典型例题极限与连续的62个典型习题

1、极限与连续的62个典型习题习题1设 ai0, i1,2, ,m，求 lim (a1nn na21 amn)Mmax aia，,am,则有/ n (a1na21 amn)n1(an)n a,lim a a.n另一方面(a/na21 amn)n1(man)n a1 (m)7.因为lim n1 mn1(lim n m)n1,故lim n1 mna.利用两边夹定理，知lim (a1 nna21n ; am )n其中max a1,a2, am.例如lim (1 n3n15n 9n)n9.习题lim ( n22 n n-). nn(n 1)2(n22n)n(1 n)22(n n 1)lim nn(1n)2

2、(n2 2n)lim n2nlim n1n4 nlim nn(1 n)22(n2n 1)lim n利用两边夹定理知lim(1n n n 12n2 n 2习题3求lim（ n 1解 lim (nlim (1 nlim(1 n1n(n 1)n 1)ni）lim (1 nlim (1 nlim(1 n(n 1)L1lim (1 n)1习题4求 limL4xx 1 1mx(m,nN).解（变量替换法）令原式tim*tim(12t)(1 t ttmt)(1t t2习题5求lim (x解（变量替换法）1)x令t,x,t1) (1 322 3(-nfnn 11时，t1)tn 1)(11.于是,t2 , 原式

3、lim(；)tt t2 11 t 1lim (1 -)(1-)tim(1 tim(1 -)1(1 t)1te0 1 .习题6求lim(x 0x2 ex)1sin x（1 型）。为了利用重要极限，对原式变形lim (x o3 ex1,n2)sinx lim(-lim(1 x oxx ox 2 x1 x e )177x2 xx 1 x ex2 xx1 e x 1尸)sin xsin x1 lim(1 -x ox 2 x x x 1x e : x ：人 d 1 x e 2 x sinx2 xe22习题7求!im0“1 x”21x 2.解原式x2)(,1 x 1 x 2)x2(, 1 x ,1x2)1

4、 lim x 0x2(,1x 21 x2 4x . 1 x 2)2(1 x2 1)x2(、.1 x 1 x 2)(. 1x21)_2x 2)(. 1 x2 1)习题limx寸4x2 6x 5 解3x 2.由于limx4x2 6x 53x 2lim6542x x3 - x而limx.4x2 6x 53x 2limx2/65、X (42)x xx(3 2)xlimx651x1(4 * *2)x(3 2) xlimx65(42 )x x(3 -) x23limx.4x2 6x 53x 2limxlimxw不存在。习题9研究下列极限原式lim 1 sin x ,(1) lim其中lim 1sin xx

5、于0,即lim xxsin x 0 x0,|sinx| 1.上式极限等limx 0x1x sin 一.x因为1|sin-| 1 ,xlimxx 00,所以limx x 0(3)lim x sin-.原式 limx.1 sin一 x Txlim1 0x.1 sin 一x.1 sin 一x iT x0.1.习题10计算lim (x1产,(a0,a1).解原式lim°a(1xax)a lim(1x xa )1 axa xa limn(1x 0xax)1xxalim aae.习题11x 1 limx 1 x 1In xln xe 1 limx 1 ln xln xx 1习题12解首先原式习题

6、习题limln x 0ln x e已知lim x2x 11 limln x(x1) 0ln1x(x 1) 11limx ，bx132 x I - 1c)(x 1)而b (1bx c1 xlimx 1c)(x(1F列演算是否正确?21x sin 2 lim-0 sin x.1lim x x 0 0 sin xx15,0,c)6)求b,c的值。二 b7.,1 csin 0.有小5,14求 lim (sin &1 sin Jx ). x解原式lim 2 sin xx 1- x x 1 xcos12 lim sin x 2( . x 1cos.x)0.习题15求limxVx2- sin x2x

7、 1limx3 1_x_ 01| sin x2| 1 ,原式=0.习题16证明lim (xm)kxk(m n) e（m,n,k,b 为常数）。x m kx lim ()x x nx n lim (xi (m n)kx b x n(令,工)x n ylim (ym)kx b nlim (1 ym n)k(y n) bylim(1yn k(m一)yyn) k nm nlim(1yn) lim(1ym n)ye"m n)ek(m n)习题173lim(1 sin x)x.x 01 3sin x解原式lim (1 ( sin x) sin xx 0习题18ln x ln a水 lim连续性法

8、）原式 limlim ln1x alnx aa 1x a ax - lim ln(-)xa x a aln lim (1x axa、T7x aa1ln ea-lne a1习题19试证方程x asinx b (其中a 0,b 0)至少有一个正根，并且它不大于a b.证 设f(x) asinx b x,此初等函数在数轴上连续，f(x)在 0,a b上必连续。: f(0) b Q 而f (a b) asin(a b) (a b) b asin(a b) 1 0 若 f(a b) 0 , 则a b就是方程x asinx b的一个正根。若f(a b) 0,则由零点存在定理可知在(0,a b)内至少存在一

9、点 (0,a b),使 f( ) 0.即 asin b.故方程 x asinx b 至少有一*正根，且不大于 a b.1习题 21 求 lim(cosx)1.x 0解 原式 lim0 1 (cosx1:11 ) cosx 1 1习题20设xn满足xn 0且lim -xn- r 1.试证limxn nnxn 10.证 lim9r 1,取 0, n,使得当n N时有 nxn 12xnrxn 1J,即0旦 2xn 1亦即0r 1xnxn 1,2r 1,r1、2,r1、nN于ZE递推信 0 xn xn 1(-) xn 2 . () Xn222lim (r一1)n nXn0,从而由两边夹准则有limxn

10、0.n 2n习题22用定义研究函数f(x) 盗 x 0的连续性。0x 0证首先，当x 0, f(x)业q是连续的。同理，当 xx 0, f(x) 0也是连续的。而在分段点x 0处lim f(x) lim 0 0 f (0), x 0x 0lim f (x) lim 1 x-10 f (0).x 0x 0 x所以 lim f (x) f (0).故 f(x) C( x 0习题23lim n135 (2n 1)1求证 n2 4 6 2n证.磊n8n1,而1.由两边夹定理知,11111 d 1lim n lim nlim n lim 1 -n 2n n . 2 n. n n 2 n n n 1原式成

11、立.习题 24 设 F(x,y) fV,W) f y 5.任取 “ 0，记x1 F (xo,2xo),., xn 1F(xn,2xn),.试证lim xn存在，并求极限值。证F(1,y)当1)12一(y x) 29,2f(y 1) (y 1)9,f(yx)(yx)29.x1(2x0 x。)2 9 x2 92x0-一 ,x2 2x02x12x19-,., xn要.由于xn 1 J (% 旦) 2xn9°xn 3xnxn 1xn192(1婷19(1)1232xn 1 xn.故xn单调有下界，故有极限。设lim xnA,/n由Xni x2-9A At3解出A 3(舍去A 3)。2xn2A习

12、题 25 设 xo 0,Xn 1 1 /n,n 1,2,，求 limxn. 1 Xnn解显然X0 0, Xn1 12. Xn有上界2,有下界0.1 XnX1 X0 1 上 X0 1 X %，当 0 X0 心时1 X01 X021 X0 Xo 0,即 X1 X0,假设 Xn Xn 1,则Xn1 Xn 4”n10.故Xn单增。lim Xn1 Xn 1 Xn 1 (1 Xn)(1 Xn 1)n存在。设 lim Xn A,则由 lim Xn 1 1 lim Xn 得 a 1 A ,即nnn 1 Xn1 AA2 A 1 0, A 3 (舍去负值)。当X。3时，有为X。 22用完全类似的方法可证4单减有下

13、界0 ,同理可证-15lim Xn .n2习题26设数列Xn由下式给出X1 2, Xn 1 2 ,n 1,2，求Xnlim Xn. n解4不是单调的，但X2n1单增，并以3为上界，故有极限。设limX2n1 B.8n单减，并以2为下界，设lim x2n C.在等式 nnXn1 2工两边按奇偶取极限，得两个关系B 2 -,C 2工，XnCB解出B C.由于的奇数列与偶数列的极限存在且相等，因此 4的极限存在，记lim xn A于是limxn1lim （2工）.故有A 2 ,nnnxnA解出A 1 J2,（舍去负值1 <2 ）习题27设 0, xn i &二，试证xn收敛，并求极限。

14、 xn 1证 显然xn。，假设lim xnA,则由xn 1 xn-2令nnxn 1A 2 （舍去 2）。下面证明xn收敛于石.由于xn闽阕，递推可得xn的（在1）2xnV2. «r2 1)n1 x172lim «12 1)n 1 0.由两边夹可得 nlimnxnV2。.故 lim xnJ22 .、习题28设6f (t) 0, fn 1(t)一p.试证1fn2(t)(1) t,lim fn(t)存在；(2)当 f(t) 1 时，limfn(t) 1;当 f(t) 1 时, nnlim fn(t)0；n证 n,显然有 fn(t) 0,又 fn1(t) fn (t)fn(t)fn

15、(t)2 10.1 fn (t)t, fn(t)单减有下界。 收敛。令lim fn(t) F(t),在原式两边取 n极限得F(t) 2F (t) .由此可解出F(t) 0或F(t) 1.当f(t) 1时，1 F2(t)2 2f2(。一乎 一q 1.归纳假设 fk(t) 1,则 f；(t) 1, 而 1f12(t)2f 2(t)fk1(t)2 fk2(t)红& 1, n ,有 fn(t) 1. 因止匕 f(t) 1 时1f：(t)2f：(t)F(t) 1.即 lim fn(t) 1,(f(t) 1 时)。 n当f(t)1时，由M的单减性便知即当F(t)。时，即lim fn(t) n0 (

16、当 f(t) 1 时)。习题291lim(-cosx)sinxsin2xlim (-x 0 cos2xx 0 121 sin x- 2 _sin 2x1)2sinxsin2x习题30xn习题11(1 sin2 x产砂lim -1x 0n2 ( cosx)(1 sin22x)sin2x若%收敛，则lim2收敛，设lim nB,n 1,2,因止匕031 求 nim M变量替换求极限法1e11 e3e4.xnA故2必有界(0(xn)nn!(为求lim F(x)，有时可令x a习题32求lim1 x) x解令(11x)Bn 吊 Bn,而n!n!0,lim竽0.(1 lim x 01 x)xyim0yl

17、imm1 x0)(y),而 F(x)F (y)(为自然数)因此(y 1)1lim17y 0 yc1y 1c 1y 1 1习题33求lim2x 0x2解令mix 1 y, x (y 1)m 1,且当 x0时y 0,故原式i1my (iy)yimom(y i)m i2习题 34 求 lim n2(Va n；a), a 0. n解 先求 lim x2(va x;a),令t,则上式limt 0limt 01 ata1 tt2 ln a1 tt2t2.t 1 a 17lim a 2t 0 t2lna.故原式1 lim 一 t 0In a.exp( X-lna)t1用等价无穷小替换求极限习题 35 求 l

18、im 1 n'cOsn(n ).02解记 x n； cosn，则x1 (0).lim0122(n )n 1 x ) n 1 x )lim1 0 I nI x2 nlim01 cosnnn (当u0,1 cosu1u2)22习题36设f(x)与x是等价无穷小，f(x) x,求证(1) lim f(x)x 1； lim f)-x- 1.x 0x 0 f(x) x证 f (x) x,即 f (x)1 (x 0),-f-(-x) 1(x),xx其中(x)0,当 0,即 f(x) x1(x)(当 x 0).故limf(x)xlim xx1(x)xlim xx lim 1(x)xx 0x 0x 0

19、 x 01 lim 1x 0-L- x (x)(x) (x)e01.limx 0f(x)x f(x)limx 0f) xln-f(x)xx e1 _xln3 f(x)limx 0limx 0ln elimx 0 f(x)xx Inxln x elimx 0x,f(x) x lnx_f(x) xlimx 0习题g(x)理,f(1 ln xTlim e xlim0xlnU2 e xx 0x lnlimx 0f(x)xx In f(x)ln1 f(x) xf(x)xxlimf(x)x xxx 0 f (x) x1 ln- lim , x ：01xlim xlnf±2xxln xf(x) x

20、xln lim 1x 01.1.xlnU2x 1xlim x 0 f(x) xxf(x) X76 x1.ln1In e37 设 f (x) C0,n,n1 0,n,使 f( ) f(分析(n1).f(x 1)0m科g(i),n 1i 0gn i 0知1) f(f (x)有根2)为自然数,0, n,使 f(令 g(x)f(x 1)是 g(i)f(i 1)M °max1g(i)，则n 1M,又 i 0g(i)f(n) f(0)0,n).1，使9(n 1ni 0gf(x) xx1.f(0) f(n).试证f( 1).即要证f(x),显然在0,n 1f (i),i 1,.,n 1. 记0.对

21、函数g(x)应用介值定0,即存在1 0,n 1,使习题38设f(x) Ca,b,且a c d b,证明a,b,使()f( ) f(c) f(d).证(分析：将结果变形f( ) f)咧)记 m minf(x), M maxf(x),则 m f(x) M ,x a,b x a,bx a,b于是( )m f(c) f (d) ( )M或 m f(c) f(d) m由介值定理知a,b,使 f( ) f-()f),即()f( ) f(c) f(d).习题 39 设 f(x) C(,)且 ff(x) x.证，使 f().证 反证法。若不存在点 使f().即x (,)均有 f (x) x. f(x)连续，不

22、妨设恒有f (x) x.于是ff(x) f (x) x.此 与ff(x) x矛盾。故，使f().习题40设f(x) C(a,b)且f (x) 0.又a x1 x2xn b,证明至 少有一点 (a,b),使£( ) V f (%) f仇)f区).证 f(x) C(x1,xn),故f(x)在x,xn上有最大值M和最小值m,使 0 m f (xi) M ,i 1,2,., n.于是 m n/f (x1)f (x2)f (xn) M 由介 值定理，知x1,xn (a,b),使 f( ) y f (x1) f (x2).f (xn).习题41证明方程x 2x 1至少有一个小于1的正根。证设 f

23、(x) x 2x 1,显然 f(x) C0,1,但f (0)1 0, f(1) 2 110,x0 (0,1),使 f(x0) x0 2x0 1 0,即方程x2x 1至少有一个小于1的正根x0存在。习题42设f(x)limn2n 12x ax2n Xbx连续,求 a, b.x 1-, x 1 xx 1x 1-2.ax bx,1a b-2n 2 2nlim n /1解 f(x)1 /1 a b2 ,1 a b, 2故 f(1 0) 1, f (1 0) a b, f ( 1 0) a b, f( 1 0)1.由于 f(x)在= 1,-1处连续，所以a b 1 a 0,b 1.a b 1习题43试证

24、方程xexx cosx至少有一个实根。2证做函数f (x) xex x cos - x.显然2f (0)1 0, f (1) e 1 0,(0,1)，使 f() 0.即 xex x cosx 在2(0,1)内必有实根。习题44求f(x)上的连续区间。 x x(解：先改写为分段函数，结论为：(，0) (0,1) (1,)习题45求b为何值时，函数f(x) x20x2在0,3上处bx2,2x3处连续。只需讨论分段点处的连续性：f(2 0) lim (x2 1) 3 f (2), x 2f (2 0) lim (bx 2) 2b 2 f(2),要在 x 2 处连续，必有 x 252b 2 3, b

25、.2习题 46 设 a0, x10 定义xn11(3xn马,n1,2,求 limxn4 xnn解xn 1va.5有下界va.即n N,有xn也.又2 1(3 J) -(3旦)1,即xn单减有下 xn4xn4 a界，故有极限。设lim xn A且A 4ia 0.有lim xn - lim(3xn4有 nn4nxnA (3A 3) A a a4A3(舍去负根)(注意：先证明极限的存在是必要的。)习题47设a0,x1Va,x24a弋aJax1,., xn1Jaxn,.n 1,2,.求limxn. nj(解：4单增有上界1 可解出极限A 1 I 4a )习题 48 设 f(x) C0,1,且0 f(x

26、) 1,证明0,1,使 f()证 若f(0) 0,则取0.若f(1) 1,则可取 1. f(0) 0, f1,则令g(x) f(x) x,必有g(x) C0,1且g(0) g(1) 0,由零点定理知(0,1)，使 g( ) 0,即 f()习题49 (选择题)设f(x), 3在(，)内有定义，f(x)连续且 f (0) 0, (x)有间断电，则(A)f(x)必有间断点，(B) (x)2必有间断点，(C) f (x)必有间断点，(D) 3 必有间断点.f(x)解选D (A)因f(x)的值域可能很小(B)反例(x)1, x 0而(x)2 1无间断点。0,x 0(C)(x)总有定义。习题50证明方程x

27、 asin x b (a 0,b 0)至少有一个正根，且 不超过a b.证 设 f(x) asin x b x, f (x) C(,), f (x) C0,a b, 而f (0) b 0, f (a b) asin(a b) b (b a) asin( a b) 1 0.如果f(a b) 0，则a b即为f(x)的零点.如果f(a b) 0,则由介值定理知(0,a b),使f() 0,即 为所求，故原命题成立.习题51若函数f(x)可以达到最大值和最小值，求证 max f(x) min f (x).证 设 min f (x)f (Xo)，则 对任意 x有f (x)f(x0),或 有f (x)

28、f(x0)( min f (x).由x的任意性，可知max f(x)f(x0)min f (x).习题52设f(x) Ca,b且恒大于零，证明 ,在a,b上连续. f(x)证 任取 a,b由于f(x)在Xo处连续且大于 0,1 0,使当x x0 1,时(若Xo a为左端点，则应为0 x a 1,类似处理 Xo b)有，1，f(X) -f(Xo) 0 (*)20,对f 2；X0)，可找到 2 0,使当|x %2,时有f(x) f(X0)f2(X0)2(*)取 min i, 2，则当x x0|时，有1211|f (x0) f (x)| |f (x) f (x0)|2 f (x0)f(x)“xOf(

29、x)f(x0)1f(x0)2小(址)2故知，在x x0处连续。由x0的任意性，知,在a,b上连续. f(x)f(x),1c习题53设f(x) x sinx，x 0，试讨论f(x)在x 0处的连续性. ex , x 0,解 f(0) 1，而f(0 0) 1,10,0f (0 0) lim x sin .x 0 x 不存在，0当0,1时，f(x)在x 0处连续，当0,1时，x 0为f(x)的跳跃间断点(第一类间断点).当0,时x 0为第二间断点。f(x)在x 0处5ex cosx, x 0习题54设函数f (x) sin2xn问当, x 0tg x连续。解f (0) 5 1 4, f (0 0)

30、4, f (0 0) limx 0当 f(0-0) f (0 0) f(0),即 2 4,sin 2x 2x 2 lim .tg x x 0 x1时，“刈在乂 0处连续。 2习题55求函数f(x)上的间断点，并判定其类型.sin x解因当x n (n为任一整数)时，sin x 0, x n是f(x)的间断点。再细分，当n 1时，lim 上 ,不存在，故除1处的x n sin x任何整数都是f(x)的第二类间断点。因2tcos tsinx2 1 x t 1 t2 2tt2lim lim () lim (x 1 sin x t 0 sin (t 1) t 0 sin t cos!叫(t2sin t

31、2tsin t2x2 12,hJ理 lim x 1 sin x亦即x 1是f(x)的第一类(可去)间断点.xLAx 0习题56求函数f(x)8s万x的间断点并判定其类sin -, x ox 4型。解 f(x)的分段点为x 0. lim f (x) lim 必一x) 0.x 0x 0cos- x 2lim f(x) lim sin -2 sin( )-. x 0是 f(x)的第一，类 (跳x 0 x 0 x 442跃)间断点。当x 0时，f(x) xR,在点cos- x 2x 1, 3, 5,., (2k 1),.(k 0,1,2,.)处， f(x)无意义， 故x 1, 3, 5,., (2k

32、1),.是 f(x)的间断点。因为u -(1 x)x(1 x) 2 u 2/2u 八lim f (x)lim lim - (1)x 1x 1u 0sinucos x22是第一类(可去)间断点。显然x 3, 5,都是极限为 的第二类间断点。当x 0时，f(x) sin:,在点x 2时，f(x)没定义, x 4故x 2是f(x)的间断点。又M2sin*,不存在,故为第二类间断点。习题57设函数f(x) C0,),且 lim f (xx1)f(x) A,试证lim g a.x x证因为连续，所以 a,b 0,),f (x)在a,b0,)上有界。又因为 limf(x 1)xf(x) A,所以0, Ki

33、,当x K1时，恒有数n使得n x K1f(x 1)f(x) AK11,则存在自然n 1 .记lx K1l 1,且 x K1 l n,于是f(K1 l) nAf(K1xl)2 A.下面估计上式右 x边三项的绝对值。(1)nr f (x) f(K1 l)Af(x) f (K1 l)f (K1 l n) f (K1 l)nf(K1i 1l i) f (K1 l1)Af(K1l i) f (K1 l1)1A n _n 3 3(2)因为f(x)在EM 1上有界，即 M 0,使f(x) M.故K2 3M,当x K2时，恒有f(Ki l)xMKI(3 )因为lim KA 0,故K3 0,使当x K3时恒有 x xUKA _.综合(1),(2), (3)0,取x3K max Ki 心,则当x K时，恒有& A , lim 4 A xx x习题68若(x)和(x)为连续周期函数，当 x 时，有定义，且 l