第一节二维离散型随机变量

1、第一讲第一讲 离散型二维随机向量离散型二维随机向量一一 二维随机向量及其联合分布函数二维随机向量及其联合分布函数二二 边缘分布边缘分布 三三 条件分布条件分布四四 随机变量的独立性随机变量的独立性例例1 1：研究某一地区学龄儿童的发育情况：研究某一地区学龄儿童的发育情况. .仅研究仅研究身高身高H H的分布或仅研究的分布或仅研究体重体重W W的分布的分布是不够的需要同时考察每个儿童的身高和是不够的需要同时考察每个儿童的身高和体重值，研究体重值，研究身高和体重之间的关系身高和体重之间的关系，这，这就要引入定义在同一样本空间的两个随机就要引入定义在同一样本空间的两个随机变量。变量。例例2 2：研究

2、某种型号：研究某种型号炮弹的弹着点炮弹的弹着点分布。每分布。每枚炮弹的弹着点位置需要由枚炮弹的弹着点位置需要由横坐标横坐标x x和和纵坐纵坐标标y y来确定，而它们是定义在同一样本空间来确定，而它们是定义在同一样本空间的两个随机变量。的两个随机变量。问题的提出问题的提出一一 二元随机向量二元随机向量 P59 两个随机变量两个随机变量X与与Y所构成的数对所构成的数对(X，Y）称称二元随机向量二元随机向量二二 随机向量的联合分布函数随机向量的联合分布函数 P59对于任意实数对于任意实数 x,y,)()(),(yYxXPyxF称为随机向量称为随机向量(X，Y）的联合分布函数）的联合分布函数xyxy,

3、yYxXP由定义可知由定义可知,2121yYyxXxP1x2x1y2yyx),(22yx),(22yxF),(21yxF),(12yxF),(11yxF三 联合分布函数性质 P60（1）1),(0yxF0),( yF0),(xF0),(F1),(F（2）( , )F x y是关于是关于x或或y是是单调不减的单调不减的； （3） ( , )F x y是关于是关于x或或y均是均是右连续右连续， 即即 (0, )( , ),( ,0)( , )F xyF x y F x yF x y（4） 对于任意对于任意 11221212( ,),(,),x yxyxxyy有有 22211112(,)(,)( ,

4、)( ,)0.F xyF xyF x yF x y随机向量落在矩随机向量落在矩形区域的概率形区域的概率1x2x1y2yyx),(22yx四四 离散型离散型二元随机变量定义 P60（X，Y）的联合概率分布表YX 如果二元随机变量（X，Y）所有可能取的数对为有限或可列个，则称（X，Y）为二元离散型随机变量 1x2x3x4x1y2y3y4y11p12p13p14p21p22p23p24p31p32p33p34p41p42p43p44p联合分布性质：0) 1 (ijp1)2(,jiijp例1 5个产品中，有2个正品。每次从中取1个检验质量，不放回地抽取，连续2次。用“Xk=0”表示第k次取到正品，而“

5、Xk=1”为第k次取到次品(k=1,2)写出(X1, X2)的联合分布律 2个正品3个次品取1个不放回连续2次解解1X2X01010, 021XXP0| 00121XXPXP41521 . 0 1, 021XXP0| 10121XXPXP43523 . 00, 121 XXP1 . 03 . 03 . 0 1, 121 XXP3 . 03 . 03 . 0例例2 2 P61设随机变量设随机变量X X在在1,2,3,41,2,3,4中随机地取一个数中随机地取一个数, ,另一另一随机变量随机变量Y Y在在1 1到到X X中随机地取一整数中随机地取一整数. .求求(X,Y)(X,Y)的的分布律分布律

6、。解解(X,Y)(X,Y)所有可能的取值为所有可能的取值为：(1,1)(1,1) (2,1)(2,1) (2,2) (2,2) (3,1) (3,1)(3,2)(3,2)(3,3)(3,3)(4,1)(4,1) (4,2)(4,2) (4,3)(4,3) (4,4)(4,4)1234xY12341/40 1, 1 YXP41 1| 1 1XYPXP00 1, 2YXP21412| 12XYPXP1/8 1/800 1, 3 YXP31413| 13XYPXP1/12 1/12 1/1201/16 1/16 1/16 1/16 随机变量(X，Y)中，分量X(或Y)的概率分布称为(X，Y)的关于X

7、(或Y)的边缘分布 四 边缘分布 P63YX1x2xix1y2yjy11p12pjp121p22pjp21 ip2ipijpX1x2x3xPpi1 pi2 pij iXXP第第i行概率的和行概率的和.21iippjijp记为记为)1(ip) 1 (1p) 1 (2p) 1 (3pixXP) 1 (1p) 1 (2p) 1 (ip 随机变量(X，Y)中，分量X(或Y)的概率分布称为(X，Y)的关于X(或Y)的边缘分布 五 边缘分布 P63YX1x2xix1y2yjy11p12pjp121p22pjp21 ip2ipijpY1y2y3yPjyYP第第j列概率的和列概率的和.21jjppiijp记为

8、记为)2(jp) 2(1p) 2(2p) 2(3pp1j p2j pij jyYP) 2(1p) 2(2p) 2(jp例例3 将两封信随机地往编号为将两封信随机地往编号为I I、IIII、IIIIII、IVIV的的4个邮筒内投。个邮筒内投。 X Xi i表示第表示第i i个邮筒内信的数目个邮筒内信的数目(i=1,2)(i=1,2)写出写出(X(X1 1， X X2 2) )的联合分布以的联合分布以及及X X1 1， X X2 2的边缘分布的边缘分布解解1X2X010122164161164164162016100I IIIIIIIIIIIIVIVX X1 1X X2 21ixXP1691661

9、612jyXP1691661611X012P1691661612X012P169166161例例4 随机变量随机变量(X,Y)的联合分布表为的联合分布表为求求 (1) a (2) (X,Y)关于关于X,Y 的边缘分布函数的边缘分布函数Fx(x) 与与FY(y) (3) XY的分布律的分布律 (4) (X,Y)的联合分布函数的联合分布函数F(x,y)解解 (1) 1/4+1/4+1/6+a =1a =1/3XY12-101/4 1/41/6a(2)XP121/21/2)(xFX1x021x2/ 12x1YP-105/12 7/12)(yFY1y001y12/ 50y1（3）XYP-2-101/6

10、 1/4 7/12例例4 随机变量随机变量(X,Y)的联合分布表为的联合分布表为求求 (1) a (2) (X,Y)关于关于X,Y 的边缘分布函数的边缘分布函数Fx(x) 与与FY(y) (3) XY的分布律的分布律 (4) (X,Y)的联合分布函数的联合分布函数F(x,y)解解XY12-101/4 1/41/6axy-112(x,y)（4）求）求F(x,y),( yxF11yx或001, 21yx(x,y)4/ 10, 21yx(x,y)2/ 101, 2yx(x,y)12/ 50, 2yx(x,y)1六 条件分布 P66 条件分布是指：随机变量(X，Y)中,分量X在Y=yj 的条件下的分布

11、或分量Y在X=xi 的条件下的分布YX1x2xix1y2yjy11p12pjp121p22pjp21 ip2ipijpX| (Y=yj )1x2x3xP|jiyYxXP,jjiyYPyYxXP)2(jijpp)2(1jjppp1j p2j pij )2(2jjpp)2(3jjpp第第j列概率除以第列概率除以第j列概率的和列概率的和六 条件分布 P66 条件分布是指：随机变量(X，Y)中,分量X在Y=yj 的条件下的分布或分量Y在X=xi 的条件下的分布YX1x2xix1y2yjy11p12pjp121p22pjp21 ip2ipijpY| (X=xi )1y2y3yP|ijxXyYP,ijix

12、XPyYxXP) 1 (iijpp) 1 (1iipp) 1 (2iipp) 1 (3iipppi1 pi2 pij 第第i行概率除以第行概率除以第i行概率的和行概率的和例例5 (X(X1 1， X X2 2) )的联合分布表如下，求的联合分布表如下，求X X2 2=1=1的的条件的的条件下下X X1 1的的条件分布条件分布解解1X2X010122164161164164162016100) 1( |21XX012P 1| 021XXP 1 1, 0221XPXXP01621641643232310Y YX X-1-11 10 00.20.20.10.1a a1 12 20.10.10.20.

13、2b b已知已知P(Y=1|X=1)=0.5求求:(1)a,b的值；的值；(2)X,Y的边缘分的边缘分布律；布律；(3) P（X=1| Y=1） 例例6 (X,Y)的联合分布律为的联合分布律为解解 （1） a+b+0.6=1 1| 1XYP 1 1, 1XPXYP2 . 01 . 02 . 0a5 . 03 . 0, 1 . 0ba(2)XP120.40.6YP-1010.2 0.3 0.5(3) 1| 1 YXP 1 1, 1YPYXP5 . 02 . 04 . 01 定义 随机向量(X，Y)的联合分布函数F(x,y), X的分布函数为FX(x), Y的的分布函数为FY(y)七七 随机变量的

14、相互独立性的相互独立性 P71如果如果)()(),(yFxFyxFYX随机变量X与Y相互独立相互独立2 判断独立的充要条件：（A）离散型X与Y独立独立) 2() 1 (jiijppp .)2 , 1,.2 , 1(ji（B）连续型X与Y独立独立)()(),(yfxfyxf联合密度等于边联合密度等于边缘密度的乘积缘密度的乘积,jijiyYPxXPyYxXP例例7 (X(X1 1， X X2 2) )联合分布如下，判断联合分布如下，判断X X1 1， X X2 2是否独立是否独立解解1X2X010122164161164164162016100) 2(jp169166161) 1 (ip16916

15、6161) 2(2) 1 (2pp161161022p所以所以 X X1 1， X X2 2不独立不独立例8 掷两颗骰子，用X与Y分别表示第一颗与第二颗的点数。X与Y是否独立。123456111111136363636363611111123636363636361111113363636363636111111436363636363611111153636363636361111116363636363636XY 可见对所有i,j故X与Y相互独立解解pij=pi(1)pj(2)P(X=i)1/61/61/61/61/61/6P(Y=j) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6例例9 (X(X，Y)Y)联合分布如下，联合分布如下，(1) 判断判断X X， Y Y是否独立是否独立解解P(X=i)1/32/3P(Y=j) 1/2 1/2XY01121/61/61/3 1/