函数极限的概念学习教案

1、会计学1函数极限函数极限(jxin)的概念的概念第一页，共38页。设函数定义在)(xf , aA)(xfxyO极限(jxin).f (x)当 x 趋于 时以A为也无限(wxin)地接近A,我们就称无限远离原点时,函数f (x)上,当 x 沿着 x 轴的正向第1页/共37页第二页，共38页。x趋于例如 函数,arctanxy 当时, xy210203040O0.51为极限.以xarctan2第2页/共37页第三页，共38页。记为或者lim( )xf xA ).()( xAxf定数, 若对于任意正数 存在 使得，0 ，)(aM Axxf时以时以趋于趋于当当 )(则称函数则称函数.为极限为极限定义1

2、 .,上上的的一一个个函函数数为为定定义义在在设设 afA 为第3页/共37页第四页，共38页。( )Af xA 有有 xM使使当当时时xA A 任意给定0 M存在Ma AxyOa第4页/共37页第五页，共38页。( )Af xA 有有 xM使使当当时时xA A 任意给定0 M存在Ma xAyOa第5页/共37页第六页，共38页。注 数列可视为定义(dngy)在正整数集上的函数. 请大家所以(suy)(由定义1),例1 证明. 01limxx 任给取证, 0 ,1 M,时时当当Mx 与不同点.比较数列(shli)极限定义与函数极限定义之间的相同点第6页/共37页第七页，共38页。例2.2arc

3、tanlim xx证明证明证任给),2(0 ).2tan( M取取这就是说lim arctan.2xx 时，时，当当Mx 严严格格增增，因因为为xarctan第7页/共37页第八页，共38页。,)( Axf定义2 ,)(上上定定义义在在设设bxf .是是一一个个常常数数A,0 , 0 M存存在在()xMb 当当时时若若对对于于任任意意记为Axxf时以时以当当)(,为极限为极限则称Axfx )(lim或).()( xAxf第8页/共37页第九页，共38页。为极限，为极限，时以时以当当则称则称Axxf )(记为定义3A,)()(内内的的某某个个邻邻域域定定义义在在设设 Uxf存在 当，0 M, 0

4、 .为为一一个个常常数数若对于任意若对于任意Axfx )(lim或).()( xAxf第9页/共37页第十页，共38页。证 对于任意正数),10( ,ln M取取这就是说例3求证lim e0.xx 第10页/共37页第十一页，共38页。例4求证. 011lim2xx所以结论(jiln)成立.,1 M有有时时当当,Mx 证 对于任意正数 , 可取第11页/共37页第十二页，共38页。从定义(dngy)1、2 、3 不难得到:定理 3.1 定义在定义在则则的的一一个个邻邻域域内内，)(xfxxarctanlim 则由定理 3.1，.不存在不存在Axfx )(lim的充要条件是：lim arctan

5、, lim arctan,22xxxx 例如第12页/共37页第十三页，共38页。设函数 f (x) 在点 x0 的某空心邻域 内有定义. )(0 xU, 数数,)(),(0时时当当xUxUx ,)( Axf定义4)(xf设设内有内有)(xU的的某某空空心心邻邻域域0 x在点在点, 如如果果对对于于任任意意正正数数定义，定义，.是是一一个个常常数数A存在正存在正为极限(jxin)的定义.下面我们直接给出函数 f (x) 时以常数 A0 xx 当当第13页/共37页第十四页，共38页。或者(huzh).)(0为为极极限限时时以以当当Axxxf记为则称例5证明.221121lim1 xxx时, 使

6、, 对于任意正数对于任意正数, 0 要找到要找到 |1|0 x当当分析第14页/共37页第十五页，共38页。因只要 式就能成立, 故取 即可.1,( )x 证, 00 xx 当当时时, , 任给正数任给正数取取( ) 2121.2 2(12)2 2(12)xxxx 第15页/共37页第十六页，共38页。这就证明(zhngmng)了第16页/共37页第十七页，共38页。例6证明.lim2020 xxxx 可以先限制因为此时有, 10 xx故只要所以,)21(00202xxxxx 要使分析第17页/共37页第十八页，共38页。这就证明(zhngmng)了证,21, 1min0 x 取取 00 xx

7、当当,0 有,时时第18页/共37页第十九页，共38页。例7求证：注 在例5、例6中, 我们将所考虑(kol)的式子适当放大, 不是“最佳(zu ji)”的, 但这不影响我们解题的有效性. 其目的(md)就是为了更简洁地求出 , 或许所求出的 第19页/共37页第二十页，共38页。证首先，在右图所示的单位圆内,0,2x 当当时时显然有即故sintan0.2xxxxOCDBAyxx第20页/共37页第二十一页，共38页。,2x 因因为为当当时时,0,1sin xxx故对一切故对一切.sinxx ,sin x故故均是奇函数均是奇函数 ,x又因为又因为有有对于任意正数对于任意正数, 取取,00时时当

8、当 xx, 第21页/共37页第二十二页，共38页。同理可证:第22页/共37页第二十三页，共38页。例7证明：).1| (11lim02020 xxxxx证 因为(yn wi)则, 0 ,2120 x 取取00|xx 当时，当时，这就证明(zhngmng)了所需的结论.第23页/共37页第二十四页，共38页。例8. 证明(zhngmng)第24页/共37页第二十五页，共38页。在上面例题(lt)中, 需要注意以下几点：, 我们强调其存在性. 换句话说, 对于固定 1. 对于 的, 不同的方法会得出不同的 , 不存在哪一个更好的问题(wnt).数都可以充当这个(zh ge)角色.3. 正数 是

9、任意的,一旦给出,它就是确定的常数., 那么比它更小的正是不惟一的, 一旦求出了 . 2第25页/共37页第二十六页，共38页。有时(yush)为了方便,需要让 小于某个正数. 一旦对这为贵”.当然也能满足要求. 所以我们(w men)有时戏称 “ 以小样的 能找到相应(xingyng)的 , 那么比它大的 , 这个 第26页/共37页第二十七页，共38页。平面上以 y =A为中心线, 宽为 的窄带, 2可以(ky)找到, 0 使得曲线段4. 函数极限(jxin)的几何意义如图, 0, 任任给给对于坐标落在窄带(zhi di)内. AyAy AyOxy 0 x0 x 0 x第27页/共37页第

10、二十八页，共38页。，时时在考虑在考虑)(lim0 xfxxx 既可以从 x0)(0 xx 的的左左侧侧 但在某些时.)(000 xxxx趋向于趋向于的右侧的右侧又可以从又可以从 定义5 ,),(),()(00有有定定义义在在设设 xUxUxf A为常数. 若对于任意正数 ,）（存存在在正正数数 在定义区间(q jin)的端点和分段函数的分界点等.候,我们(w men)仅需(仅能)在 x0的某一侧来考虑, 比如函数第28页/共37页第二十九页，共38页。则称 A 为函数 f 当00()xxxx 时的右(左)右极限与左极限统称为单侧极限, 为了(wi le)方便起见，极限(jxin),记作有时(

11、yush)记第29页/共37页第三十页，共38页。 例7 讨论函数.112处处的的单单侧侧极极限限在在 xx解因为, 1| x),1(2)1()1(12xxxx 所以有有时时当当,11 x ,2, 02 取取第30页/共37页第三十一页，共38页。由定义3.4和定义3.5，我们(w men)不难得到：注试比较定理 3.1 与定理 3.1.）有有定定义义，则则（在在设设0)(xUxf定理 3.1, 1sgnlim,1sgnlim00 xxxx由由于于xxsgnlim0所以所以不存在(cnzi).第31页/共37页第三十二页，共38页。作为本节的结束(jish),我们来介绍两个特殊的函数极限.例9

12、 证明(zhngmng)狄利克雷函数证 001R,.2xA 对于任意的以及任意实数取对于任意的以及任意实数取处处(chch)无极限.,QR,21|,0* xA取取若若对于任意的对于任意的 满足第32页/共37页第三十三页，共38页。这就证明(zhngmng)了结论.则第33页/共37页第三十四页，共38页。例10 设黎曼函数证 .10 NN，使，使，取一正整数，取一正整数因为(yn wi)在 (0, 1) 中分母小于 N 的有理数至多只有个 , 故可设这些有理数为2)1( NNK第34页/共37页第三十五页，共38页。这就是说，除了这 n 个点外 , 其他(qt)点的函数值都时，时，当当于是于是 |0,0 xx对以上两种情形都有这就证明了.0)(lim0 xRxx小于 . 所以(suy)第35页/共37页第三十六页，共38页。我们(w men)已经知道，狄利克雷函数在每点都无极限.能注 有兴趣(xngq)的同学可以证明：复习(fx)思考题否构造一个函数，它仅在 处有极限.nxxx,21第36页/共37页第三十七页，共38页。NoImage内容(nirng)总结会计学。注 数列可视为定义在正整数集