张量表示式： n （5-19）n此式称一般粘弹性流体的动量方程，也称运动方程。此式称一般粘弹性流体的动量方程，也称运动方程。式中式中p为压力梯度，记为为压力梯度，记为n n （5-20）n注意式中最后一个等号的右侧表示三项求和的缩记注意式中最后一个等号的右侧表示三项求和的缩记形式。形式。 gvpDtDiixpxpxpxppeeee332211高分子材料流变学第五章 输运过程的基本方程及基本流动形式182. 2. 运动方程运动方程动量守恒律动量守恒律n采用这种书写方式，原有的求和号可以省略。于是采用这种书写方式，原有的求和号可以省略。于是Ha

15、miltonHamilton算子可缩记为：算子可缩记为：n n （5-215-21）n而而 n （5-225-22）n公式（公式（5-195-19）表示，流体元流动中动量的变化有三）表示，流体元流动中动量的变化有三种外力的贡献，分别是压力、粘弹力和重力。种外力的贡献，分别是压力、粘弹力和重力。 iixekijkkijijkkjiijkkjjkiixxxxeeeeeeee高分子材料流变学第五章 输运过程的基本方程及基本流动形式192. 2. 运动方程运动方程动量守恒律动量守恒律n公式（公式（5-195-19）表示，流体元流动中动量的变）表示，流体元流动中动量的变化有三种外力的贡献，分别是压力、粘

16、弹力化有三种外力的贡献，分别是压力、粘弹力和重力。和重力。n由于高分子流体粘度很大，重力影响很小，由于高分子流体粘度很大，重力影响很小，常忽略不计。常忽略不计。n因此影响流动的主要外力为压力和粘弹力，因此影响流动的主要外力为压力和粘弹力，流动形式也可区分为由压力引起的压力流和流动形式也可区分为由压力引起的压力流和由粘弹力引起的拖曳流。由粘弹力引起的拖曳流。高分子材料流变学第五章 输运过程的基本方程及基本流动形式202. 2. 运动方程运动方程动量守恒律动量守恒律n对不可压缩的牛顿流体，为常数，偏应力张量，对不可压缩的牛顿流体，为常数，偏应力张量，n 粘度粘度0 0为常数，故（为常数，故（5-1

17、95-19）式得以简化：）式得以简化：n n n n (5-23)(5-23)n此方程即著名的此方程即著名的Navier-StokesNavier-Stokes方程，为牛顿流体力方程，为牛顿流体力学中的基本方程。在这儿它只是粘弹性流体运动方学中的基本方程。在这儿它只是粘弹性流体运动方程的一个特例。程的一个特例。v0gvgvv00)(ppDtD高分子材料流变学第五章 输运过程的基本方程及基本流动形式212. 2. 运动方程运动方程动量守恒律动量守恒律n式中称式中称LaplaceLaplace算子，在直角坐标系中的显式算子，在直角坐标系中的显式为：为：n n (5-25)(5-25)222222z

18、yx高分子材料流变学第五章 输运过程的基本方程及基本流动形式223.3.能量方程能量方程能量守恒律能量守恒律n能量守恒律有多种表示方法，我们取热力学第一定能量守恒律有多种表示方法，我们取热力学第一定律来研究。设一个封闭体系的内能为律来研究。设一个封闭体系的内能为E，动能为，动能为K，它与外界的功交换和热量交换分别记为它与外界的功交换和热量交换分别记为 n 和和 ，则热力学第一定律，即能量守恒律表示，则热力学第一定律，即能量守恒律表示为：为：n公式的物理意义为：封闭体系的任何能量变化，或公式的物理意义为：封闭体系的任何能量变化，或源于与外界的功交换，或源于与外界的热交换，否源于与外界的功交换，或

19、源于与外界的热交换，否则能量守恒。则能量守恒。iiAQQAKEii)( （5-265-26） 高分子材料流变学第五章 输运过程的基本方程及基本流动形式233.3.能量方程能量方程能量守恒律能量守恒律n注意（注意（5-265-26）式的成立基于各物理量符号的规定，）式的成立基于各物理量符号的规定，此处规定体系能量升高为正，外界对体系作功为正，此处规定体系能量升高为正，外界对体系作功为正，体系吸收热量为正。反之为负。体系吸收热量为正。反之为负。n设无限大空间内充满连续流体，取在某一瞬时占有设无限大空间内充满连续流体，取在某一瞬时占有空间域空间域A A（体积为）的流体系统研究。按（体积为）的流体系统

20、研究。按（5-265-26）式，）式，它在单位时间内的能量变化律为它在单位时间内的能量变化律为：n （5-275-27）n n式中式中WiWi 为外力对体系做功的功率。注意此处为外力对体系做功的功率。注意此处因针对确定流体元研究，故所取时间导数为因针对确定流体元研究，故所取时间导数为物质导数。物质导数。DtDQWKEDtDii)(高分子材料流变学第五章 输运过程的基本方程及基本流动形式243.3.能量方程能量方程能量守恒律能量守恒律deEdKvv21高分子材料流变学第五章 输运过程的基本方程及基本流动形式253.3.能量方程能量方程能量守恒律能量守恒律n 设设A A域中的流体与外界的热量交换只

21、计传导域中的流体与外界的热量交换只计传导热，不计辐射热。按热，不计辐射热。按FourierFourier导热定律，热流导热定律，热流矢量矢量q q等于等于n （5-305-30） n式中式中q q的单位为的单位为JmJm-2-2s s -1-1 ；k k为导热系数，为导热系数，单位为单位为JJ（msKmsK）-1-1 ； 为温度梯度，为温度梯度，式中负号的意义为热量总是沿温度下降的方式中负号的意义为热量总是沿温度下降的方向传导的。向传导的。 TkqT高分子材料流变学第五章 输运过程的基本方程及基本流动形式263.3.能量方程能量方程能量守恒律能量守恒律n于是于是A A域内的流体与外界的热量交换

22、率为（参域内的流体与外界的热量交换率为（参看图看图5-35-3）：）：n n （5-315-31）n式中负号的引入是因为按规定，导入体系的式中负号的引入是因为按规定，导入体系的热量为正。公式中也引用了将面积分转化为热量为正。公式中也引用了将面积分转化为体积分的体积分的GaussGauss定理。定理。dTkddDtDQA)(qAq高分子材料流变学第五章 输运过程的基本方程及基本流动形式273.3.能量方程能量方程能量守恒律能量守恒律n再求外力对体系作功的功率。外力主要指压再求外力对体系作功的功率。外力主要指压力与粘弹力。其功率为力与粘弹力。其功率为n （5-325-32） n将（将（5-285-

23、28）（5-325-32）式代入（）式代入（5-275-27）中，）中，得到流动过程中能量方程的积分型式为：得到流动过程中能量方程的积分型式为：n n n （5-335-33） AiidpWAvI)(AdpddveDtDAvIq)()21(2高分子材料流变学第五章 输运过程的基本方程及基本流动形式283.3.能量方程能量方程能量守恒律能量守恒律n通过适当的演算（演算过程略），还可得到通过适当的演算（演算过程略），还可得到能量方程的微分型式：能量方程的微分型式：n n （5-345-34） n式中为密度，式中为密度，cvcv为流体的定容比热，为流体的定容比热，T T为绝对温度，为绝对温度，q q

24、为热流矢量，为热流矢量，p p为流体内压力，而张量与的二次点为流体内压力，而张量与的二次点乘等于：乘等于：n vvq:)()(TpTDtDTcvijijinjmnmijnmmnjiijxxxeeeev:高分子材料流变学第五章 输运过程的基本方程及基本流动形式293.3.能量方程能量方程能量守恒律能量守恒律n方程最左边的写法，有两对求和指标。表示先对方程最左边的写法，有两对求和指标。表示先对j j求求和，再对和，再对i i求和。展开来写，即为：求和。展开来写，即为：333332323131232322222121131312121111332313322212312111333231232221

25、131211:xvxvxvxvxvxvxvxvxvxvxvxvxvxvxvxvxvxvv高分子材料流变学第五章 输运过程的基本方程及基本流动形式303.3.能量方程能量方程能量守恒律能量守恒律n它是九项对应乘积之和。其中既有剪切应力分量它是九项对应乘积之和。其中既有剪切应力分量与剪切速度梯度的贡献，又有法向应力分量与拉与剪切速度梯度的贡献，又有法向应力分量与拉伸速度梯度的贡献（弹性力贡献）。伸速度梯度的贡献（弹性力贡献）。n对于不可压缩流体而言，因为，故能量方程简化对于不可压缩流体而言，因为，故能量方程简化为：为：n （5-365-36） n其物理意义为，流体流动过程中体系能量的变化，其物理意

26、义为，流体流动过程中体系能量的变化，决定于与外界的热交换和功交换。对于粘弹性流决定于与外界的热交换和功交换。对于粘弹性流体而言，功交换既包括粘性力贡献，也包括弹性体而言，功交换既包括粘性力贡献，也包括弹性力贡献。力贡献。 vq:DtDTcv高分子材料流变学第五章 输运过程的基本方程及基本流动形式313.3.能量方程能量方程能量守恒律能量守恒律n大多数高分子流体的测量和加工过程近似遵循上述大多数高分子流体的测量和加工过程近似遵循上述简化方程。另外注意，不同的坐标系下，运动方程简化方程。另外注意，不同的坐标系下，运动方程和能量方程的显式不同。和能量方程的显式不同。n例题：不可压缩粘弹性流体在稳态简

27、单剪切流场中例题：不可压缩粘弹性流体在稳态简单剪切流场中的输运方程。的输运方程。n在简单剪切流场，偏应力张量中的剪切应力分量只在简单剪切流场，偏应力张量中的剪切应力分量只有；有； 另外还要考虑法向应力分量另外还要考虑法向应力分量n 。n假定流体与外界的热交换只沿着假定流体与外界的热交换只沿着x x2 2方向进行，热流矢方向进行，热流矢量只有量只有q q2 2分量不等于零。忽略重力的影响。分量不等于零。忽略重力的影响。01221332211,高分子材料流变学第五章 输运过程的基本方程及基本流动形式323.3.能量方程能量方程能量守恒律能量守恒律n根据上述简化假定，输运过程基本方程得以简化，得到：

28、根据上述简化假定，输运过程基本方程得以简化，得到： n (5-37)(5-37)连续性方程为：连续性方程为：n运动方程为：运动方程为： (5-38)(5-38)n能量方程为：能量方程为： n (5-39)(5-39)011xv333312221122222111111100 xxpxxxxpxxxxpDtDvx方向方向方向212122xvxqDtDTcv高分子材料流变学第五章 输运过程的基本方程及基本流动形式333.3.能量方程能量方程能量守恒律能量守恒律n该方程组比原始方程简化了许多，容易求解。该方程组比原始方程简化了许多，容易求解。为了求得上述方程组的解析解，还必须引入为了求得上述方程组的

29、解析解，还必须引入粘弹性流体的本构方程及一定的边界条件或粘弹性流体的本构方程及一定的边界条件或初始条件，使方程组完备性得到满足才行。初始条件，使方程组完备性得到满足才行。高分子材料流变学第五章 输运过程的基本方程及基本流动形式344 4平行板间的等温拖曳流平行板间的等温拖曳流 和管道中的压力流和管道中的压力流n1. 平行板间的等温拖曳流平行板间的等温拖曳流n讨论两块无限大平板间的等温拖曳流。这种讨论两块无限大平板间的等温拖曳流。这种流动又称流动又称Couette流动。比如在挤出成型过流动。比如在挤出成型过程中，挤出机的螺杆转动，由此带动物料运程中，挤出机的螺杆转动，由此带动物料运动，而机筒不动

30、。所谓等温流动，指流动过动，而机筒不动。所谓等温流动，指流动过程中两块大板的温度程中两块大板的温度TW保持不变，但这并保持不变，但这并不意味着物料与外界没有热交换。不意味着物料与外界没有热交换。高分子材料流变学第五章 输运过程的基本方程及基本流动形式354.4.平行板间的等温拖曳流平行板间的等温拖曳流 和管道中的压力流和管道中的压力流n在两平行大板间安排直角坐标系如图在两平行大板间安排直角坐标系如图5-4所示。所示。假定两块板间距为假定两块板间距为H，板间充满流体。设上，板间充满流体。设上板以速度板以速度v0沿沿x方向运动，拖动板间流体也沿方向运动，拖动板间流体也沿x方向流动，下板静止。流动期

31、间两板温度保方向流动，下板静止。流动期间两板温度保持不变为持不变为TW 。求板间流体的速度分布与温度。求板间流体的速度分布与温度分布情形。分布情形。高分子材料流变学第五章 输运过程的基本方程及基本流动形式364.4.平行板间的等温拖曳流平行板间的等温拖曳流 和管道中的压力流和管道中的压力流n为方便求解，需要首先把讨论的问题简化和为方便求解，需要首先把讨论的问题简化和明确一下：明确一下：na)a)设板间流体为不可压缩的牛顿型流体，其设板间流体为不可压缩的牛顿型流体，其密度密度 和粘度和粘度 0 0为常数。为常数。nb) b) 设板间距设板间距H H 远远小于板的几何尺寸（长度远远小于板的几何尺寸

32、（长度和宽度），于是边缘效应忽略不计。设板间和宽度），于是边缘效应忽略不计。设板间流体的流速只有流体的流速只有v v x x分量不等于零，分量不等于零，v v x x也只有也只有沿沿y y方向的速方向的速n度梯度分量度梯度分量 不等于零。不等于零。yvx高分子材料流变学第五章 输运过程的基本方程及基本流动形式374.4.平行板间的等温拖曳流平行板间的等温拖曳流 和管道中的压力流和管道中的压力流nv v x x向的速度梯度分量不等于零。向的速度梯度分量不等于零。nc) 物料在板壁上无滑移。该假定称壁面无滑物料在板壁上无滑移。该假定称壁面无滑移假定。移假定。nd)流体与外界的热交换只通过两块大板进

33、行，流体与外界的热交换只通过两块大板进行，即热流矢量只有即热流矢量只有qy分量不等于零。分量不等于零。ne)设流体内压力设流体内压力p为常数；重力和惯性力忽略为常数；重力和惯性力忽略不计。不计。高分子材料流变学第五章 输运过程的基本方程及基本流动形式384.4.平行板间的等温拖曳流平行板间的等温拖曳流 和管道中的压力流和管道中的压力流高分子材料流变学第五章 输运过程的基本方程及基本流动形式394.4.平行板间的等温拖曳流平行板间的等温拖曳流 和管道中的压力流和管道中的压力流n由上述简化假定，输运过程基本方程得以大由上述简化假定，输运过程基本方程得以大大简化，得到：大简化，得到：n连续性方程：连

34、续性方程： n （5-405-40）n运动方程：运动方程：x x方向方向 （5-415-41）n y y方向方向 （5-425-42）0 xvx0yyx0 xxy高分子材料流变学第五章 输运过程的基本方程及基本流动形式404.4.平行板间的等温拖曳流平行板间的等温拖曳流 和管道中的压力流和管道中的压力流n 能量方程：能量方程： （5-435-43）n而热流矢量等于而热流矢量等于 n （5-445-44）n代入得到：代入得到： n （5-455-45）0yvyqxyxyyTkqy022yvyTkxyx高分子材料流变学第五章 输运过程的基本方程及基本流动形式414.4.平行板间的等温拖曳流平行板间

35、的等温拖曳流 和管道中的压力流和管道中的压力流n上述方程联立得到一个方程组，但该方程组上述方程联立得到一个方程组，但该方程组并不完备。为了求解，还必需采用所研究的并不完备。为了求解，还必需采用所研究的流体对象流体对象牛顿型流体的本构方程：牛顿型流体的本构方程：n n （5-465-46）yvxyx0高分子材料流变学第五章 输运过程的基本方程及基本流动形式424.4.平行板间的等温拖曳流平行板间的等温拖曳流 和管道中的压力流和管道中的压力流n和必要的边界条件。在本问题中，边界条件和必要的边界条件。在本问题中，边界条件为：为：n n （5-475-47）n n上述方程组合在一起，构成一个定解问题。

36、上述方程组合在一起，构成一个定解问题。通过简单的运算，容易求得流体在两块无限通过简单的运算，容易求得流体在两块无限大平板间等温拖曳流中的速度分布和温度分大平板间等温拖曳流中的速度分布和温度分布：布： WyyxTTv000WHyHyxTTvv0高分子材料流变学第五章 输运过程的基本方程及基本流动形式434.4.平行板间的等温拖曳流平行板间的等温拖曳流 和管道中的压力流和管道中的压力流n得流体在两块无限大平板间等温拖曳流中的得流体在两块无限大平板间等温拖曳流中的速度分布和温度分布：速度分布和温度分布： n n （5-485-48）n以及流体内的剪切应力以及流体内的剪切应力 ，可见，可见，该剪切应力

37、等于常数值。该剪切应力等于常数值。)()(222000yHyHvkTTHyvvWxHvyx/00高分子材料流变学第五章 输运过程的基本方程及基本流动形式444.4.平行板间的等温拖曳流平行板间的等温拖曳流 和管道中的压力流和管道中的压力流n 图图5-5绘出流场内的速度分绘出流场内的速度分布和温度分布图。由图知，布和温度分布图。由图知，在无限大平行板间的等温在无限大平行板间的等温拖曳流中，速度分布为线拖曳流中，速度分布为线性分布，即速度分量性分布，即速度分量v x沿沿y方向线性变化；而温度分方向线性变化；而温度分布为抛物线分布，在流道布为抛物线分布，在流道中央中央y=H/2处温度最高，接处温度最

38、高，接近两板处流体温度与板的近两板处流体温度与板的温度相等，等于温度相等，等于TW 。 高分子材料流变学第五章 输运过程的基本方程及基本流动形式454.4.平行板间的等温拖曳流平行板间的等温拖曳流 和管道中的压力流和管道中的压力流n流道中央物料温度升高的原因是由于粘性流流道中央物料温度升高的原因是由于粘性流动耗散外部能量所致，因此在流动中两块大动耗散外部能量所致，因此在流动中两块大板要保持预先设定的温度不变，必须加以冷板要保持预先设定的温度不变，必须加以冷却，将热量导出流体。这也提醒我们在实际却，将热量导出流体。这也提醒我们在实际加工中，机筒内物料的真实温度要比加工设加工中，机筒内物料的真实温

39、度要比加工设备的设定温度高许多，要注意防止物料备的设定温度高许多，要注意防止物料“烧烧焦焦”。高分子材料流变学第五章 输运过程的基本方程及基本流动形式464.4.平行板间的等温拖曳流平行板间的等温拖曳流 和管道中的压力流和管道中的压力流n5.2 圆形管道中的压力流圆形管道中的压力流 n管道中的压力流存在于许多高分子流变测量管道中的压力流存在于许多高分子流变测量仪器和高分子材料加工过程中，比如毛细管仪器和高分子材料加工过程中，比如毛细管流变仪、熔融指数仪、挤出机口模、注射模流变仪、熔融指数仪、挤出机口模、注射模具流道中。按管道截面形状不同，又分为圆具流道中。按管道截面形状不同，又分为圆形管道，矩

40、形管道，异形流道等多种。物料形管道，矩形管道，异形流道等多种。物料在管中流动，是因为管道两端存在压力差，在管中流动，是因为管道两端存在压力差，因此称压力流。又称因此称压力流。又称Poiseuille流动。现在流动。现在以圆形管道为例，讨论流体在压力作用下的以圆形管道为例，讨论流体在压力作用下的流动情况。流动情况。高分子材料流变学第五章 输运过程的基本方程及基本流动形式474.4.平行板间的等温拖曳流平行板间的等温拖曳流 和管道中的压力流和管道中的压力流n设管道内径为设管道内径为R R，长，长度为度为L L，在管道内取，在管道内取柱坐标系（柱坐标系（r r，z z）如图如图5-65-6所示。物料

41、所示。物料沿沿z z方向流动，在不方向流动，在不同半径同半径r r处物料流速处物料流速不等，故不等，故r r方向为速方向为速度梯度方向；度梯度方向；方向方向为中性方向。为中性方向。高分子材料流变学第五章 输运过程的基本方程及基本流动形式484.4.平行板间的等温拖曳流平行板间的等温拖曳流 和管道中的压力流和管道中的压力流n同样，对流动情况作适当的简化假定：同样，对流动情况作适当的简化假定：n1)设物料为不可压缩的遵循幂律方程的非牛设物料为不可压缩的遵循幂律方程的非牛顿型粘性流体。顿型粘性流体。n2)设管径设管径R管长管长L；流速只有；流速只有z分量分量vz不等不等于零，于零，vz也只有沿也只有

42、沿r方向的速度梯度分量方向的速度梯度分量n 不等于零。物料在管壁无滑移。偏应力不等于零。物料在管壁无滑移。偏应力张量中只有张量中只有 。0rzzrrvz高分子材料流变学第五章 输运过程的基本方程及基本流动形式494.4.平行板间的等温拖曳流平行板间的等温拖曳流 和管道中的压力流和管道中的压力流n3)3)管壁温度为恒温管壁温度为恒温T TW W ；流体与外界的热交换；流体与外界的热交换只通过管壁进行，即热流矢量只有只通过管壁进行，即热流矢量只有q q r r分量分量不等于零。温度场不随时间变化。不等于零。温度场不随时间变化。n4)4)设流体内压力设流体内压力p p沿沿z z方向有梯度，压力梯度方

43、向有梯度，压力梯度n n 为常数。重力和惯性力忽略不计。为常数。重力和惯性力忽略不计。zp高分子材料流变学第五章 输运过程的基本方程及基本流动形式504.4.平行板间的等温拖曳流平行板间的等温拖曳流 和管道中的压力流和管道中的压力流n由此可以得到输运过程基本方程的简化形式。由此可以得到输运过程基本方程的简化形式。n注意本例中我们采用的是柱坐标系，由于坐注意本例中我们采用的是柱坐标系，由于坐标基矢量的不同，输运过程基本方程的显式标基矢量的不同，输运过程基本方程的显式在不同坐标系中也不相同。具体到本例中，在不同坐标系中也不相同。具体到本例中，其简化形式为：其简化形式为：高分子材料流变学第五章 输运

44、过程的基本方程及基本流动形式514.4.平行板间的等温拖曳流平行板间的等温拖曳流 和管道中的压力流和管道中的压力流n连续性方程：连续性方程： （5-49）n n运动方程：运动方程： z方向方向 （5-50）n n能量方程：能量方程： （5-51）n其中热流矢量等于其中热流矢量等于 （5-52）0zvzrzrrrzp101rvrqrrzrzrrTkqr高分子材料流变学第五章 输运过程的基本方程及基本流动形式524.4.平行板间的等温拖曳流平行板间的等温拖曳流 和管道中的压力流和管道中的压力流n 同样引入所研究的流体对象同样引入所研究的流体对象幂律流体的本构方幂律流体的本构方程：程：n （5-53

45、）n和边界条件。和边界条件。n在本问题中，边界条件为：在本问题中，边界条件为：n n （5-54）nzrzrvKWRrRrzTTv00000rrzrTrv高分子材料流变学第五章 输运过程的基本方程及基本流动形式534.4.平行板间的等温拖曳流平行板间的等温拖曳流 和管道中的压力流和管道中的压力流n解上述方程定解问题，得到幂律流体流过圆管的压力解上述方程定解问题，得到幂律流体流过圆管的压力 流场中的速度分布和温度分布：流场中的速度分布和温度分布： n （5-555-55）n n n （5-565-56）n式中：式中：k k为流体的导热系数，为流体的导热系数，K K为幂律方程的系数，为幂律方程的系数，n n为为非牛顿指数。（非牛顿指数。（5-555-55） nnnnnnzRrRnnzpKv11111121nnnnnnnWRrRnnzpKkTT1313211113411高分子材料流变学第五章 输运过程的基本方程及基本流动形式544.4.平行板间的等温拖曳流平行板间的等温拖曳流 和管道中的压力流和管道中的压力流n式中出现负号的意义是物料总是沿着压力下式中出现负号的意义是物料总是沿着压力下降方向流动。降方向流动。n讨论：首先