高考数学圆锥曲线重难点专题训练专题02椭圆的焦点弦中点弦弦长问题（含答案）

1、专题02 椭圆的焦点弦、中点弦、弦长问题一、单选题1已知斜率为1的直线过椭圆的右焦点，交椭圆于两点，则弦的长为（ ）ABCD2经过椭圆(ab0)的焦点且垂直于椭圆长轴的弦长为（ ）ABCD3已知F是椭圆的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则ABF面积的最大值为（ ）A6B15C20D124设，是椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于，两点，则的最大值为（ ）A14B13C12D105已知椭圆，过点的直线与椭圆相交于、两点，且弦被点平分，则直线的方程为（ ）ABCD6已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于、两点若的中点坐标为，则的方程为（ ）ABCD7过椭圆的焦点的弦中最短弦长是（ ）ABCD8过椭

2、圆上的焦点作两条相互垂直的直线，交椭圆于两点，交椭圆于两点，则的取值范围是（ ）ABCD二、多选题9已知椭圆C：（）的左、右焦点为F1，F2，O为坐标原点，直线过F2交C于A，B两点，若AF1B的周长为8，则（ ）A椭圆焦距为B椭圆方程为C弦长D10已知椭圆的焦距为6，短轴为长轴的，直线与椭圆交于，两点，弦的中点为，则直线的方程为（ ）ABCD11设椭圆的方程为，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A,B两点，M为线段AB的中点下列结论正确的是（ ）.A直线AB与OM垂直；B若点M 坐标为（1,1），则直线方程为2x+y-3=0；C若直线方程为y=x+1，则点M坐标为D若直线方程为y=

3、x+2，则.12已知椭圆：的右焦点为，过点的两条互相垂直的直线，与椭圆相交于点，与椭圆相交于点，则下列叙述正确的是（ ）A存在直线，使得值为7B存在直线，使得值为C弦长存在最大值，且最大值为4D弦长不存在最小值三、填空题13直线交抛物线于A，B两点若AB的中点横坐标为2，则弦长为_14已知椭圆的左焦点为，右焦点为，过作x轴的垂线与椭圆相交于A，B两点，则的面积为_15椭圆的右焦点为，为轴上的两个动点，若，则面积的最小值为_16已知是椭圆的左、右焦点，在椭圆上运动，当的值最小时，的面积为_四、解答题17已知椭圆的短轴长为，焦点坐标分别是和.（1）求这个椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆交于两点，且

4、中点为，求直线的方程.18已知椭圆，离心率为，点在椭圆C上.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若，过的直线l交椭圆C于MN两点，且直线l倾斜角为，求的面积.19椭圆经过点，离心率为，左、右焦点分别为（1）求椭圆的方程（2）斜率为的直线l与椭圆交于A，B两点，当时，求直线的方程20已知椭圆：的一个顶点为，离心率为，直线与椭圆交于不同的两点，.（1）求椭圆的方程；（2）求面积的最大值，并求此时直线的方程.21已知椭圆C:的离心率，直线l过点和，且坐标原点O到直线l的距离为.（1）求的长；（2）过点的直线m与椭圆C交于、两点，当面积大时，求的值22已知椭圆：的左右焦点分别为，左顶点为，离心率为，上顶点

5、，的面积为（1）求椭圆的方程；（2）设直线：与椭圆相交于不同的两点，是线段的中点.若经过点的直线与直线垂直于点，求的取值范围.专题02 椭圆的焦点弦、中点弦、弦长问题一、单选题1已知斜率为1的直线过椭圆的右焦点，交椭圆于两点，则弦的长为（ ）ABCD【解析】由椭圆得，所以，所以右焦点坐标为，则直线的方程为，设，联立，消y得，则，所以.即弦长为.故选：C.2经过椭圆(ab0)的焦点且垂直于椭圆长轴的弦长为（ ）ABCD【解析】将或代入椭圆的标准方程得，解得，因此，过焦点且垂直于长轴的弦长是.故选：D.3已知F是椭圆的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则ABF面积的最大值为（ ）A6B15C20

6、D12【解析】显然直线AB不垂直y轴，椭圆中心为原点O，设直线AB的方程为：x=my，由消去y得：，设，由椭圆对称性，不妨令，焦点，ABF的面积，当且仅当时取“=”，所以ABF面积的最大值为12.故选：D4设，是椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于，两点，则的最大值为（ ）A14B13C12D10【解析】因为，所以，所以当取最小值时，有最大值，当轴时，此时取最小值，且，所以的最大值为，故选：A.5已知椭圆，过点的直线与椭圆相交于、两点，且弦被点平分，则直线的方程为（ ）ABCD【解析】设点、，由已知可得，因为点、都在椭圆上，则，两式作差可得，即，所以，直线的斜率为，因此，直线的方程为，即.故选：C

7、.6已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于、两点若的中点坐标为，则的方程为（ ）ABCD【解析】设点、，则，两个等式作差得，整理可得，设线段的中点为，即，另一方面，所以，所以，解得，因此，椭圆的方程为.故选：D.7过椭圆的焦点的弦中最短弦长是（ ）ABCD【解析】显然过椭圆焦点的最短弦所在直线l不垂直y轴，设l的方程为：x=my+c，由消去x并整理得：， 设直线l与椭圆交于点，则有，则有，当且仅当时取“=”，于是，当，即直线l垂直于x轴时，所以过椭圆的焦点的最短弦是与焦点所在坐标轴垂直的弦，最短弦长是.故选：A8过椭圆上的焦点作两条相互垂直的直线，交椭圆于两点，交椭圆于两点，则的取值范围是（

8、）ABCD【解析】当直线有一条斜率不存在时，不妨设直线斜率不存在，则直线斜率为0，此时，所以，当直线的斜率都存在且不为0时，不妨设直线的斜率为k，则直线的斜率为，不妨设直线都过椭圆的右焦点，所以直线，直线，联立与椭圆T，可得，所以，同理，所以，令，因为，所以，所以=，令，因为，所以，所以，所以，所以，综上的取值范围是.故选：C二、多选题9已知椭圆C：（）的左、右焦点为F1，F2，O为坐标原点，直线过F2交C于A，B两点，若AF1B的周长为8，则（ ）A椭圆焦距为B椭圆方程为C弦长D【解析】因为的周长为8，所以，得，因为过右焦点F2，所以，所以，所以椭圆焦距为，故A错误；所以椭圆方程为，故B正确

9、；设，由得，解得，故C正确；原点到直线的距离为，所以，故D错误. 故选：BC.10已知椭圆的焦距为6，短轴为长轴的，直线与椭圆交于，两点，弦的中点为，则直线的方程为（ ）ABCD【解析】由已知可得椭圆的，又长轴为短轴的，故椭圆方程为或，设弦的两端点为，当椭圆方程为时，则有，两式相减得，整理得，弦所在的直线的斜率为，其方程为，整理得；当椭圆方程为时，则有，两式相减得，整理得，弦所在的直线的斜率为，其方程为，整理得.故选：AD.11设椭圆的方程为，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A,B两点，M为线段AB的中点下列结论正确的是（ ）.A直线AB与OM垂直；B若点M 坐标为（1,1），则直

10、线方程为2x+y-3=0；C若直线方程为y=x+1，则点M坐标为D若直线方程为y=x+2，则.【解析】对于A项，因为在椭圆中，根据椭圆的中点弦的性质，所以A项不正确；对于B项，根据，所以，所以直线方程为，即，所以B项正确；对于C项，若直线方程为，点，则，所以C项不正确；对于D项，若直线方程为，与椭圆方程联立，得到，整理得：，解得，所以，所以D正确；故选BD.12已知椭圆：的右焦点为，过点的两条互相垂直的直线，与椭圆相交于点，与椭圆相交于点，则下列叙述正确的是（ ）A存在直线，使得值为7B存在直线，使得值为C弦长存在最大值，且最大值为4D弦长不存在最小值【解析】当直线，一个斜率为零一个斜率不存在

11、时，可得即为长轴，为通径，则，则A是正确的；当直线，的斜率都存在时，不妨令直线的斜率为，由题意知的直线方程为，联立方程消去得，设，由韦达定理知：，所以，同理，特别地当时，即，则正确；由，故当时，取到最大值，则C正确；由，但当弦的斜率不存在时，故存在最小值，故D选项不对，故选：ABC三、填空题13直线交抛物线于A，B两点若AB的中点横坐标为2，则弦长为_【解析】设，易知k=0不合题意，将直线代入抛物线方程得：，所以，因为AB的中点横坐标为2，所以，所以，则.14已知椭圆的左焦点为，右焦点为，过作x轴的垂线与椭圆相交于A，B两点，则的面积为_【解析】由椭圆，则，所以，所以椭圆的左、右焦点，即，过作

12、x轴的垂线与椭圆相交于A，B两点，易知与椭圆交于A，B两点，将代入椭圆，解得，所以，即.15椭圆的右焦点为，为轴上的两个动点，若，则面积的最小值为_【解析】不妨设点，由题知，又，即，所以设的面积为，则，当且仅当时等号成立，所以面积的最小值为216已知是椭圆的左、右焦点，在椭圆上运动，当的值最小时，的面积为_【解析】由椭圆定义可知，所以，当且仅当，即时取“=”.又，所以.所以，由勾股定理可知：，所以.四、解答题17已知椭圆的短轴长为，焦点坐标分别是和.（1）求这个椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆交于两点，且中点为，求直线的方程.【解析】焦点坐标分别是和， 椭圆的焦点在x轴上，中心为原点，故可设椭

13、圆方程为，且，又椭圆的短轴长为， ，又， ， 椭圆的标准方程为，(2)设, P，Q都在椭圆上， ，相减可得，又中点为， ， ，即直线的斜率为，直线的方程为，即.18已知椭圆，离心率为，点在椭圆C上.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若，过的直线l交椭圆C于MN两点，且直线l倾斜角为，求的面积.【解析】（1）由题设，则，故，椭圆C的标准方程为.（2）由题设易知：直线l为，联立椭圆并整理得：，则，到的距离为，19椭圆经过点，离心率为，左、右焦点分别为（1）求椭圆的方程（2）斜率为的直线l与椭圆交于A，B两点，当时，求直线的方程【解析】（1）因为椭圆经过点，离心率为，所以，因为，所以得，所以椭圆方程为

14、，（2）设直线l为，设，由，得，由，得，由根与系数的关系得，因为，所以，解得，所以直线的方程为或20已知椭圆：的一个顶点为，离心率为，直线与椭圆交于不同的两点，.（1）求椭圆的方程；（2）求面积的最大值，并求此时直线的方程.【解析】（1）由题意得，解得，所以椭圆C的方程为.（2）由得，.设，则，又点到直线的距离为.所以的面积为，当且仅当即时，的面积有最大值为1，此时直线的方程为.21已知椭圆C:的离心率，直线l过点和，且坐标原点O到直线l的距离为.（1）求的长；（2）过点的直线m与椭圆C交于、两点，当面积大时，求的值【解析】（1）因为直线l过点和，所以直线的方程为，所以坐标原点O到直线l的距离，又离心率，且，解得，即，所以椭圆方程为，；（2）设直线，联立消去得，所以