第二节 平面简谐波的波动方程

1、上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 机械波机械波 振动在空间的传播过程叫做波动振动在空间的传播过程叫做波动上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出机械波机械波电磁波电磁波经典波经典波机械振动在弹性介质中的传播机械振动在弹性介质中的传播. .交变电磁场在空间的传播交变电磁场在空间的传播. .两类波的不同之处两类波的不同之处v机械波的传播需有传机械波的传播需有传播振动的弹性介质播振动的弹性介质; ;v电磁波的传播可磁波的传播可不需介质不需介质. .2能量传播能量传播2反射反射2折射折射2叠加性叠加性2干涉干涉2衍射衍射两

2、类波的共同特征两类波的共同特征上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出弹性介质和波源弹性介质和波源（机械波产生的条件）（机械波产生的条件）纵波和横波：纵波和横波：(1) 质元并未质元并未“随波逐流随波逐流” 波的传播不是媒波的传播不是媒 质质元的传播质质元的传播(2) “上游上游”的质元依次带动的质元依次带动“下游下游”的质元振动的质元振动(3) 某时刻某质元的某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻振动状态将在较晚时刻 于于“下游下游”某处出现某处出现-波是振动状态的传播波是振动状态的传播uT上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退

3、出退出数学函数式表示介质中质点的振动状态随时间数学函数式表示介质中质点的振动状态随时间变化的关系变化的关系.()()()r tf r tf x y z t ， ，平面简谐波平面简谐波： 波面为平面的简谐波波面为平面的简谐波.简谐波简谐波：在均匀、无吸收的介质中，波源作简谐在均匀、无吸收的介质中，波源作简谐振动时，在介质中形成的波动振动时，在介质中形成的波动.上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出xy 平面简谐波平面简谐波传播时，传播时，介质中各质点都作同一频介质中各质点都作同一频率的振动，在任一时刻，率的振动，在任一时刻，各点的振动相位一般不同各点的振动相

4、位一般不同，它们的它们的位移也不相同位移也不相同。据波阵面的定义可知，任据波阵面的定义可知，任一时刻在一时刻在同一波阵面上的同一波阵面上的各点有相同的相位各点有相同的相位，它们，它们离开各自的平衡位置离开各自的平衡位置有相有相同的位移同的位移。上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出yxxPOtypP0y (t)= y (t )uO点处质点的振动表达式为：点处质点的振动表达式为：00( )cos()y tAtxt = t -u( )( )P0y t =y t P处质点在时刻处质点在时刻t t 的位移为：的位移为： 0 xAcos t -+=u0 x = y

5、(t -)u 波动表达式波动表达式：描述介质中：描述介质中各质点各质点的的位移位移随时间随时间的变化关系的变化关系. .上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出P处质点在时刻处质点在时刻t 的位移为的位移为： ( )P0 xyt = Acos t -+u因此，波线上任一点在任一时刻的位移都能因此，波线上任一点在任一时刻的位移都能由上式给出。此即所求的由上式给出。此即所求的沿沿x x 轴轴正正方向前进方向前进的平面简谐波的的平面简谐波的波函数波函数。 波函数波函数沿沿x x轴轴负负方向传播的平面简谐波的方向传播的平面简谐波的波函数：波函数：上页上页 下页下页

6、返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出uu沿沿x轴轴正正方向传播方向传播沿沿x轴轴负负方向传播方向传播P P点点落后落后o o点点xuxu t = t -xuP P点点超前超前o o点点OxyPOxyP t = t +xu时间时间时间时间波函数为：波函数为： 0( , )cos ()xy x tAtu上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上述过程给出了一个写出简谐波方程的步骤上述过程给出了一个写出简谐波方程的步骤： 已知某点的振动方程（已知某点的振动方程（不一定是波源不一定是波源） 根据波的传播方向，判断各点振动的先后次序根据波的传播方向

7、，判断各点振动的先后次序, , 找出时间差找出时间差 ( 0 0) 将时间差将时间差 代入已知振动方程，即可得波方程：代入已知振动方程，即可得波方程：( (P先振先振) )0( , )cos ()xy x tAtu0( , )cos ()xy x tAtu( (P后振后振) )上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出波函数其它形式波函数其它形式0cos 2 ()txyAT0cos 2 ()xyAt 0cos()yAtkx02cos()xyAt角波数角波数：表示表示单位长单位长度上波度上波的相位的相位变化变化2k 利用关系式利用关系式22TuT，得，得和和0(

8、 , )cos ()xy x tAtu上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出波动表达式的意义：波动表达式的意义： 上式代表上式代表x1处质点在其平衡位置附近以角频率处质点在其平衡位置附近以角频率 作振动。作振动。12cosxyAt即即x 一定一定：令：令x=x1，则质点位移则质点位移y 仅是时间仅是时间t 的函数。的函数。tyOAT上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出12cosxyAt即即 以以y为纵坐标、为纵坐标、x 为横坐标，得到一条余弦曲线，为横坐标，得到一条余弦曲线，它是它是t1时刻波线上各个质点偏离各自平衡

9、位置的位移时刻波线上各个质点偏离各自平衡位置的位移所构成的波形曲线所构成的波形曲线( (波形图波形图) )。xyAut 一定一定: :令令t=t1，则质点位移则质点位移y 仅是仅是x 的函数。的函数。上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出x沿波线方向，任意两点沿波线方向，任意两点x1、x2的简谐运动相位差为：的简谐运动相位差为：xxx221212x、t 都变化都变化: :实线：实线：t1 时刻波形时刻波形；虚线虚线：t2 时刻波形时刻波形uxyo1x12cosxyAt上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出当当t=t1时

10、时，01cosuxtAy当当t2= t1+t时，时， 01cosuxttAy 在在t1和和t1+t时刻时刻，对应的质点平衡位置用对应的质点平衡位置用x1和和x2表示，表示，则则1110( )cosxy tAtu2110()cosxy ttAttu xuxyo1x上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出1110()cosxu ty ttAttu 1101cos( )xAty tu 令令 ，得得21xxt 在在t 时间内时间内, ,整个波形向波的传播方向移动整个波形向波的传播方向移动了了 ，波速波速u 是整个波形向前传是整个波形向前传播的速度。播的速度。21xx

11、xu t xuxyo1x2110()cosxy ttAttu 1110( )cosxy tAtu上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出例例1 频率为频率为12.5kHz的平面余弦波沿细长的的平面余弦波沿细长的金属棒传播，波速为金属棒传播，波速为35.0 10 m/s.如以棒上某点取为如以棒上某点取为坐标原点，已知原点处质点振动的振幅为坐标原点，已知原点处质点振动的振幅为0.1mmA，试求试求：（：（1）原点处质点的振动表达式；）原点处质点的振动表达式；（2） 波函数（向右传播）；波函数（向右传播）；（3）离原点）离原点10cm处质点的振动表达式；处质点的振

12、动表达式；（4）离原点）离原点20cm和和30cm处质点的振动相位差；处质点的振动相位差；（5）在原点振动）在原点振动0.0021s时的波形；时的波形；上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出解：解：由题意由题意0.40mu波长波长周期周期518 10sT （1）原点处质点的振动表达式（设其初相位为零）原点处质点的振动表达式（设其初相位为零）330cos0.1 10cos(25 10)myAtt（2）波函数）波函数cos()xyAtu3330.1 10cos 25 10() m5 10 xt上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回

13、退出退出（3）原点）原点10cm处质点的振动表达式处质点的振动表达式3330.10.1 10cos 25 10() m5 10yt330.1 10cos 25 10m2t两点间距离两点间距离10cm0.10m4x 相位差相位差23330.1 10cos 25 10() m5 10 xty（4）离原点）离原点20cm和和30cm处质点的振动相位差；处质点的振动相位差；上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出（5）时的波形时的波形0.0021st 3330.1 10cos 25 10(0.0021) m5 10 xy30.1 10sin5mxxyO30.1 10

14、0.43330.1 10cos 25 10() m5 10 xty上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 例例2一横波沿一弦线传播。设已知一横波沿一弦线传播。设已知t =0时的波形时的波形曲线如下图中的虚线所示。波速曲线如下图中的虚线所示。波速u为为12m/s，求，求(1)振振幅；幅；(2)波长；波长；(3)波的周期；波的周期；(4)弦上任一质点的最大弦上任一质点的最大速率；速率；(5)图中图中a、b两点的相位差；两点的相位差；(6)3T/4时的波形时的波形曲线曲线.（a、b两点的对应的横坐标分别为两点的对应的横坐标分别为15和和35cm）/cmx/cmy

15、4 . 02 . 04 . 05 . 01M2M5 . 02 . 0010203040506070ab t =0上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出解解: : 由波形曲线图可看出：由波形曲线图可看出：(2) (2) 波长波长 =40cm；(1)(1)振幅振幅 A=0.5cm；(3)(3)波的周期波的周期 s301sm12m4 . 01uT/cmx/cmy4 . 02 . 04 . 05 . 01M2M5 . 02 . 0010203040506070ab t =0上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出(4)(4)质点

16、的最大速率质点的最大速率 m/s94. 0m/s3012105 . 022TAAvm(5)(5)a、b两点相隔半个波长，两点相隔半个波长，b点处质点比点处质点比a点处质点点处质点的相位落后的相位落后 。 (6)(6)3T/4时的波形如下图中实线所示，波峰时的波形如下图中实线所示，波峰M1和和M2已已分别右移分别右移 而到达而到达 和和 处。处。 431M2M/cmx/cmy4 . 02 . 04 . 05 . 01M2M5 . 02 . 0010203040506070ab1M2Mt=3T/4上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出例例3 ：如图是一平面余弦

17、横波在时刻：如图是一平面余弦横波在时刻t=0的波形。此波形以的波形。此波形以 v=0.08m/s 的速度沿的速度沿ox轴正向传播。轴正向传播。 求：求：(1) a、b两点振动方向两点振动方向; (2) O点振动方程点振动方程; (3) 波动表达式波动表达式解：解： 由于波沿由于波沿x正向传播，因正向传播，因此任意时刻任意点都将重复其前此任意时刻任意点都将重复其前的点（图中左侧点）的振动，由的点（图中左侧点）的振动，由此可知：此可知： 这个问题也可以由下一时这个问题也可以由下一时刻的波形曲线得到，如左图黄刻的波形曲线得到，如左图黄线示，而且比较直观。线示，而且比较直观。 此外此外： a点将向下振

18、动；点将向下振动； b点将向上振动。点将向上振动。上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出mmA4 . 0,2 . 0 )(508. 04 . 0sVT sT/522 由已知图可得：由已知图可得： 至此可写出波动表达式为至此可写出波动表达式为：mxttxy2)08. 0(52cos2 . 0),( 点有点有由图有：初始时由图有：初始时O0000 Vy2 mtty)252cos(2 . 0)(0 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 例例4：一列沿：一列沿ox正向传播的简谐波，在时刻正向传播的简谐波，在时刻t1=0,t2

19、=0.25s的两个的两个 波形如图所示。求：波形如图所示。求：(1)P的振动表达式，的振动表达式，(2)此波的波动表此波的波动表式，式，(3)画出画出O点的振动曲线。点的振动曲线。解：解： 由已知图分析可得：由已知图分析可得：sradsT/21 mmA6 . 0,2 . 0 及：及：smTV/6 . 016 . 0 波速波速当当t=0时时,对对P点有：点有：0000 ppVy2 pmtyp)22cos(2 . 0 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 任意位置任意位置x与与P点的距离为点的距离为(x-OP) 由图可知：由图可知：mop3 . 02 mxOPx)3 . 0( mxttxy2)6 .