20XX年江苏省南通市高考数学四模试卷试题(含答案解析)

1、2020年江苏省南通市高考数学四模试卷 题号一二总分得分一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合A=x|-1x2，B=x|x0，则AB=_2. 已知复数（i是虚数单位），则z的共轭复数为_3. 执行如图所示的伪代码，则输出的S的值为_4. 从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）由图中数据可知身高在120，130内的学生人数为_5. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线（a0，b0）的两条渐近线的方程为y=±2x，则该双曲线的离心率为_6. 现有3个奇数，2个偶数若从中随机抽取2个数相加，则和是偶数的概率为_7. 已知

2、圆锥的轴截面是直角边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为_8. 给出下列三个函数：；y=sinx；y=ex，则直线（bR）不能作为函数的图象的切线_（填写所有符合条件的函数的序号）9. 如图，在平面四边形ABCD中，CBA=CAD=90°，ACD=30°，AB=BC，点E为线段BC的中点若=（，R），则的值为_10. 已知实数x，y满足（x+y-2）（x-2y+3）0，则x2+y2的最小值为_11. 已知f（x）是定义在R上且周期为的周期函数，当x（0，时，f（x）=1-|2x-1|若函数y=f（x）-logax（a1）在（0，+）上恰有4个互不相同的零点，则实数a的

3、值为_12. 已知正项等比数列an的前n项和为Sn若S9=S3+2S6，则取得最小值时，S9的值为_13. 在平面直角坐标系xOy中，已知A（x1，y1），B（x2，y2）为圆x2+y2=1上两点，且若C为圆上的任意一点，则的最大值为_14. 在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，S为ABC的面积若不等式kS3b2+3c2-a2恒成立，则实数k的最大值为_二、解答题（本大题共11小题，共146.0分）15. 已知函数f（x）=sin（x+）（0，|）的图象关于直线对称，两个相邻的最高点之间的距离为2（1）求f（x）的解析式；（2）在ABC中，若，求sinA的值16. 如图，在直三

4、棱柱ABC-A1B1C1中，ABAC，AC=AA1，D是棱AB的中点（1）求证：BC1平面A1CD；（2）求证：BC1A1C17. 如图，在宽为14m的路边安装路灯，灯柱OA高为8m，灯杆PA是半径为rm的圆C的一段劣弧路灯采用锥形灯罩，灯罩顶P到路面的距离为10m，到灯柱所在直线的距离为2m设Q为灯罩轴线与路面的交点，圆心C在线段PQ上（1）当r为何值时，点Q恰好在路面中线上？（2）记圆心C在路面上的射影为H，且H在线段OQ上，求HQ的最大值18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（ab0）经过点（0，），点F是椭圆的右焦点，点F到左顶点的距离和到右准线的距离相等过点F的直线l交椭圆

5、于M，N两点（1）求椭圆C的标准方程；（2）当MF=2FN时，求直线l的方程；（3）若直线l上存在点P满足PMPN=PF2，且点P在椭圆外，证明：点P在定直线上19. 设函数f（x）=x3+ax2+bx（a，bR）的导函数为f（x）已知x1，x2是f'（x）的两个不同的零点（1）证明：a23b；（2）当b=0时，若对任意x0，不等式f（x）xlnx恒成立，求a的取值范围；（3）求关于x的方程的实根的个数20. 对于数列an，若存在正数k，使得对任意m，nN*，mn，都满足|am-an|k|m-n|，则称数列an符合“L（k）条件”（1）试判断公差为2的等差数列an是否符合“L（2）条件

6、”（2）若首项为l，公比为q的正项等比数列an符合“L（）条件”求q的取值范围；记数列an的前n项和为Sn，证明：存在正数k0，使得数列Sn符合“L（k0）条件”21. 已知矩阵A=，B=B的逆矩阵B-1满足AB-1=（1）求实数x，y的值；（2）求矩阵A的特征值22. 在极坐标系中，圆C的方程为+2cos=0，直线l的方程为（1）若直线l过圆C的圆心，求实数m的值；（2）若m=2，求直线l被圆C所截得的弦长23. 已知实数x，y，z满足4x2+9y2+12z2=12证明：24. 如图，已知F是抛物线C：y2=4x的焦点，过E（-l，0）的直线l与抛物线分別交于A，B两点（点A，B在x轴的上方

7、）（1）设直线AF，BF的斜率分別为k1，k2，证明：k1+k2=0；（2）若ABF的面积为4，求直线l的方程25. （1）阅读以下案例，利用此案例的想法化简【案例】考察恒等式（1+x）5=（1+x）2（x+1）3左右两边x2的系数因为右边，所以，右边x2的系数为，而左边x2的系数为，所以=（2）求证：- 答案与解析 -1.答案：x|-1x0解析：解：集合A=x|-1x2，B=x|x0，AB=x|-1x0故答案为：x|-1x0利用交集定义直接求解本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2.答案：1-i解析：解：=，故答案为：1-i直接利用复数代数形式的

8、乘除运算化简得答案本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3.答案：17解析：【分析】本题主要考查了循环结构的程序代码，正确依次写出每次循环得到的i，S的值是解题的关键，属于基础题模拟执行程序代码，依次写出每次循环得到的i，S的值，即可得解输出的S的值【解答】解：模拟执行程序代码，可得S=3i=2，S=3+2=5i=3，S=5+3=8i=4，S=8+4=12i=5，S=12+5=17此时，退出循环，输出S的值为17故答案为174.答案：30解析：解：由图知，（0.035+a+0.020+0.010+0.005）×10=1，解得a=0.03 身高在120，130内的

9、学生人数为100×0.03×10=30故答案为：30由题意，可由直方图中各个小矩形的面积和为1求出a值，再求出此小矩形的面积即此组人数在样本中的频率，再乘以样本容量即可得到此组的人数本题考查频率分布直方图，解题的关键是理解直方图中各个小矩形的面积的意义及各个小矩形的面积和为1，本题考查了识图的能力5.答案：解析：解：双曲线-=1（a0，b0）的两条渐近线方程是y=±2x，=2，b=2a，c=a，e=故答案为：由双曲线-=1（a0，b0）的两条渐近线方程是y=±2x，可得b=2a，从而c=a，即可求出双曲线的离心率本题考查双曲线的离心率，考查双曲线的性质，

10、考查学生的计算能力，比较基础6.答案：解析：解：现有3个奇数，2个偶数从中随机抽取2个数相加，基本事件总数n=，和是偶数包含的基本事件的个数m=4，则和是偶数的概率为p=故答案为：从中随机抽取2个数相加，基本事件总数n=，和是偶数包含的基本事件的个数m=4，由此能求出和是偶数的概率本题考查概率的求法，考查古典概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力7.答案：解析：解：依题意，设圆锥的底面半径为r，已知圆锥的轴截面是直角边长为2的等腰直角三角形，所以2r=2，即r=，又因为圆锥的母线长为l=2，所以该圆锥的侧面积为rl=2故填2设圆锥的底面半径为r，依题意，2r=2，即r=，所以

11、该圆锥的侧面积为rl=2本题考查了圆锥的结构特点，圆锥的侧面积属于基础题8.答案：解析：解：的导数为y=-0，不满足题意；y=sinx的导数为y=cosx，由cosx=有解，可得满足题意；y=ex的导数为y=ex，由ex=有解，可得满足题意则直线（bR）不能作为函数的图象为故答案为：分别求得三个函数的导数，由导数的几何意义，解方程可得不满足题意的函数本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的运算，以及方程思想、运算能力，属于基础题9.答案：解析：解：如图建立直角坐标系：设AB=BC=t，则A（-t，0），C（0，t），E（0，），在RtCDA中，ACD=30°，CAD=60

12、6;，AD=AC=t，D的横坐标为：-（t+ADcos75°）=-（t+t）=-t，D的纵坐标为ADsin75°=t=t，D（-t，t），由=+得（t，t）=（-t+t，t）+（t，），t=（-t+t）+t，即+=1，t=t+，即+=1，联立解得=，=，=×=故答案为：建立平面直角坐标系后，设AB=BC=t后，用向量的坐标运算可得本题考查了平面向量的基本运算，属中档题10.答案：解析：解：实数x，y满足（x+y-2）（x-2y+3）0，如图所示可行域，由z=x2+y2结合图象，z可看作原点到直线x+y-2=0的距离d的平方，根据点到直线的距离可得d=，故z=x2+

13、y2=d2=2点（0，0）到x-2y+3=0的距离为：，故z=x2+y2=d2=x2+y2的最小值为：故答案为：画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解即可本题考查线性规划的简单性质，考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力11.答案：解析：解：f（x）是定义在R上且周期为的周期函数，当x（0，时，f（x）=1-|2x-1|可得函数f（x）的图象如下：根据图象可得x=时，）logax=1，故答案为：根据周期画出函数y=f（x），y=logax（a1）在（0，+）的图象，根据图象可得答案本题考查了函数的图象及性质，考查了数形结合思想，属于中档题12.答案：解析：解：依题意，因为S9=

14、S3+2S6，所以q1，所以+2，即（q3-2）（q3-1）（q3+1）=0，因为数列an为正项数列，所以q3=2当取得最小值时，S6S3=1，即=1，所以=-，所以S9=-=故填：因为S9=S3+2S6，所以q1，所以+2，即（q3-2）（q3-1）（q3+1）=0，因为数列an为正项数列，所以q3=2当取得最小值时，S6S3=1，即=1，所以=-，即可得到S9本题考查了等比数列的前n项和，通项公式和前n项和公式的灵活运用，基本不等式等属于中档题13.答案：解析：解：C为圆x2+y2=1上一点，设C（sin，cos），则，A（x1，y1），B（x2，y2）为圆x2+y2=1上两点，又，=，其

15、中，sin（+）-1，1，当sin（+）=1时，的最大值为：故答案为：C为圆x2+y2=1上一点，设C（sin，cos），则利用坐标运算即可本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，利用坐标运算是解题的关键，属中档题14.答案：解析：解：不等式kS3b2+3c2-a2恒成立，即k=恒成立，又由余弦定理，有a2=b2+c2-2bccosA，k恒成立，只需k，当且仅当b=c时取等号令f（x）=，则f'（x）=，令f'（x）=0，则x=，当0x时，f'（x）0；当时，f'（x）0，f（x）在（0，）上单调递减，在（）上单调递增，当x=时，f（x）min=故当A=时，k，

16、k的最大值为：故答案为：不等式kS3b2+3c2-a2恒成立，即k恒成立，则只需k，然后利用基本不等式和构造法求出最小值即可本题考查了不等式恒成立问题，考查了余弦定理和基本不等式，考查了构造法和转化思想，属难题15.答案：（本题满分为14分）解：（1）函数f（x）=sin（x+）（0，|）的图象上相邻两个最高点的距离为2，函数的周期T=2，=2，解得=1，2分f（x）=sin（x+），又函数f（x）的图象关于直线对称，+=+k，kZ，4分|，=，f（x）=sin（x+）7分（2）在ABC中，A（0，），sin（A+）=-0，A+（，），cos（A+）=-=-，10分sinA=sin（A+）-=

17、sin（A+）cos-cos（A+）sin=（-）×-（-）×=14分解析：（1）由题意可求正弦函数的周期，利用周期公式可求，由图象关于直线对称，可求+=+k，结合范围|，可求，即可求得函数解析式（2）由已知可求sin（A+）=-0，结合范围A+（，），利用同角三角函数基本关系式可求cos（A+），根据两角差的正弦函数公式可求sinA的值本题主要考查由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式，考查了三角函数恒等变换的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题16.答案：证明：（1）连接AC1，设AC1A1C=O，连接OD，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ACC1

18、A1是平行四边形，所以：O为AC1的中点，又因为：D是棱AB的中点，所以：ODBC1，又因为：BC1平面A1CD，OD平面A1CD，所以：BC1平面A1CD（2）由（1）可知：侧面ACC1A1是平行四边形，因为：AC=AA1，所以：平行四边形ACC1A1是棱形，所以：AC1A1C，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1平面ABC，因为：AB平面ABC，所以：ABAA1，又因为：ABAC，ACAA1=A，AC平面ACC1A1，AA1平面ACC1A1，所以：AB平面ACC1A1，因为：A1C平面ACC1A1，所以：ABA1C，又因为：AC1A1C，ABAC1=A，AB平面ABC1，AC1平面AB

19、C1，所以：A1C平面ABC1，因为：BC1平面ABC1，所以：BC1A1C解析：本题主要考查了线面平行的判定，线面垂直的性质，线面垂直的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题（1）连接AC1，设AC1A1C=O，连接OD，可求O为AC1的中点，D是棱AB的中点，利用中位线的性质可证ODBC1，根据线面平行的判断定理即可证明BC1平面A1CD（2）由（1）可证平行四边形ACC1A1是棱形，由其性质可得AC1A1C，利用线面垂直的性质可证ABAA1，根据ABAC，利用线面垂直的判断定理可证AB平面ACC1A1，利用线面垂直的性质可证ABA1C，又AC1A1C，根据线面垂直的判断定理可

20、证A1C平面ABC1，利用线面垂直的性质即可证明BC1A1C17.答案：解：（1）以O为原点，以OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，8），P（2，10），Q（7，0），直线PQ的方程为2x+y-14=0设C（a，b），则，两式相减得：a+b-10=0，又2a+b-14=0，解得a=4，b=6，r=2当r=2时，点Q恰好在路面中线上（2）由（1）知a+b-10=0，当a=2时，灯罩轴线所在直线方程为x=2，此时HQ=0当a2时，灯罩轴线所在方程为：y-10=（x-2），令y=0可得x=12-，即Q（12-，0），H在线段OQ上，12-a，解得2a10|HQ|=12-a=12-（+a）

21、12-2=12-4，当且仅当=a即a=2时取等号|HQ|的最大值为（12-4）m解析：（1）求出PQ的方程，设C（a，b），根据CA=CP=r列方程组可得出a，b的值，从而求出r的值；（2）用a表示出直线PQ的斜率，得出PQ的方程，求出Q的坐标，从而可得出|HQ|关于a的函数，根据a的范围和基本不等式得出|HQ|的最大值本题考查了直线方程，直线与圆的位置关系，考查基本不等式与函数最值的计算，属于中档题18.答案：（1）解：设椭圆的截距为2c，由题意，b=，由点F到左顶点的距离和到右准线的距离相等，得a+c=，又a2=b2+c2，联立解得a=2，c=1椭圆C的标准方程为；（2）解：当直线l与x轴

22、重合时，M（-2，0），N（2，0），此时MF=3NF，不合题意；当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为x=my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），联立，得（3m2+4）y2+6my-9=0=36m2+36（m2+4）0，由MF=2FN，得y1=-2y2，联立得，代入得，解得直线方程为；（3）证明：当直线l的斜率为0时，则M（2，0），N（-2，0），设P（x0，y0），则PMPN=|（x0-2）（x0+2）|，点P在椭圆外，x0-2，x0+2同号，又，解得当直线l的斜率不为0时，由（2）知，PM=，PN=，PF=点P在椭圆外，y1-y0，y2-y0同号，PMPN=（1+m2）（y1-

23、y0）（y2-y0）=，整理得，代入直线方程得点P在定直线x=上解析：（1）由题意，b=，再由点F到左顶点的距离和到右准线的距离相等，得a+c=，结合隐含条件解得a=2，c=1，则椭圆方程可求；（2）当直线l与x轴重合时，求得MF=3NF，不合题意；当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为x=my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，由根与系数的关系及MF=2FN求得m值，则直线方程可求；（3）当直线l的斜率为0时，设P（x0，y0），由PMPN=PF2，求得，当直线l的斜率不为0时，由（2）中的根与系数的关系及PMPN=PF2，求得，代入

24、直线方程得，由此可得点P在定直线x=上本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题19.答案：解：证明（1）：函数f（x）=x3+ax2+bx（a，bR）的导函数为f（x）=3x2+2ax+b已知x1，x2是f'（x）的两个不同的零点，设x1x2，所以=4a2-12b0，所以：a23b得证；（2）：当b=0时，对任意x0，f（x）xlnx恒成立，所以x3+ax2xlnx，即x3+ax2-xlnx0，x2+ax-lnx0对任意x0恒成立，所以a-x对任意x0恒成立，设g（x）=-x，则g（x）=-1=，令h（x）=1-1nx-x2，则h（x）=-2x0，所

25、以h（x）在（0，+）上单调递减，注意到h（1）=0，当x（0，1）时，h（x）0，g（x）0，所以g（x）在（0，1）上单调递增，当x（1，+）时，H（x）0，g（x）0，所以g（x）在（1，+）上单调递减，所以，当x=1时，g（x）有最大值g（1）=-1，所以a的取值范围为-1，+）；（3）由题意设F（x）=f（x）-f（x1）-f'（）（x-x1），则原问题转化为求函数F（x）的零点的个数，因为导函数为f（x）=3x2+2ax+b，已知x1，x2是f'（x）的两个不同的零点，所以：=-，f'（）=f'（-）=-+b，所以：F（x）=f（x）-f'（

26、）=3x2+2ax+=3（x2+x+）=3（x+）20，所以F（x）在（0，+）上单调递增，注意到F（x1）=0，所以F（x）在（0，+）上存在唯一零点x1，关于x的方程有1个实根.解析：考查函数的极值最值的综合应用，函数的零点判断，构造新函数求最值的特点，属难题（1）求函数的导数，利用=4a2-12b0，得证；（2）分离参数a，所以a-x对任意x0恒成立，令新函数设g（x）=-x求最值即可，或采用x3+ax2-xlnx0时求左侧最值亦可（3）转化函数求零点个数可得结论20.答案：解：（1）因为an是等差数列且公差为2，所以an=a1+2（n-1），所以对任意m，nN*，mn，|am-an|=

27、|a1+2（m-1）-a1+2（n-1）|=|2（m-n）|2（m-n）恒成立，所以数列an符合“L（2）条件”（2）因为an0，所以q0若q=1，则|am-an|=0，数列an符合“L（）条件”；若q1，因为数列an递增，不妨设mn，则，即，（*）设，由（*）式中的m，n任意性可知，数列bn不递增，所以=，nN*，则当时，矛盾若0q1，则数列an单调递减，不妨设mn，则an-am，即，（*）设cn=，由（*）式中的m，n任意性可知，数列an不递减，所以=0，nN*因为0q1时，f（n）=单调递增，所以fmax（n）=f（1）=（q-1）+0，因为0q1，所以综上得，公比q的取值范围为，1由知

28、，当q=1时，sn=n，要存在k0使得|sn-sm|k0|n-m|，只要k01即可当时，要证数列sn符合“L（k0）条件”，只要证存在k00，使得|k0|n-m|，nN*，不妨设mn，则只要证qm-qnk0（1-q）（n-m），只要证设g（n）=，由m，n的任意性可知，只要证g（n+1）-g（n）=qn（q-1）+k0（1-q）=，只要证，nN*，因为，所以存在k0q，上式对nN*成立所以，存在正数k0，使得数列sn符合“L（k0）条件”解析：（1）因为an是等差数列且公差为2，所以an=a1+2（n-1），带入不等式验证条件即可；（2）分情况验证符合“L（）条件”时q的取值情况，最后汇总，由

29、算出sn，对q分情况验证结论此题考查了等差数列和等比数列的应用，分类讨论较多，属于开放性试题，难度较大21.答案：解：（1）因为AB-1=，B=A=（AB）-1B=，即=，；（2）矩阵A的特征多项式f（）=（+1）-2=（+2）（-1），令f（）=0，则=-2或=1，矩阵A的特征值-2和1解析：（1）利用A=（AB）-1B求解即可；（2）矩阵A的特征多项式f（）=求出行列式，然后令f（）=0即可本题考查了逆变换与逆矩阵以及矩阵特征值的求法，属基础题22.答案：解：（1）由+2cos=0得2+2cos=0，得x2+y2+2x=0，则圆心为（-1，0），半径r=1由2sin（-）+m=0得2sin

30、cos-2cossin+m=0，得直线l的直角坐标方程为x-+m=0，因为直线l过圆C的圆心，则-1+m=0，所以m=1（2）若m=2，则圆C心到直线的距离d=，所以直线l被圆C截得的弦长为2=2=解析：（1）将直线与圆的极坐标方程化成直角坐标方程后，利用圆心在直线上列式可得（2）利用点到直线的距离公式和勾股定理可得本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题23.答案：证明：设a=x2+2y2，b=y2+3z2，c=z2，4（a-2b+6c）+9（b-3c）+12c=12，即4a+b+9c=12，+=+=（+）（4a+b+9c）（+）2=3，故原不等式成立解析：设a=x2+2y2，b=y2+3z2，c=z2，由题意可得