复变函数的导数与解析函数1

1、第 九 节复 变 函 数 的 导 数与 解 析 函 数一、复变函数的导数与微分,)(0的邻域内有定义在点设函数zzfw ,)(,)()()()(,0,000000的导数在点则称此极限为函数的极限存在比值时趋于即当时趋于若当zzfzzfzzfzzzfzfzwzzz1 1、复变函数的导数、复变函数的导数.)()(lim )()(limlim)(),(000z000z000zzfzzfzzzfzfzwzfzfzz即记为2 2、复变函数的微分、复变函数的微分,)(0可导在点设函数zzfw |).(|)( ),(lim000zzozzfwzfzw即于是z.)(d,)( ).(dd,)(z)(0000zf

2、wzzfzfwzzfwzf即可微在点此时也称或记为处的微分在点为称3 3、复变函数可导与可微的关系、复变函数可导与可微的关系4 4、区域内可微、区域内可微若函数若函数 在区域在区域 D 内的每一点都可微，则称内的每一点都可微，则称在在 D 内可微内可微. ( )f z( )f z例例1. 求求 ( 为正整数为正整数 ) 的导数的导数. nf zzn 解：解： 00limlimnnzzfzzfzzzzfzzz 122101limnnnnznnzC zzznz 1nnznz 00lim limzzf zzf zzzzzz 000limlim1xyyxi yi yxi yi y 而而000limli

3、m1yxxxi yxxi yx 例例2可导必可导必连续连续,连连续不一续不一定可导定可导000limlimzxyzxi yzxi y 7:求导公式 0C 1nnznz f zg zfzgz 2( )(0)fzfz g zfzgzg zg zgz ( )( )f z g zfz g zf z gz ( ( )( ( )f g zfg z gz 二、解析函数及其简单性质.)(,)(,)( 内解析在区域或称内的解析函数区域为则称内可微在区域若函数DzfDzfDzfw 1 1、解析函数的定义、解析函数的定义.)()(内的奇点在内不解析的点为在称DzfDzf.)()(平面上处处解析在为正整数znzzfn

4、2 2、解析函数的简单性质、解析函数的简单性质(1)(1)四则运算四则运算(2)(2)复合运算复合运算.,z;函数的奇点而分母为零的点就是该处处解析平面上除分母为零的外有理函数在平面上处处解析多项式函数在z.,0z1)(:其余点处都解析为奇点平面上以在例zzzf三、Cauchy-Riemann条件 000000000,limxu xx yiv xx yu xyiv xyx 000000000,limxu xx yiv xx yu xyiv xyx uvixx 00000000000,limyu xyyiv xyyu xyiv xyi y uvxyvuxy vuiyyC.R.条件条件2 ( ),

5、 ( ,), ( ,)1,0,0,1,f zzxiy u x yx v x yyuuvvuvvuxyxyxyxy 如如例例中中 ，定理定理1 （可导的必要条件）可导的必要条件）例例3( )ReIm,f zzzxy 0( ,0)(0,0)(0,0)lim0(0,0)xyxu xuuvx 证明：证明：0(0, )(0,0)(0,0)lim0(0,0)yxyuyuuvy ( , ), ( , )0u x yxy v x y 00limzfzfz 不不存存在在 2(1)00()0limlim(1)1zkixxkxkfzfzkixki 例例 3 说明说明CR 条件不是复变函数可导的充分条件。条件不是复变

6、函数可导的充分条件。 定理定理2 （可微的充要条件）可微的充要条件）,uuvvxyxy在点在点00(,)xy处连续。处连续。(得到推论得到推论 1) 推论推论1 （可微的充分条件）可微的充分条件） 0012()()()()f zzf zui vaibxi yixi y 122122220000lim0, lim0()()()()xxyyxyxyxyxy 而而 0000()(lim0)zfzzfzfzzz 0000()limzf zzf zfzz 1221()a xb yxyi b xa yxy 1221ua xb yxyvb xa yxy 由定理由定理2即得：即得：定理定理3 （解析的充要条件

7、）解析的充要条件）,uuvvxyxy在在 D 内连续内连续。(得到推论得到推论 2) 推论推论 21( )(cossin)xf zeyiy （）( )(cossin )( )xxxfzuiveyiyf z 解：解：( , )cos , ( , )sinxxu x yey v x yey ，cos ,sin ,xxxyuey uey sin,cosxxxyvey vey 2( )f zxyixy （ ）( , ), ( , )u x yxy v x yxy ，解：解：1,1,xyxyuuvy vx 23( )f zxiy （）2( , ), ( , )u x yx v x yy ，解解:2 ,0

8、,0,1xyxyux uvv 11(),()22xzzyzzi 111()()()()2222xxyyxyyxiuivuivuvuvi证明证明: wwxwyzxzyz 0wz 四、调和函数四、调和函数21( )( )2xxxxC 解：解：222211( )(2)22f zuivxyxyixyyxC 2122( )2yxvuxyvxyyx ( )112fiiC 22( )2xyvuyxyxyx 2211222vxyyxC 222(1)22iizzCizCi 2( )(1)22iif zz 五五. 初等函数初等函数1. 1. 指数指数函数函数(cossin )zxweeyiy10,2(0, 1,

9、2,)zxzeeArgeykk （）性质：性质：11212122(3),zzzzzzzzee eeee注意注意：2.2.三角函数三角函数i-ii-ie -eeesin, cos2i2zzzzzz 性质：性质：22sincos1zz ， 121221sin()sincossincoszzzzzz， 121212cos()coscossinsinzzzzzz3. 3. 对数对数函数函数LnlniArglni(arg2)wzzzzzk ,2lnln,Arg )urevkurzvz 说明：说明：lnlnargzziz Lnz的主值支的主值支 Lnln2 (1, 2,)zzk ik ln( 1)ln1arg( 1)Ln( 1)ln( 1)2(21)iiikki 如如性质：性质：33Lnln(arg2)wzzizk 解解:5( )ln(arg2)(2)22w iiiikiki 1k 3( 2 )ln2(arg( 2 )2 )ln22wiiiii344.4.幂函数幂函数(lniArg )Ln(ln2i)eezzzzkwze 0, 1, 2,)k （ （0,z 为复数为复数） 性质：性质：351()zz (ln 1( 1)( 1)(1)1iiArgiiLnee （）解：解：2(lniArg( )222 ieiiLnie （）(21) i(21)0, 1, 2,)ikkee