采用变式教学提高三角恒等变形教学效率

1、 实施变式教学 提高课堂效率 江苏省运河中学 孙晓东 221300摘 要：本文通过笔者的课堂实录，说明变式教学的师生交互性行为，教师的变式给学生提供了模仿的形式，学生在教师的引导下可以创造性地发挥自身的主观能动性，给出多样化的变式结果，培养了学生的创新能力，迎合了新课程改革的理念。关键词：师生 变式 高效率1问题提出波利亚曾形象地指出：“好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找找，很可能附近就有好几个。”这句话告诉我们，课堂教学中对典型例习题进行变式教学，有得一题而会一片的效果，大大地提高了课堂教学效率。检索这方面的参考文献，笔者发现对变式教学的论述，几乎无一例

2、外地默认，变式教学只是教师单方面的行动，学生仅处于被动解决教师变式结果的位置，而游离于教师“魔术师”式的表演之外。变式教学是为了培养学生思维的深刻性、灵活性、批判性，是塑造创新型人才的一种有效教学形式，把变式的机会交给学生去完成，对于培养学生的创新能力，应该更有效。那么为什么学生不能参与变式呢？教师在担心什么？笔者实录自己一节函数习题课的一个教学片断，展示课堂教学中，教师“教变式”的精心预设与学生“学变式”的主动生成过程，站在“教”的角度，说明“变式教”与“教变式”的好处，以丰富变式教学理论，进一步提高对变式教学的认识。2师生双方变式2.1教师“教变式”化解难点例：已知函数，求函数yf (x)

3、在区间1,2上的最小值。 这是2005年江苏卷的压轴题第22题，老师让学生先尝试5分钟，走动观察学生答题情况。多数学生讨论如下：当时，；当时，；当时，；然后怎么求最小值呢？没有清晰的思路，脑子里一团乱糟糟！到此处不得不放弃！显然值得肯定的是，学生明白该题的关键是去掉绝对值符号的，可是却生搬硬套绝对值的定义，答题没有“后手”。 学生出现的上述情况是笔者意料之中的。教师分析：解题要能看到问题的要害之处，此题难点就在于这里的绝对值符号上了，如果我们把绝对值符号换成括号即，你还感到难吗？因此，我们解题的重点就是设法去掉“”。我们先退一步，先求函数在区间1,2上的最小值，这时难在哪儿呢？生：难在这里的字

4、母不定，需要讨论！ 师：对的，解决了这个问题就好办了，可是怎么讨论呢？（无人应声）师：我们再变一下！由于字母是个变数，如果我们能解决不带有字母的绝对值问题就好啦！比如,会不会求在区间1,2上的最小值呢？甚至于再退到求在区间1,2上的最小值！这时所有学生都笑了！问题的解决思路清楚了！2.1.1教师变式1.求在区间1,2上的最小值。解（生给出）：如图1， ；图2图12.1.2教师变式2.求在区间1,2上的最小值。解（生给出）：如图2，师：比较1、2两个问题，从图像上看，是什么因素导致它们的最小值取得情况有差异呢？生：因为图像发生了平移！师：说得精准些，是图像的“尖”发生了移动，对吗？（这时，全班学

5、生都频频点头）师：那么当“尖”的位置不同时，函数的最小值情况有几种？生（略作思考后）：三种。2.1.3.教师变式3.求函数在区间1,2上的最小值。解：（生1）如图2，针对于讨论：当时， ；当时，；当时，；（问题解决，教室里洋溢着着舒展、愉快的气氛）2.1.4.教师变式4.求函数在区间1,2上的最小值。分析：（课堂由短暂的轻松、愉快立刻又陷入了一片沉寂，学生由“形”的直观形象认识开始转向对“数”的理性思考。）实际上，我们只是用数形结合法，直接给出了在区间1,2上的最小值，并没有体现出从“式”的角度去掉绝对值符号。再回顾一下我们的答题过程。在的最小值求解过程中，是有去掉绝对值符号过程的！当时，；当

6、时，；当时，.全班有10多个学生点头认可，其它学生也顿有所悟。好的，关键的问题我们解决了，大家试试吧？解：设此函数最小值为（1）当时，在区间1，2上，因为，则在区间1,2上是增函数,所以（2）当时，在区间1，2上，（3）当时，在区间1，2上，若在区间(1，2)内,从而为区间1，2上的增函数，由此得：，图3若,令，得或（舍），可知,大致图像如图3,当时，从而在区间上是增函数；当时，从而在区上是减函数；因此，当时，最小值或可能是，比较：当时，即时，当时，即时，综上所述，所求函数的最小值评注：在此过程中教师“变式教”的目的有两个：一是化解问题难点。给复杂的问题设置一个又一个“脚手架”，给学生的“爬坡

7、”提供台阶。并且在此过程中充分激发学生的智力参与兴趣，增强学生的学习数学的自信心，帮助学生识破了“庐山真面目”，让学生感到难题原来如此“简单”！二是“教变式”。教师在教学过程中，适时外显变式方法，让学生逐步感知变式的过程、技巧，潜移默化地完成由机械模仿到主动自觉的过程，培养主动变式的意识。 2.2学生“学变式”提升能力至此原问题得到彻底解决，似乎可以转向另外的教学内容，但笔者并没有这么做，而是作了短暂停留然后发问：“同学们还能提出什么变式问题吗？你能解决你提出的问题吗？”没有想到的是，学生的变式想法果然大胆，其中有些确实有价值，笔者展示其中几例如下：1学生主动变式1：已知函数，求函数yf (x

8、)在区间1,2上的最小值。解：设此函数最小值为（1）当时，在区间1，2上，则在区间1,2上是增函数，所以（2）当时，在区间1，2上，由知：（3）当时，在区间1，2上，因为对称轴 当，即时， 当时，即时， 综上可得结果（略）2学生主动变式2：已知函数，求函数yf (x)在区间1,2上的最大值。3.学生主动变式3：已知若函数在区间1,2上的最小值为1，求的值。4.学生主动变式4：已知求函数在区间上的最小值。5.学生主动变式5：已知求函数在区间上的最小值。学生给出的上述变式结果由于较多，受教学时间限制，笔者并没有把每一道题都在课堂上解决，但教师对学生的变式题的正误及可解性给出了肯定或否定的答复，以课

9、后作业的形式布置下去，期待学生课后解决自己有价值的变式题。康托尔说过：“在数学的领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要。” 在模仿的前提下，思路重组后学生变式是有可能的。3教学反思3.1学生主动变式培养学生创新能力学生在数学解题过程中，通过自身的主动性、能动性的发挥，对遇到的问题自觉进行变式，以此来提高学习效率和促进自身发展。学生在遇到问题时，学会从多途径去思考、分析和解决，努力拓展自己的思维领域。当然,学生主动变式绝不是天马行空、放任自流地变式。学习作为一种有目的的师生双边行为，放任自流肯定是无法达成教学目标的。所以教师在组织学生自主探究、合作交流的同时，还应充分发挥教师的教学主导作

10、用，向学生明确变式的内容、目标、过程、方法，并逐步提高检验的手段和评价的实效。从教育者的角度看，“主动变式”侧重强调“以学习者为中心”。 在习题变式教学中，教师要让学生主动参与，不要总是教师“变”，学生“练”，要鼓励学生大胆地“变”，以培养学生的创新意识和创新精神。教师在学习活动中注重调动学习者主体意识的的自觉焕发、注重调动学习者主观能动性和创造性的积极发挥；从学习者的角度看，“主动变式”要有自我识别、自我选择、自我培养、自我控制的能力，在学习上要具有超前性、独立性、创造性和协调性。3.2师生双向变式打造高效数学课堂在习题课，特别是高三复习过程中，常见的做法是把各地的压轴题稍加或不加分析地灌输

11、进去，期望通过“量”的积累达到“质”的变化。消耗学生大量的时间和精力，收效甚微。笔者认为要打造“高效”课堂，要以“四基”为基础，以低耗时为基本特征，顺应新课改的基本理念，以培养学生创新能力为根本目的，打造高效率课堂。打造高效课堂需要可操作性的教学策略，师生双向变式教学不失为一种较好的课堂教学形式。3.3学生主动变式时要注意的问题 课堂教学发现，限于学生的个性差异，基础知识、基本技能的不同，从表面上看，似乎学生的主动变式与差生“无缘”。但不可否认的是，差生没有变出试题并不代表他们没有变的过程，每一位学生都有“变”的努力思考过程，培养了学生的成就感。但是，教师需要具有优秀的教学基本功，对于学生的变

12、式结果，要能及时作出精准的判断。既不能一概含糊其辞地给予肯定、表扬，也不能一棒子打死，挫伤学生的自尊心。笔者曾经在一次大市级公开课上听过一位教师在授课时，确实充分调动了学生的变式参与积极性，但变的结果有的令人啼笑皆非、漏洞连连，有的太难、太偏，没有研究价值，可是老师几乎是一个评价“好”！恐怕连教师自己都未必弄清楚了学生的变式结果是否有解，课堂气氛显得热闹非常，实则是花架子，学生没有得到多少收获。主要参考文献：1 杨光明.变式教学提高数学课堂有效性的尝试J.中学教学参考.2009(9) 2 李建民.高中数学变式教学模式探究J.课程教材教学研究.2008(44)3 肖凌戆.从被动接受学习走向变式创新学习J.中学数学2