期权定价及套利(20120801)

1、期权定价与套利2012年8月1日股票期权定价n 股票期权价格构成- 股票期权的内在价值期权的内在价值指期权的买方立即执行期权能获得的收益。期权的内在价值取决于协定价格与标的物市场价格的关系。期权的内在价值不会小于零。 Ct = max0,St -K Pt = maxK-St ,0股票期权定价- 股票期权的时间价值期权的时间价值指期权购买者为购买期权而实际付出的期权费超过该期权的内在价值的那部分价值。时间价值=期权价格-内在价值n 期权价格的上下限- 期权确定的价格高于其上限或低于其下限，那么在股票市场或期权市场上就会出现套利的机会。 股票期权定价- 上限 看涨期权：CS0 ， CAS0 看跌期

2、权：PKe-rT ， PAK- 下限 C MAX(S0 - Ke-rT, 0）, P MAX(Ke-rT - S0, 0) CA MAX(S0 - K, 0）, PA MAX(K - S0, 0) 股票期权定价n 美式期权的提前执行- 对有效期内无分红的美式买入期权，在到期日之前的任何时间提前执行都不是最优的。- 由于是买入期权，持有者在到期日之前的某一时间执行期权的惟一理由是股票在当时的价格明显高于期权确定的执行价格。- 失去行权费用在剩下期限内的利息；- 由于持有期内股票不分红，执行期权并持有股票无额外收益- 如果期权到期前股票市场价格下跌，会出现更大的损失。- 当一个美式看跌期权处于明显

3、的盈利位置时，期权的持有者应立即执行期权，而不必持有期权。股票期权定价n 看跌期权-看涨期权平价关系（Put-Call Parity）- 在同一股票上到期日相同、行权价格相同的欧式看涨期权和欧式看跌期权的价格之间有下列关系成立： C + Ke-rT = P + S0- 对于无套利机会的市场，两个在到期日现金流完全相同的组合，期初的现金流必定也完全相同。- 考虑两个投资组合： 组合1：买入一份看涨期权，并以数额Ke-rT做无风险投 资； 组合2：买入一份看跌期权和一股股票 股票期权定价- 期初的现金流出 组合1： C + Ke-rT 组合2： P + S0- 到期日的现金流 组合1： max(S

4、T,K),如果STK,用无风险投资的到期金额K行权后，再卖出股票，现金流入ST；如果STK,看跌期权不会被行权，现金流入ST；如果STK,用股票以行权价格行权，现金流入K。 股票期权定价n美式看涨期权与看跌期权之间关系- 在同一股票上到期日相同、行权价格相同的美式看涨期权和美式看跌期权的价格之间有下列关系成立 S0 K CA PA S0 Ke-rT- 对于右不等式，对于欧式期权 P = C + Ke-rT S0, 且 C = CA, PA P- 对于左不等式，证明 S0 + PA CA + K。 在期末，右式为MAX(ST，K)+K(erT-1），左式为 MAX(ST，K) 期末价值高的组合,

5、其期初的价值必定高(期限相同).股票期权定价n 定价原理 - 无套利定价原理 具有相同收益不同头寸的价格应该相同。 在到期日现金流完全相同的两个组合，它们期初的现 金流必定也完全相同。- 定价方法 二叉树定价方法 BlackScholes定价公式 股票期权定价n 二叉树定价模型- 原理：构造一个证券组合，其收益与期权正好相同(现金流复制方法) 把整个持有期分成若干个时间区间, 并假定在每个时间区间内股票的价格只有上升和下降两种状态, 且价格上升和下降的百分比也已知,这样可以得出股票在期权到期日有限个确定的价格状态。 时间区间分得越小, 在到期日确定的股票价格状态越多, 计算越复杂,所得期权价格

6、估计越接近于真实的价格。当二项式模型的区间长度很小，区间个数达到无穷时，二项式模型收敛于Black-Scholes模型。二叉树模型n 单步二叉树模型（一个实例） 股价S100美元 无风险利率r0.06 执行价格X100 假设该股价一年后将会变为90美元（D0.9） 或110美元（U1.1） 则该股票，且一年到期的看涨期权 c=? n 考虑两个组合 组合：一份看涨期权多头 组合： 股股票多头和初始资金为B美元的空头 一年后，如果股价上涨： 组合价值10美元，组合价值 *110-B*（1+0.06） 一年后，如果股价下跌： 组合价值0， 组合价值 *90-B*（1+0.06）二叉树模型n 令到期时

7、组合和组合的价值相等，有 股票 0.5股 初始资金B42.45美元。 显然组合和组合在期初的价值也应相等，否则存在套利机会。 因此，看涨期权的价值 c = *S-B=0.5*100-42.45=7.55美元 股票 期权110100901101009010C010C04542.454545454545107.550107.550107.550二叉树模型- 在实际中，股票的价格不仅是两个值，可能有多个值。我们可以通过缩短每一步的时间周期，采取多步骤的方法，构造二叉树模型的方法来模拟股票的多个值。- 为求解多阶段的二叉树模型，我们只要重复求解单阶段的二叉树模型即可，因此，我们首先要得出一般的单阶段二

8、叉树模型。二叉树模型n 符号 S：标的物现行价格u：标的物价格可能上涨倍率（u 1）d：标的物价格可能下降倍率（d 1） R = 1+单周期的无风险利率为了防止出现套利机会，要求：d R u n 当股票价格上升时， Su = u S ； 当股票价格下降时， Sd = d S 二叉树模型n在到期日，期权的盈亏为：- 如果股票价格上升： Cu = max (Su-k),o- 如果股票价格下降： Cd = max (Sd-k),o 二叉树模型n买入 份股票,并以无风险利率借入L 现金以复制看涨期权： Su RL = Cu Sd RL = Cd 解之，得： = (Cu - Cd)/(Su - Sd )

9、 L = (uCd- dCu)/R(u-d) 二叉树模型- 由于C = S + L，得到 C = 1/R qCu + (1-q)Cd - 将q视作股票价格上涨的概率，则看涨期权的价格是期权未来价值的期望值的贴现值。 dudRqduRuq1二叉树模型n 风险中性定价- 如果每个人都是风险中性的，股票的期望收益率将等于无风险收益率R。- 在风险中性的世界中，股票上升的概率为q（注意q与实际中股票上升的概率为p不同）- 看涨期权的价格是期权未来价值的期望值的贴现值： C = 1/R q Cu + (1-q) Cd - 一般公式为： 衍生证券价格 = (1/R)(T-t) EQ Payoff 此公式说

10、明衍生证券的价格是其到期收益期望值的现值的 (风险中性概率) 两阶段二叉树模型SSuSdSu2SudSd2CdCCuCuuCddCud两阶段二叉树模型n 根据单阶段模型： Cu = (q Cuu + (1-q) Cud) / R Cd = (q Cud + (1-q) Cdd) / R n 当得到Cu、Cd，再使用单阶段模型： C = 1/R2q2Cu +2(1- q)qCud+(1-q)2Cdd 二叉树模型n在二叉树模型中，确定u,d和q是关键，应用风险中性定价法估计这些数值。n在风险中性世界中：- 所有可交易证券的期望收益都是无风险利率；- 未来现金流可以用期望值按无风险利率贴现二叉树模型

11、n 假设r为连续复利的无风险收益率，S为期初的证券价格，则在很小t末证券价格的期望值为 n 对一个价格遵从几何布朗运动的股票来说，在t 内证券价格变化的方差为 （ ） n 为股票价格的波动标准差。根据方差的定义：trSeSdqqSuSetr)1 ( tS22),(ttSS二叉树模型n 假设d=1/u（Cox-Ross-Rubinstein条件），解上面的三式，得u, d, and q的估计值为： teu t-ed dudRqdudetr222222222)1 ()1 (dqquSdSquqStS)1 (dutrfqqfef二叉树模型n CRR方法不是构造二叉树的唯一方法。可以令q=0.5来代替

12、上面分析中d=1/u的假设。则对于微小 ，忽略其高阶小量，可以得出tttrttredeu2222-)2/-()2/-(Black-Scholes模型n 假设条件- 期权的标的物为一风险资产，允许卖空- 在期权到期日前，标的资产无任何收益和支付。- 标的资产的交易是连续的，其价格的变动也是连续的，均匀的，既无跳空上涨，又无跳空下跌。标的资产价格的波动性为一已知常数。- 存在着一个固定不变的无风险利率，交易者可以按此利率无限制地借入或贷出。- 期权是欧式的，到期日前不执行，不存在无风险套利机会- 标的物的价格服从于对数正态分布，股票的收益率服从正态分布。 Black-Scholes模型 Black

13、-Scholes模型n Ito过程与Ito引理- Ito过程- Ito引理 若变量x遵从Ito过程，则变量x与t的函数G将遵从下列过程dztxbdttxadx),(),(bdzxGdtbxGtGaxGdG)21(222dtdzBlack-Scholes模型n 股票价格的随机过程n 由上面的公式得 zStSSSdzSdtdSzSSftSSftfSSff)21(2222Black-Scholes模型n构造如下无风险组合：n该组合在 后必定没有风险，因此，该组合在 中的瞬时收益率一定等于 的无风险收益率。SSfftSSftfSSff)21(2222ttt这样有将有关式子代入得化简得边界条件：C(T)

14、 = max0,S(T)-KtrtSSffrtSSftf)()21(2222rfSSfSfrStf222221Black-Scholes模型Black-Scholes模型n 仔细观察BS微分方程，我们发现该方程不包括任何受投资者风险偏好影响的变量。方程中出现的变量是股票当前价格、到期时间、股价方差和无风险利率，而不独立于风险偏好的预期收益则不在其中。n 这说明风险偏好不会对f的解产生影响，即所有投资者都是风险中性的。 Black-Scholes模型n 假设每个投资者都是风险中性的，利用风险中性定价模型，欧式看涨期权的价值为： 假设标的物的价格服从于对数正态分布，股票的收益率服从正态分布，)0

15、,max()(KSEeCTtTr),)(2(lnln2tTtTrSSTn 对上式做积分，得到Black-Scholes 定价公式 n 应用平价公式，可得到股票欧式看跌期权定价公式)N(dK)SN(dC2)(1tTre)SN(-d-)N(-dK)N(d-S1-)N(d-1KP12)(12)(tTrtTreeBlack-Scholes模型t-Tdd12t-T21t-Tt)-r(T)KSln(d1Black-Scholes模型n B-S模型的风险- 当股票价格偏离对数正态分布假设时，期权定价模型就存在误差。- 股票价格跳跃：Black Scholes 模型要求标的价格是连续变化的，并不适用于股票价格

16、发生突然较大变动情况。- 动态波动率： Black Scholes 要求股票价格的波动率是一个固定值，不随时间、股票价格水平等因素变化而变化。 n 当股票价格不服从对数正态分布、存在跳跃性及动态波动率时，期权定价需要其他的定价模型。Black-Scholes模型n 在 Black-Scholes 和其他的期权定价模型中，波动率是一个输入变量，需要事先确定。与股票价格、利率等输入变量不同，波动率必须进行估计，相对不易确定。n 历史波动率：给定样本基础上计算的过去收益率的样本标准差n 隐含波动率：当期权市场价格等于特定模型的理论价格时的标准差 Black-Scholes模型n 未来波动率的估计方法

17、- 用隐含波动率作为未来波动率的估计值- 用历史波动率作为未来波动率的估计值- 应用GARCH 模型估计未来波动率 Black-Scholes模型n 波动率微笑- 隐含波动率会随期权的行权价格变化而而变化。价外期权和价内期权的波动率高于在价期权的波动率，使得波动率曲线呈现出中间低两边高的向上的半月形。- 股票期权隐含波动率常常呈右偏斜状，波动率随执行价格的上升而下降，左右不对称- 波动率期限结构：隐含波动率会随期权到期时间不同而不同Black-Scholes模型n 股票期权的波动率微笑 隐含波动率呈右偏斜状，波动率随行权价格的上升而下降 低行权价的期权（深度价外看跌期权价格或深度价内看涨期权价

18、格）的隐含波动率相对高于高行权价的期权（深度价外看涨期权价格或深度价内看跌期权价格会较高）的隐含波动率。 原因解释：资产组合保险，资产管理人购买价外看跌期权防范股市大幅下跌风险。Black-Scholes模型n 波动率期限结构：- 隐含波动率随到期日变化而变化 到期日越近，隐含波动率变化越大，随着到期日的延长，隐含波动率将逐步向历史波动率的平均值靠拢； 波动率微笑的形状也受期权到期日时间的影响。到期日时间越近，波动率微笑越显著，到期日时间越长，不同价格的隐含波动率差异越小。n 波动率表面- 波动率微笑与期限结构的结合股票期权套利n 套利是在市场定价出现偏差时，在两个或更多市场间，或者在同一市场内的不同品种间进行买卖，以获取无风险盈利或低风险盈利。n 期权错误定价时的套利分析 当期权的交易价格明显偏离其理论定价时，就出现套利机会 期权价格的上下限 同一行权价的欧式看涨和看跌期权的价格差满足平价关系 不同期权之间的权利金关系范围股票期权套利n 波动率套利 在波动率套利中，需要对未来的标的资产波动率水平进行预判。对标的证券的对冲交易按照预判波动率进行计算并操作。 倘若实现波动率高于预判波动率时，那么波动率的买方（期权多头方）将获得收益，波动率的卖方（期权空头方）出现亏损；倘若实现波动率低于预判波动率时，盈亏情况相反。 当标的证券的预期波动率与当前市场出现明显偏差时，可以预计未来实现